《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》课件与导学案

第5章

三角函数5.5.1

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

α终边β终边α-β终边两角差的余弦公式【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦吗？【分析】如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，

以轴非负半轴为始边作角α、β，α-β，它们的

终边分别与单位圆相交于点

连接，.若把扇形绕着点旋转β角，则点A、P分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，

与重合，从而=，所以=

α终边β终边α-β终边根据两点间距离公式，得到等式：

化简得

两角差的余弦公式【探究】由此我们得到了当时，容易证明上式依然成立.所以，对于任意角α，β，都有

α终边β终边α-β终边

此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，记为

由公式可知，只要知道了的值，就可以求出

的值.

另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如：

【例1】利用公式证明【证明】

【例2】已知β是第三象限角，求的值.【解】由，得

又由，β是第三象限角，得

所以

两角和的余弦公式【推导】我们以为基础，推导出其他公式.

这样就可以得到两角和的余弦公式，即

也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.与两角差的余弦公式相比较下

余余正正符号相反两角和与差的正弦公式【1】由诱导公式五：，可得：

两角和与差的正弦公式【2】由诱导公式六：，可得：

即

正余余正符号相同两角和与差的正切公式根据推导经验，有

在上式中，用-β替换β，得到

即

分子同相加，1减他们俩分子同相减，1加他们俩式中的α、β、α+β可以是任意值吗？六个公式之间的关系和推导【和角公式】

【差角公式】

以-β替换β

以-β替换β

作商作商以-β替换β当α=β时，有：

【例3】已知α是第四象限角，求的值.【解】由α是第四象限角，得

则

【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值.【解】(1)由公式S(α+β)，得

(2)由公式C(α+β)，得

(3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得

二倍角的正弦、余弦、正切公式【推导】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式

当α=β时，

当α=β时，

当α=β时，

这样我们就得到了二倍角公式：

在中，结合公式，得到

【例5】已知，求的值.【解】由，得

【例6】已知，求的值.

【解】由，即

化简得

所以5.5三角恒等变换第五章三角函数《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案(第1课时)16第一阶段课前自学质疑17cosαcosβ＋sinαsinβ

18B

19A

20第二阶段课堂探究评价212223242526272829303132333435363738C

39404142434445465.5三角恒等变换第五章三角函数《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案(第2课时)48第一阶段课前自学质疑49cosαcosβ－sinαsinβ

任意角

50sinαcosβ＋cosαsinβ

sinαcosβ－sinβcosα

5152B

53A

54A

5556第二阶段课堂探究评价575859606162636465666768697071727374757677785.5三角恒等变换第五章三角函数《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案(第3课时)80第一阶段课前自学质疑812sinαcosα

1－2sin2α

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