《第三章 函数的概念与性质》同步练习及答案解析

《第三章函数的概念与性质》同步练习3.1函数的概念及其表示【题组一区间】1．不等式的解集用区间可表示为（）A． B． C． D．2．集合可以表示为（）A． B． C． D．3．不等式的所有解组成的集合表示成区间是（）A． B． C． D．4．集合且用区间表示出来（）A． B． C． D．5．下列四个区间能表示数集或的是（）A． B．C． D．6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．7．已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.【题组二函数的判断】1．下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．2．在下列图象中，函数的图象可能是（）A． B． C． D．3．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是________.【题组三定义域】1．函数的定义域是（）A． B． C． D．2．函数的定义域是（）A． B． C． D．3．函数的定义域是（）A． B． C． D．4．函数的定义域为A． B． C． D．5．已知的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．6．已知的定义域为，的定义域是（）A． B． C． D．7．若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A． B． C． D．8.已知函数的定义域为[－2，1]，则函数的定义域为（）A．[－2，1] B．[0，3] C．[1，4] D．[1，3]9．已知函数定义域是，则的定义域是（）A． B． C． D．【题组四解析式】1．求下列函数的解析式.（1）已知，求；（2）已知一次函数满足，求.2．求函数的解析式.（1）已知f（x）是一次函数，且满足，求f（x）；（2）函数，求的表达式；（3）已知，求的解析式.3．（1）已知，则＝________；（2）已知函数是一次函数，若，则＝________；（3）已知函数对于任意的都有，则＝________.【题组五函数值】1．已知，则___________.2．已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f（2）＝________，f(g（2）)＝________.3．已知函数f(x)＝.（1）求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；（2）求证：f(x)＋f()是定值；（3）求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()的值．【题组六相等函数】1．下列函数中与函数为同一函数的是（）A． B． C． D．2．下面各组函数中是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与3．下列各组函数中，为同一函数的序号是________.（1）与；（2）与；（3）与.【题组七分段函数】1．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.2．函数的定义域是________.3．设，则______4．已知，若，则______________.5．已知函数，若，则实数_________.6．设则的值为________，的定义域是___________________．3.1函数的概念及其表示答案解析【题组一区间】1．不等式的解集用区间可表示为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，用区间表示为，故选D.2．集合可以表示为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，集合可以表示为.故选：B3．不等式的所有解组成的集合表示成区间是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式的所有解组成的集合为，表示成区间为.答案：B4．集合且用区间表示出来（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由集合且或,故选:C.5．下列四个区间能表示数集或的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据区间的定义可知数集或可以用区间表示.故选B.6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．【答案】【解析】由题意3a－1>a，得a>,故填7．已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.【答案】.【解析】解析由为一个确定的区间知，解得，因此a的取值范围是.故答案为：【题组二函数的判断】1．下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、B、D都不满足函数定义中一个与唯一的一个对应的关系，所以选C2．在下列图象中，函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，存在一个自变量对应两个值，错误；对于B，存在自变量对应两个值，错误；对于C，存在自变量对应两个值，错误；对于D，定义域内每个自变量都有唯一实数与之对应，正确，故选D.3．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是________.【答案】②【解析】对于①，当时，集合中没有值与之对应，故①错误；对于②，集合中的每一个值，在中都有唯一确定的一个值与之对应，故②正确；对于③，对于集合中的元素2，在集合中没有值与之对应，故③错误；对于④，对于集合中的元素2，在集合中有两个值与之对应，故④错误.故答案为：②.【题组三定义域】1．函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，得，解得．∴定义域为．故选：B．2．函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】要使函数有意义，则：，解得，所有的定义域为：，故选：A3．函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，解得，函数的定义域，故选A.4．函数的定义域为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：，解得：定义域为：本题正确选项：5．已知的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．6．已知的定义域为，的定义域是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定义域为；；；的定义域为；；；的定义域为．故选：D．7．若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域是，的定义域须满足，，解得，所以函数的定义域为.