平面向量习题和公式

公式1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.

当λ＞0时,λa与a同方向；

当λ＜0时,λa与a反方向；

当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）；

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方.

a⊥b〈=〉a•b=0.

|a•b|≤|a|•|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.

2、向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c(a≠0),推不出b=c.

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①当且仅当a、b反向时,左边取等号；

②当且仅当a、b同向时,右边取等号.

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

①当且仅当a、b同向时,左边取等号；

②当且仅当a、b反向时,右边取等号.平面向量测试题一、选择题:1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3),b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。A、B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知||=4,|b|=3,与b的夹角为60°，则|+b|等于（）。16、已知平面上3个向量、b、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。(1)求证：(-b)⊥;

(2)若|k+b+|>1(k∈R),求k的取值范围。（12分）17．（本小题满分12分)已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-λe1-8e2,=3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值.18．某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？参考答案

一、选择题：

1.D.设R(x,-9),则由得(x+5)(-8)=-11×8,x=6.

2.C.∵|b|,∴||=.

3.A.平移后所得向量与原向量相等。

4．A．由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得a2=b2+c2-bc,A=60°.

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0,∴ΔABC是直角三角形。

5．D．.

6.B

7.B.由，得OB⊥CA，同理OA⊥BC，∴O是ΔABC的垂心。

8．A．(1)(2)(4)均错。

9．B．由，得c=4,又a2=b2+c2-2bccosA=13,

∴.10．B．-=x2+xb，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数λ和μ，使-=λ+μb。故λ=x2,且μ=x,

∴λ=μ2，故原方程至多有一个实数解。

二、填空题

11.

12..13.与水流方向成135°角。

14．。·b=|||b|cosθ,

∴,|×b|=|||b|sin三、解答题15．由题设,设b=,则由,得.∴,

解得sinα=1或。当sinα=1时，cosα=0；当时，。故所求的向量或。16．(1)∵向量、b、的模均为1，且它们之间的夹角均为120°。∴,∴(-b)⊥.(2)∵|k+b+|>1,∴|k+b+|2>1,∴k22+b2+2+2k·b+2k·+2b·>1,∵,∴k2-2k>0,∴k<0或k>2。17．解法一：∵A、B、D三点共线∴与共线，∴存在实数k,使=k·又∵=(λ+4)e1+6e2.∴有e1+e2=k(λ+4)e1+6ke2∴有∴解法二：∵A、B、D三点共线∴与共线，∴存在实数m,使又∵=(3+λ)e1+5e2∴(3+λ)me1+5me2=e1+e2∴有∴18、解：(1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作OACB，则此人的实际速度为图①