2023年高考数学一轮复习习题：第一章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考纲要求1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词

的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

(2)命题p∕∖g,PVq,㈱P的真假判断

Pqp∖qPVq

真真真真找

真假假真犯用

假真假真真

假假假假真

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“V”

表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号

“m”表示.

3.全称命题和特称命题

名称全称命题特称命题

结构对M中的任意一个X,有P(X)成立存在M中的一个%o，使P(Xo)成立

简记3xo∈Λ∕,P(JcO)

否定3x()∈Λ/,p(xo)VxWM,(X)

•——常用结论与微点提醒

1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：PVq一见真即真，P八4一见假即假，P与㈱P-真

假相反.

2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

3.up∖Zqn的否定是“解P)A%)"，upKqn的否定是“傩P)V避q)”•

4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算

处理含逻辑联结词的命题.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

⑴命题“5>6或5>2”是假命题.()

(2)命题是假命题，则命题p,4中至少有一个是假命题.()

(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()

(4)3JCO∈M,P(Xo)与VXGM，㈱P(X)的真假性相反.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)7

解析(1)错误.命题Pvq中，p,q有一真则真.

(2)错误.p∕λq是真命题，则p,q都是真命题.

(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.

►■教材衍化

2.已知p：2是偶数，q-.2是质数，则命题㈱p,^cj,p7q,PAg中真命题的个数为()

A.lB.2

C.3D.4

答案B

解析P和q显然都是真命题，所以⅛⅛p,都是假命题，PVq,pΛq都是真命题.

3.命题：''Ξx⅛GR,焉一硒+1<0"的否定为.

答案VxWR,x1-aχ-∖-1≥0

>考题体验

4.(2020・唐山模拟)已知命题p：犬X)=X3一分的图象关于原点对称；命题伙g(x)=xcosx的图

象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()

A.㈱pBq

C.p∕∖qD.p∕∖∙q)

答案D

解析根据题意，对于兀V)=X3-0x,有人-x)=(-x)3—“(一x)=—(x3—or)=-y(x),为奇函

数，其图象关于原点对称，P为真命题；对于g(x)=XCOSX,有g(—X)=(-X)COS(-X)=

-XCOSX,为奇函数，其图象关于原点对称，4为假命题，则㈱P为假命题，“为假命题，p∕∖q

为假命题，P八（^q）为真命题.

5.（2021•郑州质检）已知命题p：∀x>0,3Λ>I;命题q：若a<b,则层<兄下列命题为真命题

的是（）

A.pΛqB.p八僦4）

C.僦P）AqD.僦p）∕∖∙q）

答案B

解析p∙.∀x>0,3*>1为真命题，则㈱/，为假命题，

取α=-2,b=~∖,则”2>序，所以夕为假，㈱q为真命题，

因此pΛ（㈱q）为真命题.

6.（2021•合肥调研）能说明命题“VxGR且x≠0>x+->2"是假命题的x的值可以是

（写出一个即可）.

答案一1（任意负数）

解析当x>0时，x+⅛2,

当且仅当X=I时取等号，

当x<0时，x+^≤-2,

当且仅当X=-I时取等号，

.∙.x的取值为负数即可，例如x=-l.

考点分层突破考点聚焦・题型剖析

考点一含有逻辑联结词的命题自主演练

1.（2020・西安检测）已知命题p：若。则比加；命题g：相，〃是直线，。为平面，若m"a,

a,则m//〃.下列命题为真命题的是（）

A.pΛqB.p∕∖（㈱夕）

C.（⅛⅛p）∕∖qD.（㈱p）A（㈱4）

答案B

解析若白>∣例，则。2>〃，...〃真，对于命题q：由加〃nda,则相与〃异面或平行，

・・・q假，则㈱q为真，因此p∕∖（^g）为真命题.

2.（2021・成都调研）已知命题p：函数y=右+sinx,x∈（0,兀）的最小值为2啦；命题q：若

ab=O,bc=O,则α∙c=O.下列命题为真命题的是()

A.僦P)AqB.pVq

C∙pΛ(㈱q)D.僦p)A∙q)

答案D

解析命题p：函数y=肃q+sinx,χC(0,π),由基本不等式成立的条件可知,y>2∖∕盂∖∙sinx

=2√2,等号取不到，所以命题P是假命题.