故选：C.8.已知函数的定义域为[－2，1]，则函数的定义域为（）A．[－2，1] B．[0，3] C．[1，4] D．[1，3]【答案】C【解析】∵定义域为，∴，即定义域为，由题意得：，解得：，∴定义域为，故选：C.9．已知函数定义域是，则的定义域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，解得．故选：A．【题组四解析式】1．求下列函数的解析式.（1）已知，求；（2）已知一次函数满足，求.【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）（换元法）设，则，∴，∴.（2）（待定系数法）∵是一次函数，∴设，则，∵，∴，解得或.∴或.2．求函数的解析式.（1）已知f（x）是一次函数，且满足，求f（x）；（2）函数，求的表达式；（3）已知，求的解析式.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）设，因为故可得整理得故可得，故.（2）令，解得，故当时，，当时，，，综上所述：.（3）因为故故，又因为，故3．（1）已知，则＝________；（2）已知函数是一次函数，若，则＝________；（3）已知函数对于任意的都有，则＝________.【答案】或【解析】（1）法一(换元法)：令，则，代入原式有，所以.故答案为：.法二(配凑法)：，因为，所以.故答案为：.（2）设，则，又，所以，即，解得或，所以或.故答案为：或.（3）由题意，在中，以代可得，联立可得，消去可得.故答案为：.【题组五函数值】1．已知，则___________.【答案】3214【解析】∵，则，故答案为:32142．已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f（2）＝________，f(g（2）)＝________.【答案】【解析】因为，故可得；又，故可得；故.故答案为：；.3．已知函数f(x)＝.（1）求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；（2）求证：f(x)＋f()是定值；（3）求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()的值．【答案】（1）1，1；（2）证明见解析；（3）2011.【解析】（1）∵f(x)＝，∴f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1.（2）证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.（3）由（2）知f(x)＋f()＝1，∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2012)＋f()＝1.∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()＝2011.【题组六相等函数】1．下列函数中与函数为同一函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】两个函数相等，则两个函数的定义域相同，对应法则相同，函数的定义域为，对于A选项，函数的定义域为，该函数与函数不相等；对于B选项，函数的定义域为，该函数与函数不相等；对于C选项，函数的定义域为，且，该函数与函数不相等；对于D选项，函数的定义域为，且，该函数与函数相等.2．下面各组函数中是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不同，选项C中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D.故选：D.3．下列各组函数中，为同一函数的序号是________.（1）与；（2）与；（3）与.【答案】（2）【解析】对于（1），函数，而函数，对应法则不同，故不是同一函数；对于（2），函数的定义域为R，函数的定义域为R，两者定义域相同，对应法则相同，故为同一函数；对于（3），函数的定义域为，而函数的定义域为R，故不是同一函数.故答案为：（2）.【题组七分段函数】1．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.【答案】－2【解析】由题得，所以f(f(－4))=.故答案为：－22．函数的定义域是________.【答案】【解析】解析分段函数的定义域是各分段区间自变量取值的并集，即定义域为.故答案为：3．设，则______【答案】36【解析】.4．已知，若，则______________.【答案】【解析】时，，∴由知，∴，，而，因此由知，即，．故答案为：．5．（已知函数，若，则实数_________.【答案】或【解析】当时，，解得；当时，，得.因此，或，故答案为或.6．设则的值为________，的定义域是___________________．【答案】【解析】，，f（x）的定义域是故答案为(1).(2).3.2函数的基本性质【题组一性质法求单调性（单调区间）】1．函数的单调递增区间为()A． B． C． D．2．函数的单调增区间是（）A． B． C． D．3．函数y＝的单调区间是()A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．{x∈R|x≠1} D．R4．函数的单调递减区间为A． B． C． D．5．下列函数中，在上为增函数的是（）A． B．C． D．6．函数的单调增区间为____________．【题组二定义法求单调性（单调区间）】1．已知函数.（1）用定义证明在区间上是增函数.（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.2．利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．3．已知函数，（1）判断函数的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值.【题组三图像法求单调性（单调区间）】1．如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？2．作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．3.已知函数（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【题组四利用单调性求参数】1．如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是______．2．已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________．3．若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.4．函数在上是减函数，且，则的取值范围是________.5．已知，若，则实数的取值范围是_____.6．已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________.7．