函数与导数-浙江省嘉兴市高考数学三年（2021-2023）模拟题汇编

函数与导数-浙江省嘉兴市高考数学三年(2021-2023)模拟

题知识点分类汇编

一、单选题

1.(2023•浙江嘉兴•统考二模)设函数/(x)的定义域为R,其导函数为/(x),若

r(—x)=r(x)，f(2x)+.f(2—2x)=3,则下列结论不一定正确的是()

A."l-x)+∕(l+x)=3B."2-x)=r(2+x)

C.Γ(∕(l-x))=Γ(∕(l+x))D./(r(x+2))=∕(r(x))

2.(2023•浙江嘉兴•统考二模)已知集合&=31。8/<1},8=卜|/+工一2《0},则

A^B=()

A.{x∣-2<x<2}B.{x∣-2≤x≤l}

C.{x∣O<x≤l}D.{X∣0<Λ<2}

3.(2023∙浙江嘉兴・统考二模)已知〃=LlL2∕=I2∙3,C=I.3",则()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

4.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)定义在R上的函数f(x)满足

/(x+2)∕(x)-"x+2)+"x)+l=O,若/⑴>0,且对Vx,yeR,均有

/(x+y)∕(x-j)=[∕(x)+∕(y)][∕(x)-∕(y)],则“2023)=()

A.1+5/2B.—1+∙∖∕2C.1—>/2D.—1—∖/2

5.(2022•浙江嘉兴•模拟预测)如图为函数/(X)=Xa∙sinx,(αeR)的部分图象,则α的

6.(2022•浙江嘉兴•模拟预测)平面直角坐标系中，若两点S(χ,χ),T(X2，%)，满足

归-x2∣≥l或lx-%住1，则称点S和点T保持了合理间距.正方形OSC中，顶点

0(0,0),43,0),3(3,3),C(0,3),动点P,。都在正方形04BC内(包括边界)，且点P在

抛物线y=Y上，则下列说法错误的是()

A.若点尸与点O,4,B都保持了合理间距，则点P的横坐标的取值范围是[1,百]

B.若点Q与点O,A,8都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积为6

C.若点Q与点P,O,A,8都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最大值为

6

D.若点。与点P,O,A,B都保持了合理间距，则点。的轨迹所形成的面积最小值为

[l+√3]

7.(2022.浙江嘉兴.模拟预测)设4,b∈R,则"lga+lgb=O”是“或=1”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

8.(2022.浙江嘉兴.统考二模)设4,⅛6R,若XNo时，恒有

2X2≤X4-X3+2Λ2+OX+⅛≤X4+1,则()

A.∖a∖-∖b∖=2B.a-b=2C.∖a∖+∖h∖=2D.a+b=2

9.(2022•浙江嘉兴•统考二模)已知集合A={ψ'≤8},B={x∣-l≤x≤6},则AUB=()

A.(-∞,6]B.[-1,6]C.l-l,3]D.(0,6]

10.(2022•浙江嘉兴•统考二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则/(x)的解析式可能

是()(e=2.71828是自然对数的底数)

et+e^r

B./(%)

IXI-2

ΛX-eΓxet+e^r

C.CX)=*ID.ʃ(ɪ)=

JX2-2W~xr^

11.(2021•浙江嘉兴・统考模拟预测)已知函数/(x)=oχ2-4x+2b(α>0),存在互不相

等的实数使得/(附=助，ʃ(n)=ap,f(p)=am,则()

A.a>2bB.a<2h

试卷第2页，共6页

C.a>4bD.a<4b

12.（2021.浙江嘉兴.统考模拟预测）函数/（x）=W3sinx的图象可能是（）

13.（2021.浙江嘉兴.统考模拟预测）已知“，匕为实数，若对任意的α≥也，函数

2

y=|ln（x-α）∣+∕-2or-W有2个零点，则b的取值范围是（）

A.（In2,-κo）B.（1,÷∞）C.（l+ln2,+∞）D.（2,+α））

14.（2021.浙江嘉兴.统考模拟预测）若α>0,6>0,且“+[=l,则下列不等式错误

b

的是（）

αβ

A.2+2*≥2√2∙&+不,垃

2

C.—+⅛≥6D.ɪogɔa-Iog9b<-2

a

15.（2021•浙江嘉兴・统考模拟预测）函数y=sin%In（工工0）的图象可能是（)