命题q：取α=c=(l,O),⅛=(0,1),显然α∙6=0,b∙c=O,但“∙c=lW0,所以命题q是假

命题.所以㈱P为真，㈱q为真.因此，只有(㈱p)Λ(㈱q)为真命题.

3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题P是“甲降落在指定范围”，q是“乙

降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()

A.僦p)V∙g)B.pΛ∙g)

C.(㈱P)A(^q)D.pVq

答案A

解析命题P是“甲降落在指定范围”，则㈱P是“甲没降落在指定范围”，4是“乙降落

在指定范围”，则㈱q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定

范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在

指定范围'’“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没

有降落在指定范围”可表示为(㈱p)V(㈱办

4.(2020•全国II卷)设有下列四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

Pr.过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

/24：若直线/u平面α,直线相_1_平面α,则机

则下述命题中所有真命题的序号是.

@/?|Ap4；②Pl∕∖p2;③⅛⅛p2Vp3;④⅛⅛p3V⅛⅛p4.

答案①③④

解析Pl是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同

一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可

知Pl为真命题；P2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；

P3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；P4是真命题，因为

一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知㈱P2,㈱P3,

㈱P4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.

感悟升华1.“pVq”，“pAq"，‘'㈱p"形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词

“或”“且”“非”含义的理解，其操作步歌是：（1）明确其构成形式；（2）判断其中命题p,

q的真假；（3）确定''pV∕'ap∕∖qn“㈱p”形式命题的真假.

2.pΛq形式是"一假必假，全真才真"，pVq形式是“一真必真，全假才假”，㈱p与P

的真假性相反.

考点二全称量词与存在量词师生共研

【例1】（1）（2021・江南十校联考）已知於）=sinx—tanx,命题PTXoe（0,外,©）<0,则（）

A.p是假命题，㈱p：VX∈（θ,习，Xx）

B.p是假命题，㈱p：3Λ-O∈（O,9,火XO）NO

C.p是真命题，㈱p：<x∈（θ,5,Λx）≥O

D.p是真命题，㈱p：Ξro∈（θ,加o）2O

（2）已知命题p：VX∈N*,，命题q：3x∈R,2v+2'^x=2√2,则下列命题中是真

命题的是（）

A.pΛqB.懒p）∕∖“

C.p八僦夕）D.∙p）∕∖∙q）

答案（I）C（2）A

解析⑴当尤£仔，时，sinx<l,tan%>l.

此时sinχ-tanx<0,故命题P为真命题.

由于命题P为特称命题，所以命题P的否定为全称命题，

则㈱P为：VXG[0,9,Kx）》0.

（2）由y=Q）”与y=G）'的图象的位置关系，

知VXeN*,（ɪf`（ɪf成立，P为真命题.

又2t+2'^t>2√2r∙2l^=2√2,

当且仅当2x=2∣r,即X=/时，上式取等号，

则4为真命题.因此p∕∖q为真命题.

感悟升华1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和

特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词：二是

要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.

2.判定全称命题"Vx∈M,P(X)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素X,证明P(X)成

立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个X=X°,使P(Xo)成立即可.

【训练1】⑴已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：VAX)∈A,∣∕U)∣∈B,则⅛⅛

P为()

A.力(x)∈A,府)|初

B.∀Ax)⅛A,IKX)I砧

C.3Λ%)∈A,∣AX)WB

D.3Λx)ΦA,贝幻|在8

(2)(2020・兰州诊断)已知命题p："≡τo∈R,V^j^>O"的否定是”Vx∈R,V~>0或x+l=

ʌ()I1*¼IL

0”；命题0"x<2021”的一个充分不必要条件是“x<2020”，则下列命题为真命题的是()

A..p∕∖qB翩q

C.pΛ(⅛⅛q)D.懒P)Aq

答案(I)C(2)A

解析(1)全称命题的否定为特称命题需：改写量词，否定结论.

...㈱p：于(x)∈A,l/U)IeA

(2)命题p：4*3xoeR,-⅛γ>0”的否定是“VXGR,±<0或尤+1=0”，故命题P是真

√v()Iɪ√vIɪ

命题.

命题q："x<2021”的一个充分不必要条件是“x<2020”，为真命题.

故PAq为真命题，其余为假命题.