若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围又是什么？9．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围.【题组五奇偶性的判断】1．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x3＋x；（2）；（3）；（4）2．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）．3．已知函数，求（1）函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性.【题组六利用奇偶性求解析式】1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.2．函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．3．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．4．已知定义在R上的奇函数,当时,,那么当时,的解析式为（）.A． B．C． D．【题组七利用奇偶性求参数】1．已知函数，若，则的值为（）A． B． C． D．2．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（）A． B． C． D．3．设函数f(x)＝(x+1)(x+a)x为奇函数，则a4．若定义域为的函数是偶函数，则______，______.5．已知是定义域为的奇函数，当时，，那么实数m的值为________，的值为________.6．已知是定义在上的偶函数，则实数____，此函数的单调增区间为____．【题组八单调性与奇偶性的综合运用】1．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（）A． B．C． D．2．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（）A． B． C． D．3．已知函数，若在上的值域为，则________.4．已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为______.5．函数是定义在上的奇函数，且（1）求函数的解析式；（2）用定义证明:在上是增函数；（3）解不等式:6．已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a､b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.（2）解不等式.（3）若对所有､，恒成立，求实数m的取值范围.7．已知函数是上的奇函数，且当时，，（1）求函数在的解析式；（2）在所给的坐标系中画出的图像，并写出函数的单调区间.（作图要求：要标出与坐标轴的交点，顶点）.8．定义在上的函数，满足，且当时，.（1）求的值.（2）求证：.（3）求证：在上是增函数.（4）若，解不等式.（5）比较与的大小.3.2函数的基本性质答案解析【题组一性质法求单调性（单调区间）】1．函数的单调递增区间为()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数,∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴∴函数的单调增区间为.故选:A.2．函数的单调增区间是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】定义域为恒成立所以在上单增，在上单增所以函数的单调增区间是3．函数y＝的单调区间是()A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．{x∈R|x≠1} D．R【答案】A【解析】单调区间不能写成集合，故C不对，由于函数的单调区间也不能超出定义域，故D不对，由于函数在(－∞，1)和(1，＋∞)内单调递减，所以B表达不当．故答案为：A.4．函数的单调递减区间为A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是故选A．5．下列函数中，在上为增函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，函数在上递减.对于B选项，函数在和上递减.对于C选项，函数在上递减，在上递增.对于D选项，函数在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意.故选D.6．函数的单调增区间为____________．【答案】【解析】函数由复合而成，单调递减，则的减区间为即为函数的增区间，所以的增区间为.【题组二定义法求单调性（单调区间）】1．已知函数.（1）用定义证明在区间上是增函数.（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）证明见解析；（2），.【解析】（1）任取，，且，则.∵，∴，，∵，即，故函数在区间上是增函数.（2）由（1）知函数在区间上是增函数，∴，.2．利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．【答案】证明见解析【解析】证明：设x1，x2是区间上任意两个实数且，则，∵，∴，，．∴．即，．∴在上是减函数．3．已知函数，（1）判断函数的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值.【答案】（1）增函数.见解析（2），【解析】（1）设且，所以∵∴，∴即，在上为增函数.（2）在上为增函数，则，【题组三图像法求单调性（单调区间）】1．如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】答案见解析【解析】从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增．2．作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）减区间：和，值域：；减区间：和，增区间：和，值域：；增区间：和，减区间：，值域：；减区间：和，增区间：和，值域：；（5）减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析【解析】（1），图象如图所示：函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：；（2），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，当时，取得最小值，故值域：；（3），图象如图所示：函数在和为增函数，在为减函数，值域为：.（4），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：；（5），函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.3.已知函数（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为，增区间为，减区间为、、，值域为.【解析】（1）图象如图所示：（2）由函数的图象可知，该函数的定义域为，增区间为，减区间为、、，值域为.【题组四利用单调性求参数】1．如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是______．【答案】.【解析】由题意得，当时，函数，满足题意，当时，则，解得，综合得所求实数的取值范围为.故答案为：.2．已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为______．【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)【解析】∵函数在区间上具有单调性，