16.（2021•浙江嘉兴•统考二模）函数C（X）=

二、多选题

17.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)己知函数"力=Inx,g(x)=2x,则下列说法正

确的是()

A.若F(X)=/(x)g(x),则k(X)=2+2InX

B.若G(X)=/(g(x)),则G'(x)==

C.若"U)=鼎’则"O)=富

o∖λ∕ZX

D.方程“x)=g(x)-2有唯一实根

三、填空题

,1

18.(2023•浙江嘉兴・统考二模)已知直线/与曲线G：y=x和c,：y=—-均相切，则该

X

直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

2

19.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)已知函数/(x)=%e'-工有两个极值点，则实数机

的取值范围是.

/、[∣lrιr∣,x>0

20.(2022•浙江嘉兴•模拟预测)已知函数〃X)=2'<'八，若方程/(x)-α=0

X—4Λ+ɔ,XSU

有4个不同的实数解，则实数”的取值范围为.

21.(2021•浙江嘉兴•统考模拟预测)已知法=1,AC是以。为圆心，2&为半径的

试卷第4页，共6页

圆周上的任意两点，且满足成.应7=0，设平面向量力与0%的夹角为6(0≤e≤(),

则平面向量以在B"方向上的投影的取值范围是.

四、双空题

22.(2022•浙江嘉兴•统考二模)已知函数f(χ)的定义域为R,且满足/(D=/0+1),

当x∈J1,1］时，/*)={.八/-若〃3)=/(-3),则实数8=___________,

∣x-l∣,0≤x≤l.

佃=--------

2vr>0

23.(2021•浙江嘉兴・统考模拟预测)已知函数/(X)=2'c一二则

X+Λ-2,X<0,

/(./■(-3))=:若/(/(a))=OmWR),则α=.

五、解答题

24.(2023•浙江嘉兴•统考二模)已知.f(x)=e',g(x)=lnx.

⑴若存在实数。，使得不等式/(x)-g(x)2∕(a)-g(α)对任意X∈(0,E)恒成立，求

/(α)∙g(α)的值;

⑵若1<%<々，设吐=/(ɪɔ-f(%)儿=g(j⅞)-g(j⅛),证明：

Xi-X2X1-X2

①存在毛€(AX2),使得g=x°∙e”成立；

②一小苧立六.

2∖∣xix2

25.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)己知函数"x)=x-1-41nx(a>0),

g(x)=x2-l-xlnx.

(1)讨论函数/(χ)的单调性；

(2)若函数f(x)有三个零点x∣,x2,x3,求证：g(xJ+g(x2)+g(w)>O.

26.(2022•浙江嘉兴•模拟预测)已知函数/(x)=e'+α√-e,αeR.(注：e=2.71828

是自然对数的底数)

(1)当α=l时，求曲线y=/(x)在点(IJ⑴)处的切线方程;

(2)若/(χ)只有一个极值点，求实数。的取值范围；

(3)若存在6∈R,对与任意的xeR,使得/(x)2b恒成立，求a-6的最小值.

27.(2022.浙江嘉兴•统考二模)已知函数/(x)=e-'(χ2+3x+3)-m(χ2+2x-3)

(eχ271828是自然对数的底数).

⑴若加=2,求曲线y=F(X)在点(Oj(O))处的切线方程;

(2)若函数/(X)有3个极值点为,*2，匕，(X>工2>⅞)>

(i)求实数，〃的取值范围；

,11、

(ii)证明：λ⅛>-(丁+~.

ZX1ZX2

28.(2021•浙江嘉兴・统考模拟预测)已知函数/(x)=τlnx+α(x+l),αeR.

(1)求函数Ax)的单调区间；

(2)若关于X的不等式”x)≤2α在［2,+8)上恒成立.求”的取值范围；

(3)若实数b满足α<-∕+ι且证明：/(χ)<l-21n⅛2.

29.(2021•浙江嘉兴•统考模拟预测)已知/(x)=x∙*',g(x)=√≡FT.

