《专题10函数的应用》重难点突破与专题训练

《专题10函数的应用》重难点突破一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理求函数的零点；判断零点所在的区间；函数零点个数的判断；用二分法求函数的零点问题；一元二次方程根的分布问题；指数、对数函数型实际应用问题.三、重难点题型突破重难点题型突破1二分法求函数零点所在区间二分法的概念对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地函数的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求。2、用二分法求函数零点近似值的步骤（给定精确度）（1）确定区间，使。（2）求区间的中点，。（3）计算若，则若，则令（此时零点）；若则令（此时零点）；（4）继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。例1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x2)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)【变式训练1-1】．函数的零点所在的区间是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【变式训练1-2】．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为()A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.5【变式训练1-3】．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内重难点题型突破2方程的根与函数的零点1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数的.2.函数的零点就是方程的，也就是函数的图像与x轴的交点的.3.方程有实根函数的图像与x轴有函数有.4.函数零点的存在性的判定方法5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得0，这个c就是方程的根.例2．（1）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）函数的零点个数为A．0B．1C．2D．3【变式训练2-1】．已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.【变式训练2-2】．已知，函数，当时，不等式的解集为________，若函数与轴恰有两个交点，则的取值范围是________【变式训练2-3】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)重难点题型突破3几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.例3．（1）若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A． B．y＝(0.9576)100xC． D．y＝1－(0.0424)（2）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：）的影响，对近6年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如表所示：x1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是（）A． B．C． D．（3）某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100【变式训练3-1】．某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量（万件）之间的关系如下表所示：x12344.005.527.008.49现有三种函数模型：，，.（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取这两年的数据求出相应的函数解析式；（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.重难点题型突破4实际应用问题例4．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．（1）求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；（2）写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)【变式训练4-1】．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？课堂定时训练（45分钟）1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x2)的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)2．已知实数是函数的一个零点，若，则()A． B．C． D．3．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．35．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)6．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.7．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零点个数为()A．3 B．2C．7 D．08．求函数零点的个数.9．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．10.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x≤180，))求该服装厂所获得的最大效益是多少元？《专题10函数的应用》重难点突破答案解析一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.求函数的零点；2.判断零点所在的区间；3.函数零点个数的判断；4.用二分法求函数的零点问题；5.一元二次方程根的分布问题；6.指数、对数函数型实际应用问题.三、重难点题型突破重难点题型突破1二分法求函数零点所在区间1、二分法的概念对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地函数的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求。2、用二分法求函数零点近似值的步骤（给定精确度）（1）确定区间，使。（2）求区间的中点，。（3）计算若，则若，则令（此时零点）；若则令（此时零点）；（4）继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。例1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x2)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)【答案】B【解析】由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)＝ln2－lneq\r(e)＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B。【变式训练1-1】．函数的零点所在的区间是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】B【解析】函数是上的增函数,是上的增函数,故函数是上的增函数.,,则时,;时,,因为,所以函数在区间上存在零点.故选:B.【变式训练1-2】．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为()A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】依据题意，∵f(1.4375)＝0.162，且f(1.40625)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C．【变式训练1-3】．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【答案】A【解析】∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A。重难点题型突破2方程的根与函数的零点1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数的.2.函数的零点就是方程的，也就是函数的图像与x轴的交点的.3.方程有实根函数的图像与x轴有函数有.4.函数零点的存在性的判定方法5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得0，这个c就是方程的根.例2．（1）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．（2）函数的零点个数为A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】因为在内单调递增，又，所以在内存在唯一的零点．【变式训练2-1】．已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.【答案】【解析】当时，，当时，，当时，，故时，的值域为；当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，的图像如图所示，由图可知，，解之得，故的取值范围是，故答案为：；.【变式训练2-2】．已知，函数，当时，不等式的解集为________，若函数与轴恰有两个交点，则的取值范围是________【答案】【解析】当时，，∵，∴或，解得或，则当时，不等式的解集为；画出函数和的草图得：由图可知，函数与轴恰有两个交点时，或；故答案为：；．【变式训练2-3】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.重难点题型突破3几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.例3．（1）若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A． B．y＝(0.9576)100xC． D．y＝1－(0.0424)【答案】A【解析】设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－(0.9576)，∴y＝(1－t)x＝(0.9576),故选A.（2）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：）的影响，对近6年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如表所示：x1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20，因此A、B不符合题意，当x取1，4时，的值分别为，与表中数据相差较大.故选：C.（3）某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100【答案】C【解析】根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型.【变式训练3-1】．某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量（万件）之间的关系如下表所示：x12344.005.527.008.49现有三种函数模型：，，.（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取这两年的数据求出相应的函数解析式；（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.【答案】（1）模型为较好，理由见解析，相应的函数为；（2）8.05万件.【解析】（1）符合条件的函数模型是.若模型为，由已知得，∴，，∴所以，，与已知差距较大；若模型为，为减函数，与已知不符；若模型为，由，∴，，∴，所以，，与已知符合较好.所以相应的函数为.（2）2020年预计年产量为，所以2020年产量应为8.05万件.重难点题型突破4实际应用问题例4．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．（1）求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；（2）写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)【答案】（1）1166个；（2），；（3）15年.【解析】（1）依题意，一年后这种鸟类的个数为，两年后这种鸟类的个数为.（2）由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，则所求的函数关系式为，.（3）令，得：两边取常用对数得：，即考虑到，故，故因为所以约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上.【变式训练4-1】．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2).解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．课堂定时训练（45分钟）1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x2)的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】由题意知，函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数，因为f(1)<0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)＝ln2－lneq\r(e)>0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)，故选B．