考点三由命题的真假求参数典例迁移

【例2】⑴已知命题p：∀xeR,2∙v<3r,命题q：3x∈R,*=2一居若命题埼P)Aq为真

命题，则X的值为()

A.lB.-1

C.2D.-2

2

(2)(经典母题)已知yU)=ln(x+l),g(x)=O-m,若对∀xι∈[0,3],3x2∈[l.2],使得

Kn)2g(X2)，则实数m的取值范围是.

答案(I)D(2)\,+8)

解析(1)因为⅛⅛p:3A∈R,2*23。要使(⅛⅛p)∕∖q为真，所以㈱P与夕同时为真.

由2工23。得住)21,所以XWO.①

由¢=2—Xy得X=I或X=-2.②

由①②知x=-2.

(2)当X∈[0,3]时，段)min=KO)=0,

当χd[l,2]时，g(x)min=g(2)=；一机，

由y(X)min2g(x)min，

得021—，72,所以〃?》；.

【迁移】本例(2)中，若将"Ξr2d[l,2]"改为"VX2G[1,2]”，其他条件不变，则实数

的取值范围是.

答案[ɪ+8)

解析当Xe[1,2]时，g(X)max=g(D=；—加，

对VXlGi0,3],VX2∈[1,2]使得/(Xi)》g(X2)等价于y(X)min》g(X)max,得机，；•加》

感悟升华1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：

(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

2.全称命题可转化为恒成立问题.

3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【训练2】(2021♦豫北名校联考)已知p：函数於)=x2-(2α+4)x+6在(1,+8)上是增函数,

q∙Vx∈R,Λ2+αx+2α-3>0,若PA(^q)是真命题，则实数α的取值范围为.

答案(一8,-1]

解析依题意，P为真命题，㈱q为真命题.

若P为真命题，则昔dwi，解得-1.①

若㈱q为真命题，贝归M)£R,猫+0ro+24—3W0成立.

Λa2—4(2a—3)≥O,解之得^≥6或αW2.②

结合①②，知。<一1,即实数。的取值范围是(-8,-1].

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

L命题p："Vx>l,x2-l>0w,则㈱P为()

A.∀Λ>1,X2TWoBVxW1,Λ2-1≤0

C.3J⅛>1>Λ3-1≤0DTxoW1,Λδ-l≤O

答案C

解析命题p："Vx>1,A2—l>0,",则㈱p：3ΛO>1,-1≤0.

2.(2020・贵阳检测)给出两个命题：p：”事件A与事件B对立”的充要条件是“事件A与事

件B互斥"；q：偶函数的图象一定关于y轴对称，则下列命题是假命题的是()

A.p∖/qB.p∕∖q

C侬P)VqD.(㈱p)∕∖q

答案B

解析由于“事件A与事件B对立”是“事件A与事件8互斥”的充分不必要条件，故命

题p是假命题.

又(7为真命题，因此PVq,(㈱P)Vq,(㈱P)Aq均为真命题，p∆q为假命题.

3.命题'勺xo∈R,1勺UO)W2”的否定形式是()

A.∀x∈R,I<∕(x)≤2

B.3ΛO∈R,1JΛ⅛)W2

C.3xo∈R,∕xo)≤ɪ或兀吩>2

D.∀Λ∈R,Λx)W1或∕x)>2

答案D

解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为：∀x∈R,Wl或y(x)>2.

4.已知命题'勺XGR,4f+(α-2)x+}≤0"是假命题，则实数α的取值范围为()

A.(-∞,0)B.[0,4J

C.[4,+∞)D.(0,4)

答案D

解析因为命题'勺x∈R,4χ2+(α-2)x+4≤O"是假命题，所以其否定为''Vx∈R,4x2+(“

-2)x+∣>0w是真命题.

则J=(a-2)2-4×4×∣=α2-4t∕<0,解得0<α<4.

5.命题p：函数y=k>g2(χ-2)的单调递增区间是“，+8),命题中函数y="∙的值域为

(0,1).下列命题是真命题的为()

A.p∕∖夕B.pVq

C.pΛ(⅛Mq)D.⅛⅛q

答案B

解析由于y=k>g2(χ-2)的单调递增区间是(2,+∞),

所以命题p是假命题.

由3，>0,得3jt+l>l,所以Oq⅛77<l,

3十1

所以函数y="I的值域为(0,1),故命题4为真命题，㈱q为真命题.

