（江苏专用）高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数阶段回扣练 理-人教版高三数学试题

一、填空题1.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少1名，则不同的分配方案共有________种.解析先将4名大学生分成3组，共Ceq\o\al(2,4)种分法，再将3组分到3个乡镇，共Aeq\o\al(3,3)种安排方法，所以总分配方案共Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36(种).答案362.设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCeq\o\al(r,6)x6－eq\f(3,2)r∴A＝(－a)2Ceq\o\al(2,6)，B＝(－a)4Ceq\o\al(4,6)，由B＝4A，得(－a)4Ceq\o\al(4,6)＝4(－a)2Ceq\o\al(2,6)，解之得a＝±2.又a>0，所以a＝2.答案23.(2015·北京海淀区模拟)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)的值为________.解析∵E(X)＝np＝6，V(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝eq\f(1,2)，n＝12，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(11)＝3·2－10.答案3·2－104.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答).解析当每个台阶上各站1人时有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,7)种站法，当两个人站在同一个台阶上时有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)种站法，因此不同的站法种数有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336(种).答案3365.已知随机变量X的概率分布为：X12345P0.10.20.40.20.1若Y＝2X－3，则P(1<Y≤5)＝________.解析1<Y≤5，即1<2X－3≤5，所以2<X≤4，故P(1<Y≤5)＝P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＝0.6.答案0.66.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为________.解析基本事件的总数是Ceq\o\al(3,10)，在三种门票中各自选取一张的方法是Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)，故随机事件“选取的3张中价格互不相同”的概率是eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5×3×2,120)＝eq\f(1,4)，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的概率是1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)7.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于________.解析法一X＝1时，P＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))；X＝2时，P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))，∴E(X)＝1×eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＋2×eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7×3＋2×3,Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,5).法二依题意X～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，∴E(X)＝2×eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)8.(2016·泰州调研)盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________.解析法一第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝eq\f(3,5)，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq\f(5,9).法二所求概率P＝eq\f(Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(1,9))＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)9.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为________.解析依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.且P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12)，因此E(ξ)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)10.甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动，若每个社区至少有一名义工，则甲、乙两人被分配到不同社区的概率为________.解析因为甲、乙两人被分到同一个社区的情况有6种，而将四名义工分配到三个不同的社区，每个社区至少分到一名义工的情况有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36种，故甲、乙两人被分配到不同社区的情况共有36－6＝30种，故所求概率为eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)11.设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.解析不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，列出相关分布列：S－2－101234m241014916peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)E(ξ)＝eq\f(1,7)×0＋eq\f(2,7)×1＋eq\f(2,7)×4＋eq\f(1,7)×9＋eq\f(1,7)×16＝5.答案512.将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人.分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有________种.解析将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))＝eq\f(1,2)×15×6＝45种分组方法.将四组分赴四个不同场馆有Aeq\o\al(4,4)种方法.∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·Aeq\o\al(4,4)＝1080种方法.答案108013.(2016·邯郸模拟)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________.解析随机变量X的取值为0，1，2，4，P(X＝0)＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(1,36)，因此E(X)＝eq\f(4,9).答案eq\f(4,9)14.节日期间，某种鲜花的进货价是每束2.5元，销售价是每束5元，节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理.根据前五年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的概率分布X200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则期望的利润是________元.解析节日期间鲜花预售的量E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340，则期望的利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，∴E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元).答案706二、解答题15.(2015·四川卷节选)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的概率分布.解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,100)，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)根据题意，X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，所以X的概率分布为X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)16.(2015·苏北四市调研)某品牌汽车4S店经销A，B，C三种排量的汽车，其中A，B，C三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型.某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能.(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的概率分布及数学期望.解(1)设该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车为事件M，则P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(1,55).所以该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率为eq\f(1,55).(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(3,44)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(3,11)，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝eq\f(29,44).所以X的概率分布为X123Peq\f(3,44)eq\f(29,44)eq\f(3,11)数学期望E(X)＝1×eq\f(3,44)＋2×eq\f(29,44)＋3×eq\f(3,11)＝eq\f(97,44).17.某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率是eq\f(4,5)，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同的课程取得的成绩相互独立.记ξ为该同学取得优秀成绩的课程数，其概率分布为：ξ0123Peq\f(6,125)abeq\f(24,125)(1)求该同学至少有1门课程取得优秀的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(ξ).解设事件Ai表示“该同学第i门课程取得优秀成绩”，i＝1，2，3，由题意可知P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事件“该同学至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(6,125)＝eq\f(119,125).(2)由题意可知P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝eq\f(1,5)(1－p)(1－q)＝eq\f(6,125)，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)pq＝eq\f(24,125)，整理得pq＝eq\f(6,25)，p＋q＝1，由p>q可得p＝eq\f(3,5)，q＝eq\f(2,5).(3)由题意可知a＝P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)(1－p)(1－q)＋eq\f(1,5)p(1－q)＋eq\f(1,5)(1－p)q＝eq\f(37,125)，b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(58,125)，E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1÷P(ξ＝1)＋2÷P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝0×eq\f(6,125)＋1×eq\f(37,125)＋2×eq\f(58,125)＋3×eq\f(24,125)＝eq\f(9,5).18.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是eq\f(2,3)，假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的概率分布及数学期望.解(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3.由题意，各局比赛结果相互独立.则P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为eq\f(8,27)，以3∶2胜利的概率为eq\f(4,27).(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27)，又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－(X＝2)＝eq\f(3,27)，∴X的概率分布为X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)∴E(X)＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4,27)＋2×eq\f(4,27)＋3×eq\f(3,27)＝eq\f(7,9).19.某投资公司在2017年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的概率分布为X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的概率分布为：X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200(万元).V(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，V(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000.所以E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.