函数的对称轴为或故的取值范围为或.故答案为:．3．若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3解得故答案为：4．函数在上是减函数，且，则的取值范围是________.【答案】(－1，1)【解析】函数在上是减函数，且，，解得，故答案为：5．已知，若，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:6．已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________.【答案】.【解析】∵是上的增函数，∴，即对一切都成立，∴.故答案为：．7．若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，函的定义域为且在上是减函数，可得．故选：B．8．若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围又是什么？【答案】【解析】由于函数的定义域为，且为增函数，由，可得，解得.因此，实数的取值范围是.9．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围.【答案】【解析】由题意可知，，解得【题组五奇偶性的判断】1．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x3＋x；（2）；（3）；（4）【答案】（1）奇函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；（4）奇函数.【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f（x），因此函数f（x）是奇函数．（2）由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数．（3）函数f（x）的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f（x）．所以f（x）为奇函数．2．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）．【答案】(1)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)偶函数．【解析】（1）由于该函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）函数的定义域为，关于原点对称．，所以函数为偶函数．3．已知函数，求（1）函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性.【答案】(1)且；(2)奇函数【解析】（1）由题得得且x，所以函数的定义域为且.（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称.,所以函数是奇函数.【题组六利用奇偶性求解析式】1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数,所以,当时,,所以,当时,,所以.故答案为:.2．函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．【答案】【解析】令，则，∴，又函数在上为奇函数，则，即，得，故当时，．3．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．【答案】【解析】根据题意，设，则，有，又由为偶函数，则，即，故答案为：．4．已知定义在R上的奇函数,当时,,那么当时,的解析式为（）.A． B．C． D．【答案】D【解析】设,则,∵∴.故选：D【题组七利用奇偶性求参数】1．已知函数，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，，函数为奇函数，则.故选：B.2．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】为奇函数，.，.故由，得.又在单调递减，，.故选：D3．设函数f(x)＝(x+1)(x+a)x为奇函数，则a【答案】-【解析】因为函数f(x)＝(x+1)(x+a)x为奇函数，∴f(1)=(1+1)(1+a)4．若定义域为的函数是偶函数，则______，______.【答案】20【解析】偶函数的定义域为，则，解得，所以，满足的对称轴关于轴对称，所以对称轴，解得.故答案为：2；05．已知是定义域为的奇函数，当时，，那么实数m的值为________，的值为________.【答案】23【解析】由于奇函数的定义域为，所以，解得.所以当时，，所以.故答案为：(1).2(2).36．已知是定义在上的偶函数，则实数____，此函数的单调增区间为____．【答案】2【解析】因为是定义在上的偶函数，所以其对称轴为轴；即，解得；于是，显然其单调增区间为：．故答案为2；【题组八单调性与奇偶性的综合运用】1．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，∴不等式可变为，∴，解得．故选：B．2．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集为.故选：A.3．已知函数，若在上的值域为，则________.【答案】.【解析】由题意知函数在上单调递增，∴即解得.故答案为：．4．已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为______.【答案】【解析】因为函数为R上的奇函数,当时,令,则则由奇函数定义可得,所以所以当时,即所以,解不等式可得当时,成立当时,即,所以,解不等式可得综上所述,不等式成立的解集为故答案为:5．函数是定义在上的奇函数，且（1）求函数的解析式；（2）用定义证明:在上是增函数；（3）解不等式:【答案】（1）；（2）见详解；（3）.【解析】（1）是定义在上的奇函数，.又，.经检验符合题意..（2）设，则.，，，所以在上是增函数.（3）是定义在上的奇函数，由，得，又是定义在上的增函数，，解得，所以原不等式的解集为.6．已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a､b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.