(1)求y=∕(χ)+g(χ)在户-1处的切线方程；

2

(2)若c∕(x)≥g(x)+'"恒成立,求〃的取值范围.

a

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.C

【分析】根据题意令x=2X可得"x)+∕(2-x)=3,即函数f(X)图象关于对称，即可

判断A：根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数/'(X)的周期为2,即可判断BD；由

尸(2-x)=∕'(2+x)知函数/(X)图象关于直线χ=2对称，举例说明即可判断C.

【详解】A：/(2x)+∕(2-2x)=3

令x=2x,得〃x)+f(2—x)=3,则函数f(χ)图象关于点(1,∙∣)对称.

若/(l-x)+f(l+x)=3,则函数f(χ)图象关于点(1,∙∣)对称，符合题意，故A正确；

B：由选项A的分析知/(x)+"2-x)=3,等式两边同时求导，

得∕,(x)-∕,(2-x)=0,即f'[x)=∕,(2-x)φ,

又r(χ)=∕'o,/(χ)为偶函数，所以/仅―x)=r(x—2)②，

由①②得r(X)=/'(X—2),所以函数尸(x)的周期为2.

所以f(2-x)=f'(x)=∕'(2+x),即八2-X)=If(2+x),故B正确;

C：由选项B的分析知f'(2-x)=∕'(2+x),则函数/'(X)图象关于直线x=2对称.

令"1-x)=5-△(x)J(I+x)=5+A(x),若∕,(--∆(x))=f∖-+∆(x)),

则函数/(X)图象关于直线X=；对称，不符合题意，故C错误；

D：由选项B的分析可知函数r(x)的周期为2,则r(x)=∕'(x+2),

所以“-(功=/(./-,(x+2)),故D正确.

故选：C.

2.C

【分析】解不等式求得两个集合，再根据交集计算即可.

【详解】由题意，可得1。82、<1=1。822,，4=1[0<1<2}；

X2+x-2<O,.-.B=∣Λ∣-2≤X≤1},

则An3=M<x≤l}.

故选：C.

答案第1页，共23页

3.B

【分析】利用中间值1勿2比较α力的大小，再让b,c与中间值18比较，判断6,c的大小,

即可得解.

223

【详解】β=l.l'<1,2'<1,2'=⅛,又因为通过计算知10<1.33,所以(1.2)03<(13、厂,

即L2∣2<1∙3°∙9,

又1.2°」<1.3°」，所以12∙3<13<1.3"=c,所以α<6<c.

故选：B

4.C

【分析】利用赋值法求得〃T)J⑴，根据抽象函数关系式找到规律求得“2023).

【详解】由/(x+2)"x)-"x+2)+f(x)+l=0,

令户—1得/⑴/(T)T⑴+"T)+1=O①，

由/(χ+y)∕(χ-y)=[∕(χ)+∕(y)][∕(X)-〃>)]，

令χ=1,y=0得Iy(I)了=卜⑴了一口⑼了,"0)=0；

令，=l,y=T得〃0)〃2)=[〃1)丁_[〃-1)｝，

即卜⑴了-Iy(T)了=OJ(T)=/⑴或/(T)=寸⑴,

当/(T)=F(I)时，代入①得[/⑴了+1=0,无解；

当〃τ)=∙√(ι)时，代入①得[/(1)7+2〃1)-1=0,

解得〃1)=&—1(负根舍去)，则/(T)=I-夜.

由"x+2)”x)-∕(x+2)+"x)+l=0,

令X=I得〃3)〃1)_〃3)+〃1)+1=0,解得"3)=亚+1；

令x=3得〃5)"3)-f(5)+"3)+l=0,解得“5)=—四—1；

令x=5得f(7)”5)-f(7)+J⑸+1=0,解得"7)=1-亚=∕(T),

……以此类推，

由于2023=253x8—1,所以/(2023)=∕(-l)=l-√2.

答案第2页，共23页

故选：C

【点睛】根据抽象函数关系式求函数值，特别是与年份有关的函数值，可以利用赋值法进行

求解.在求解的过程中，要多次尝试，找到规律，从而求得所求的函数值.

5.D

【分析】根据图象判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解即

可.