2．已知实数是函数的一个零点，若，则()A． B．C． D．【答案】B【解析】因为与是增函数，则在上递增，且，因此，当时，有，即.故选：B3．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.由于一元二次方程的两根均大于，则，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】令f(x)＋3x＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2，故选C．5．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1，2)．6．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.【答案】5【解析】因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.故答案为5.7．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零点个数为()A．3 B．2C．7 D．0【答案】B【解析】(直接法)由f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．8．求函数零点的个数.【答案】个.【解析】因为，所以，，由零点存在性定理，得到在区间内有零点，又因为函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点.9．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调增区间为，单调减区间为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，因为是奇函数，所以．所以.综上：（Ⅱ）图象如图所示．（图像给2分）单调增区间：单调减区间：（Ⅲ）∵方程有三个不同的解∴∴10已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x≤180，))求该服装厂所获得的最大效益是多少元？【解析】设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,100x（90－3\r(5)\r(x)），20<x≤180.))当0<x≤20时，f(x)＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120000.当20<x≤180时，f(x)＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，则f′(x)＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′(x)＝0，得x＝80.当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240000.由于120000<240000.故该服装厂所获得的最大效益是240000元．《专题10函数的应用》专题训练【基础巩固】1．函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标所在区间为(A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)2．函数的零点是（）A． B． C． D．不存在3．已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且当x∈[0，1]时，f(x)=x，则关于x的方程f(x)=110x在区间[0，4]上解的个数是(A.1 B.2 C.3 D.44．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A．B．C．D．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≤0，,\f(1,x)，x＞0，))则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是()A．(1，2) B．(－∞，－2]C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（）A．天B．天C．天 D．天7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x＋3，x≤1，,lnx，x＞1，))若关于x的方程f(x)＝kx－eq\f(1,2)恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．8．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．9．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是．10．函数的零点个数是_________．【能力提升】11．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．12.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A.1<x1<2，x1+x2<2 B.1<x1<2，x1+x2<1C.x1>1，x1+x2<2 D.x1>1，x1+x2<113．已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．14．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.15．某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知小时内供水总量为千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象.（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水千吨，求的最小值，使得供水紧张现象消除.16．某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m（60－m），1≤m≤30，,480，m>30))(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？17．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．18．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．19．已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．20．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．《专题10函数的应用》专题训练答案解析【基础巩固】1．函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标所在区间为(A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)【答案】B【解析】函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标，即为函数f(x)=ln(x+1)-1x∵f(x)在区间(0，+∞)内是图象连续的，且f(1)=ln2-1<0，f(2)=ln3-12>0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2).故选B2．函数的零点是（）A． B． C． D．不存在【答案】C【解析】函数的零点等价于方程的根，函数的零点是，故选：C.3．已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且当x∈[0，1]时，f(x)=x，则关于x的方程f(x)=110x在区间[0，4]上解的个数是(A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由f(x-1)=f(x+1)，可知函数f(x)的周期T=2.∵x∈[0，1]时，f(x)=x，又f(x)是偶函数，∴f(x)的图象与y=110x由图象可知f(x)=110x在区间[0，4]上解的个数是44．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，，∴零点的区间是．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≤0，,\f(1,x)，x＞0，))则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是()A．(1，2) B．(－∞，－2]C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)【答案】D【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋eq\f(1,x)＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（）A．天B．天C．天 D．天【答案】B【思路导引】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果．【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B．7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x＋3，x≤1，,lnx，x＞1，))若关于x的方程f(x)＝kx－eq\f(1,2)恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，eq\f(\r(e),e)))【解析】若关于x的方程f(x)＝kx－eq\f(1,2)恰有4个不相等的实数根，则f(x)的图象和直线y＝kx－eq\f(1,2)有4个交点．作出函数f(x)的图象，如图，故点(1，0)在直线y＝kx－eq\f(1,2)的下方．所以k·1－eq\f(1,2)＞0，解得k＞eq\f(1,2).当直线y＝kx－eq\f(1,2)和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝eq\f(lnm＋\f(1,2),m)＝eq\f(1,m)，所以m＝eq\r(e).此时，k＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(e),e)，f(x)的图象和直线y＝kx－eq\f(1,2)有3个交点，不满足条件，故要求的k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，eq\f(\r(e),e)))．8．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【答案】1.5,1.75,1.875,1.8125【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．9．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点，即函数与的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数在一个周期内的图象，可知．10．函数的零点个数是_________．【答案】2【解析】当时，令，解得；当时，，∵，∴在上单调递增，因为，，所以函数在有且只有一个零点，所以的零点个数为2．【能力提升】11．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，为偶函数画出函数图像，如图所示：根据图像知：当时：无解；当时：有2个根；当时：有4个根；当时：有2个根；当时：有1个根；当时：无解；有且仅有6个不等的实数根和满足：或则满足：则满足：综上所述：故选：12.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A.1<x1<2，x1+x2<2 B.1<x1<2，x1+x2<1C.x1>1，x1+x2<2 D.x1>1，x1+x2<1【答案】A【解析】函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点，即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x2<x1)，在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图)，可知1<x1<2.当y=-b=2时，x1=2，两个函数图象只有一个交点，当y=-b<2时，由图可知x1+x2<2.13．已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．【答案】；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．14．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】画出的图像，和如图，要有两个交点，那么15．某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知小时内供水总量为千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象.（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水千吨，求的最小值，使得供水紧张现象消除.【答案】（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）.【解析】（1）设蓄水量为y，根据题意，，，令，，解得，则，所以一天