（2）解不等式.（3）若对所有､，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）是增函数，证明见解析;（2）;（3）【解析】（1）任取，且，则，又∵为奇函数，∴，由已知得，，∴，即.∴在上单调递增.（2）∵在上单调递增，∴，∴，∴不等式的解集为.（3）因为在[﹣1，1]上是增函数，所以，即1是的最大值．若对所有､恒成立，则有，对恒成立，即恒成立．令，它的图象是一条线段，那么，解得：．7．已知函数是上的奇函数，且当时，，（1）求函数在的解析式；（2）在所给的坐标系中画出的图像，并写出函数的单调区间.（作图要求：要标出与坐标轴的交点，顶点）.【答案】（1）；（2）图象见解析；单调递增区间为和；单调递减区间为和【解析】（1）当时，为奇函数又（2）图象如下图所示：由图象可知：的单调递增区间为和；单调递减区间为和8．定义在上的函数，满足，且当时，.（1）求的值.（2）求证：.（3）求证：在上是增函数.（4）若，解不等式.（5）比较与的大小.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.【解析】（1）令，由条件得.（2），即.（3）任取，，且，则.由（2）得.，即.∴在上是增函数.（4）∵，∴，.又在上为增函数，∴解得.故不等式的解集为.（5）∵，，∵，∴（当且仅当时取等号）.又在上是增函数，∴.∴.3.3幂函数【题组一幂函数的判断】1．若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．3.在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（）A．①②④⑤ B．①⑤⑥C．①②⑥ D．①②④⑤⑥4．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【题组二幂函数的三要素】1．已知幂函数的图象过点，则______.2．已知幂函数的图像过点，则实数的值为______.3．已知幂函数的图象过点，则的值为_________．4．已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为________．5．若幂函数的图像过点，则的值域是_________【题组三幂函数的性质】1．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____2．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.3．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．4．已知是幂函数，求m，n的值.5．若，试求的取值范围.【题组四幂函数的图像】1．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为（）A．2，1，， B．2，，1，C．，1，2， D．，1，2，2．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是()A． B． C． D．3．函数的大致图象是A． B．C． D．4．函数y=的图象是()A． B． C． D．5．以下命题正确的是（）①幂函数的图像都经过②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）④是奇函数，且在定义域内为减函数A．①② B．②④ C．②③ D．①③6．既在函数的图像上，又在函数的图像上的点是（）A．（0,0） B．（1,1） C． D．7．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数C．幂函数的图象可以出现在第四象限D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数8．若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．3.3幂函数答案解析【题组一幂函数的判断】1．若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】形如的函数是幂函数,幂函数的系数为,指数是常数,所以,,,,,,七个函数中,是幂函数的是和.故选:C2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的系数不是1，不是幂函数；函数的解析式不是单项式，不是幂函数；函数与幂函数，定义域不相同，不正确；只有A中满足幂函数定义，正确.故选：A3.在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（）A．①②④⑤ B．①⑤⑥C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【答案】B【解析】根据幂函数的定义：幂函数是形如的函数。在函数中：①是的情形，是幂函数；②系数是，不是幂函数；③系数是，是一次函数，不是幂函数；④不是幂函数，；⑤是的情形，是幂函数；⑥是的情形，是幂函数。故是幂函数的有①⑤⑥，故选：B4．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.5．5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【答案】C【解析】①的定义域为，②的定义域为R，③的定义域为，④的定义域为R，⑤的定义域为，故选：C.【题组二幂函数的三要素】1．已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】为幂函数，可设，，解得：，，.故答案为：.2．已知幂函数的图像过点，则实数的值为______.【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，所以，即，解得，故答案为：3．已知幂函数的图象过点，则的值为_________．【答案】【解析】根据题意可设因为的图象过点，所以，解得.所以，所以.故答案为：.4．已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为________．【答案】【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以故答案为：5．若幂函数的图像过点，则的值域是_________【答案】【解析】由幂函数的图像过点，可得，可得，故，由幂函数的性质可得其值域为，故答案为：.【题组三幂函数的性质】1．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____【答案】1【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或，又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，即的值是1，故答案为：1.2．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.【答案】2【解析】由题意可知，解得故答案为：3．