【详解】解析：由图可知F（X）为偶函数，因为SinX为奇函数，所以K也为奇函数，排除A

和C,如果α=3,即/（x）=Psinx,则/（£|=（口>2,与图不符，所以不能取3,故

排除B项.

故选：D.

6.D

【分析】对于A：可得和（∣α∣≥l或W≥l）且（∣”3∣N1或MNl）且（Ia-3∣≥1

或忙-3∣≥1）,求解即可；对于B：根据几何意义理解即可；对于C、D：若点。与点尸保

持了合理间距，则以尸为中心、边长为2的正方形EF。”内的点是不符合题意，且

2

Q（a+},a+∖）,结合图像分情况讨论.

【详解】设点P（a,/）,动点P在正方形OABC内（包括边界），则解得O≤α≤逝

若P与点O,A,8都保持了合理间距,则（IaINI或M≥l）且（Ia-33或阿≥1）K（∣α-3∣≥l

或∣∕-3∣≥1）,解得心1

点P的横坐标的取值范围是［1,百］,故A正确.

如图，点。与点。，A,8都保持了合理间距，图中阴影部分是不符合题意，点。的轨迹

所形成的面积为6,故B正确.

答案第3页，共23页

,y

A

,uI23X

若点。与点尸保持了合理间距，则以P为中心、边长为2的正方形EF0，内的点是不符合

题意，且Q(α+L∕+1)

设点Q的轨迹所形成的面积为73)，

当()≤α≤l时，如图，阴影部分是不符合题意，

2

f［p}=7-SOGQD=7—(α+l)(α÷1)=—〃—才—a+6在［0,1］上单调递减

/(a)=6-4+Sl+S2+S3

=2+(2-a)(2-α")+(α-1)(2-q-)+(α-1乂矿-1)=/-2,cι^—a+5

/'(α)=3∕-4α-l<0当1<“<血恒成立

/3)在(1,a)上单调递减，则f(α)∈(l+√2,3).

答案第4页，共23页

当√5≤α≤6时，如图，阴影部分是不符合题意,

贝

ʃ(ɑ)=^~SEFDG+5I=6—2(4—α^)+(α-1)=1a^+a-3,IJf(a)∈[1+Λ∕2,3+ʌ/ɜj.

综上，(4)∈[l+√Σ,6].所以C正确，D错误.

H

故选：D.

7.A

【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】由lgα+Igb=O=Ig，出=0=。。=1且。＞0且方＞0,

故选：A.

8.C

【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.

【详解】当XNO时:恒有2x?≤x4-X3+2x?+0r+Z>≤x4+1,

当X=O时，原式化为0≤6≤l;

答案第5页，共23页

当X=I时，原式化为2≤α+b+2≤2,即〃+/?=0,

=≤a≤0.

又x≥0时，2f≤J一χ3+2χ2+0r+b≤d+ι恒成立；

.,.ax+b≤xi-2X2+1>即0x-α≤X3-2x?+1恒成立；

∙,∙a(x-1)≤x3—2x2+1=(x-l)(x2-x-1)恒成立；

当x>l时，.∙.α≤χ2-χ-i恒成立，,a，/一X-IL,(χ>l)

令f(χ)=χ2-X-I=(X-g)-ɪ>则

由二次函数的性质，知/(X)在(1+8)单调递增；

f(x)>/(I)=I2-I-I=-I,B[j.∙.α≤-1,

又一1≤Q≤O,.,.a=-l,则人=1.

对于A,∖a∖=∖h∖=∖9故A不正确；

对于B,a-h=-∖-i=-2,故B不正确；

对于C,∣α∣+网=H+1=2,故C正确；

对于D,a+b=O,故D不正确.

故选：C.

9.A

【分析】先解出集合A,再计算Au3即可.

【详解】A={Λ∣2V≤8}=(X∣X≤3},故ADB=(TO,6].

故选：A.

10.B

【分析】根据函数的奇偶性可排除A,根据函数的定义域可排除CD.