所以p∕∖q为假命题，PVq为真命题，PA(^q)为假命题，为假命题.

6.已知函数兀v)=∕v-2α+l.若命题"Vx∈(0,l),y(x)WO”是假命题，则实数”的取值范围

是()

A.&1)B.(l,+∞)

C.&+8)D.g,I)U(1,÷∞)

答案D

解析函数./(x)=α2χ-2α+1,

命题"Vx∈(O,1),fl,x)≠On是假命题，

原命题的否定："mxo∈(θ,1),使yu))=o”是真命题，

•；/(1加0)<0，即(〃-2"+1)(-2“+1)<0,

Λ(α-l)2(2α-l)>0,解得ɑg,且α≠l,

实数”的取值范围是6，l)u(l,+∞).

7.已知命题p：Vx>0,el>x+l,命题q：3Λ∈(0,+∞),∖nx^x,则下列命题正确的是()

∖.pf∖qB.(㈱p)∕∖q

C.pA(^<7)D.僦P)八微q)

答案C

解析令,/(x)=e*—x—1,则/(X)=e*—1,当x>0时，

/(x)>O,所以y(x)在(0,+8)上单调递增，

，火处40)=0，即ej⅛x+l,则命题。真；

ɪ1-ɪ

令g(x)=lnχ-X,x>0,则g，(X)=1一1=F

当x∈(0,1)时，^,(Λ)>0;当X∈(1,+8)时，/(χ)<0,

即当X=I时，g(x)取得极大值，也是最大值，

所以g(χ)max=g(D=-1<0,

.∙.g(x)<O在(0,+8)上恒成立，则命题4假，

因此㈱q为真，故p∕∖(㈱q)为真.

8.已知命题p：*lVx≡[0>1]>；命题q：“mx°WR,使得高+4xo+a=O".若命题

“pAq”是真命题，则实数4的取值范围为()

A.[e,4JB.(—8,e]

C.[e,4)D.[4,+∞)

答案A

解析若命题“pi\q”是真命题，那么命题p,q都是真命题.由VχG[0,1],得a2e；

由Ξt()GR,使j⅛+4xo+4=O,得/=16—4a20,则α≤4,因此e=≤α≤4.

二、填空题

9.命题“VXGR,./(x)∙g(x)W(Γ的否定是.

答案Ξro∈R,√(xo)∙g(xo)=O

解析命题“VxeR,yU)∙g(x)WO"的否定是''ΞroGR,y(xo)∙g(xo)=O".

TT冗

10.若"Vx∈[一不ɜj,WIWtanX+2”为真命题，则实数机的最大值为.

答案1

解析由Xe—彳，：，得IwtanX+2W2+小.

TTTT

Vu∀χ∈—『3，mWtanx+2”为真命题，则mWL

.∙.实数m的最大值为1.

11.下列四个命题：pi：任意x£R,2γ>0;p2：存在x£R,x2+x+1≤0;pɜ:任意XeR,

sinx<2v;p4:存在χGR,CoSX>x2+x+1.其中是真命题的为.

答案p∖,P4

解析Vx∈R,2*>0恒成立，.∖pι是真命题.

又Λ2+X+1=（X+0+・>。，∙,∙P2是假命题.

∙,∙P3是假命题.

取X=-T时，COS

但Λ2+X+1=1＜坐，.∙.p4为真.

综上，P∖,P4为真命题，P2,P3是假命题.

12.（2021•安徽六校联考）若命题**3Λ-O∈R,使得Q/+1成立”是假命题，则实数Z的取值范

围是.

答案（一8,1]

解析'匕xo∈R,使得⅛>4+l成立”是假命题等价于“VxGR,都有&≤∕+l恒成立”是

真命题.因为/+121,即』+1的最小值为1,要使∕Wf+l恒成立，只需4W（X2+l）min,

即kWl.

B级能力提升

13.命题"Vx∈R,m∕ι∈N*,使得〃》*”的否定形式是（）

A.Vx∈R,3n∈N*,使得

B.∀Λ∈R,W"∈N*,使得〃<r2

C.3x∈R,3n∈N*,使得“<*2

D.3Λ⅛∈R,V-∈N*,使得〃<必

答案D

解析改变量词，否定结论.

该命题的否定应为：3xo∈R,V