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】设幂函数，由，得到，于是；若，则，所以，解得．故答案为；4．已知是幂函数，求m，n的值.【答案】或1，.【解析】由题意得，解得或，所以或，.5．若，试求的取值范围.【答案】【解析】∵，∴或或解得或.故的取值范围是.【题组四幂函数的图像】1．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为（）A．2，1，， B．2，，1，C．，1，2， D．，1，2，【答案】A【解析】幂函数在区间上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为，对应曲线有.故选：A2．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由图象可得函数的定义域为，选项不满足；选项，当，函数的定义域满足，而且为偶函数，满足图象特征.故选:C.3．函数的大致图象是A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选A．4．函数y=的图象是()A． B． C． D．【答案】B【解析】y=过点(1,1)和点(8,2),由过点(8,2)可知此时函数y=在直线y=x下方.故选B.5．以下命题正确的是（）①幂函数的图像都经过②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）④是奇函数，且在定义域内为减函数A．①② B．②④ C．②③ D．①③【答案】C【解析】①幂函数不经过原点，所以①不正确；②形如，的函数是幂函数，当时，，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；③的定义域是，，所以时，的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④是奇函数，函数的定义域是，函数在是减函数，在也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C6．既在函数的图像上，又在函数的图像上的点是（）A．（0,0） B．（1,1） C． D．【答案】B【解析】由幂函数图象恒过，故选项满足条件。故选：7．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数C．幂函数的图象可以出现在第四象限D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数【答案】B【解析】幂函数的图象都通过点（1，1），但a≤0时不经过（0，0）点，故A错误；当幂指数α取1，3，时，幂函数y=xa在定义域上是增函数，故B正确；幂函数的图象不会出现在第四象限，故C错误；当幂指数α=﹣1时，幂函数y=xa在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是减函数，故D错误；故选B．8．若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．【答案】【解析】因为过定点，将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：，所以过定点.故答案为：.3.4函数的应用（一）【题组一一次函数模型】1．为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度：第一套第二套椅子高度40.037.0课桌高度75.070.2（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？2.夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是（）A．1800米B．1700米C．1600米D．1500米【题组二二次函数模型】1．“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到月份（且），每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从月份到9月份不再增加新的生产线.计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加___条熔喷布生产线.（参考数据：，）2．某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？【题组三分段函数模型】1．已知甲、乙两地相距，某人开汽车以的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以的速度返回甲地，把汽车距甲地的距离表示为时间的函数，则此函数的表达式为__________．2．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？3．经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1200元(销售收入=销售价格×销售量).(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.4．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？3.4函数的应用（一）【题组一一次函数模型】1．为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度：第一套第二套椅子高度40.037.0课桌高度75.070.2（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】（1）；（2）给出的这套桌椅是配套的．详见解析【解析】（1）因为课桌高度（cm）是椅子高度（cm）的一次函数，所以可设为，将符合条件的两套课桌椅的高度代如上述函数解析式，得，解得，与的函数关系式是．（2）把代入上述函数解析式中，得，给出的这套桌椅是配套的．2.夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是（）A．1800米B．1700米C．1600米D．1500米【答案】B【解析】设山的相对高度为，单位为百米，相应的温度为，单位为℃，则，令，解得，所以山的相对高度为1700米.【题组二二次函数模型】1．“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到月份（且），每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从月份到9月份不再增加新的生产线.计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加___条熔喷布生产线.（参考数据：，）【答案】5【解析】依题意得，企业甲从2020年1月到9月的需求量为（吨）.易知，企业乙增加1条熔喷布生产线，不符合题意；依题意，当企业乙增加k-1（且）条熔喷布生产线时，从2020年1月到9月的“熔喷布”产量为，所以，即，记，则在上为减函数，又因为，所以最小值为6，所以企业乙至少需要增加5条生产线.故答案为：52