【详解】解：对于A,函数〃X)=∙5P⅛的定义域为(F,-2)(-2,2)(2,小),

1刘一2

由"τ)=3⅛=-"x)'

所以函数/(X)=鲁丁为奇函数，不符合题意；

IXl-2

对于B,函数/(x)=S芋；的定义域为(—,-2)(-2,2)(2,4∞),

∣x∣-2

答案第6页，共23页

由〃T=⅛≡="x)'

所以函数")=⅛⅛为偶函数'符合题意;

函数/(χ)=f⅛,

对于C,

则χ2-2NW0，得XW±2且％。±4,

故函数/。)=4二的定义域为卜,力±2且;^±4},

X—2'Al

结合函数图像可知，不符题意；

对于D,函数/⑶二与鼻的定义域为任上工攵且工力士小,

x~—2

结合函数图像可知，不符题意.

故选：B.

11.A

【分析】把已知三个等式相加，移项配方后可得.

【详解】由题意：am2-am+2b=an.an2-an+2b=ap,ap1-ap+2b=aιn,

三式相加得：a(m2-ιn+n1-n+p2—p)+6h=a(m+n+p),

所以α(z∏2—2∕∏+/°—2〃+/-2p)+66=0,即ɑ[(w-l)2+(/z-l)2+(p-l)2J+6⅛-3a=0,

因为”>0,小〃，P互不相等，(机-l)2+("-l)2+(p-l)2>0,

所以66—34<0,BPα>2⅛.

故选：A.

12.B

【分析】分析函数/(x)的奇偶性、〃万)的值以及函数/(x)在(0,外上的函数值符号，结合

排除法可得出合适的选项.

【详解】函数/(Λ)=V?SinX的定义域为R,f(-x)=,(-x)2sin(-x)=-∖[x^sinx=-/(x),

函数f(x)=正SinX为奇函数，排除D选项；

f(τr)=∙V^"sin;T=0,排除A选项；

当O<x<τt时，SinX>0,则/(x)SinX>0,排除C选项.

故选：B.

答案第7页，共23页

13.A

h

【分析】由题设，问题转化为fω=I皿…)I与g(χ)=-2+2依+］在3k)上有两个交点,

结合函数的性质画出g(x)、/(x)的草图，易知Xe(Ga+1)上两函数相切时只有一个交点，

要使存在两个交点，则切点处的函数值g(χ)>∕(χ),即可求参数范围.

【详解】由题设，函数丫=|皿'-幻|+/-2℃-^有2个零点，即/(x)=IIn(X-α)∣与

g(x)=-χ2+20r+t在(0,”)上有两个交点，

•；g(x)的对称轴为X=a且在(α,+∞)上单调递减，/(χ)的值域为［0,+∞)且/(α+l)=O,

它们的图象如下图示，

y

O

在xw(α,α+l)上,在X)=-In(x-α),即广(X)=二一,而g'(x)=2(α-x),

a-x

.・・若/(%)=g'(χ)时，在工=〃+乎处有切点，此时/a)=竽.

.•・只需在元=〃+［处有g(〃+#)>/(〃+等)，则/3)与g(χ)在3,+∞)上有两个交点，

∙*∙-(a+^~^)2÷2Λ(6T+-ɪ)÷ɪ>~^^^,整理得人>ln2+l-2储，又a≥^~,

Λfe>ln2.

故选：A

【点睛】关键点点睛：问题转化为/(x)=Hn(X-a)∣与g(x)=*+2ɑr+t在(α,+oo)上有两个

交点，应用数形结合，找到两函数的切点，进而确定切点处函数值的大小关系.

14.C

【分析】A利用基本不等式结合已知即可判断正误,B完全平方公式得(&+J=)?=1+2,R,

答案第8页，共23页

由已知构造二次函数确定?的范围，即可判断正误，C应用基本不等式“1”的代换求最值即

b

可，D根据B中/的范围，结合对数的运算性质可判断正误.

b

ya+,

【详解】A：2«+>2]2^=2√2当且仅当时等号成立，正确；

B：(&+9)~+*2正=1+2日，由。=1-，则冷一/=T⅛+冷，即

(G+ξ^)242,又〃〉0,Z?>Oy[ci+≤V2,当a=；,Z?=2时等号成立，正确；

(3-+/7=(2+切(4+_1)=3+帅+2^3+2)"2=3+2点，当且仅当加0时等号成立,

aabab∖ab

而3+2∖∕Σ<6,错误；

D：由B知]≤[,故Iog2。―Iog2。=log27<bg21=—2，当。=5,。=2时等号成立，正

确；

故选：C

15.D

【分析】由解析式，利用函数奇偶性定义判断y=∕ω的奇偶性，再根据正弦函数、对数函

数的性质判断XW(O,乃)时/(X)符号，即可确定大致图象.

(详解]令y=ʃ(ɪ)，则/(T)=sin(-x)∙ln(∣-x∣+-ɪ-)=-sinx∙ln(∣x∖+ɪ)=-/(x),故/(x)

I-Xl∖χ∖

为奇函数，排除A、B；

在x∈(0z)上，⅛sinx>O,In(X+')≥ln2>0,即/(x)>0,故只有D符合要求.

X

故选：D

16.C

【分析】根据函数奇偶性及函数在区间范围内的取值，判断函数图像.

⅛∕(-x)=∣-ɪ-+―jcos(-x)=-[-ɪ-+-ɪ-ICOSX=-f(x)知,

【详解】

'V-X-I-x+1)IX-Ix+1)

12x

函数/(X)为奇函数，又"X)=-----+------cosX=———cos%,

X-Ix+1X2-I

9r

当x∈(O,l)时，-ʒ——<0,cosx>0=^>/(x)<O.

X-I

故选：C.

17.AC

【分析】根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC,由数形结

答案第9页，共23页

合判断D.

【详解】/(X)=/(x)g(x)=2xlnx,故尸(X)=2(lnx+x-)=21nx+2,故A正确;

因为G(X)=/(g(X))=In(2x),所以G'(x)=gχ(2x)'=(,故B错误；

—∙(2x)—(Inx),21,,-r--⅛

因为H(X)=敛=电=H'(x)=X1Jlnx,故C正确rt;

g(x)2x(2,2x1

/(x)=g(x)-2,即InX=2x—2,作出y=Inx与y=2x-2图象,如图

由图象可知，V=Inx与y=2x-2图象有两个不同的交点，故方程/(x)=g(x)-2有两个实

根，故D错误.

故选：AC

18.2

【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线/的解析式即可求得结果.

【详解】由已知得G、G的导函数分别为：y'=2x,y,=-^,设£、g上的切点分别为

厂

/\\»-V∣2----

(0乂)、(％，%)，则有：2⊂⅛=2χ1=—=___9，

2

JC1-X2X2xι-X2

x1=2,yl=4

解之得：\1c，故/：y=4x-4,

⅞=］，必=-2

与坐标轴交点分别为(1,0)、(0,-4),围成的三角形面积为：∣×1×4=2.

故答案为：2.

,9∙N!)

【分析】求出函数的导数，问题转化为y=〃?和g(χ)=Fr在R上有2个交点，根据函数的

2e

单调性求出g(x)的范围，从而求出〃的范围即可.

答案第10页，共23页

【详解】∕,ω=mev-→,

若函数/(x)=me'-?有两个极值点，

X

则y=机和gw=、二在R上有2个交点，

2e

g3=署，

xe(-0),l)时，即g<x)>O,g(x)递增,x∈(l,+8)时，g'(x)<O,g(x)递减,

故g(x)mi"=g(I)=—.而x>0时，§>0恒成立，x<0时，W<0恒成立，

2eCe∙

所以0<小<，

2e

故答案为:(θ,ɪ).

2e

20.(1,51

【分析】方程f(x)-α=0有4个不同的实数解，则方程f(x)=”有4个不同的实数解，即直

线y=。与曲线y=/(x)有4个公共点，利用数形结合处理.

【详解】由题知：方程Ax)-。=。有4个不同的实数解，即AX)=。有4个不同的实数解.

作出/(x)图像(如图所示)，即直线丫=。与曲线y=∕(x)有4个公共点.

易知：lvα≤5.

故答案为：(1,5].

【分析】作出示意图，首先利用BC将问题转化为求办在庭上的投影，先考虑NOBC

为钝角(或直角)的情况，由投影概念可知即求-cosNOBC,然后通过余弦定理求出A8,

进而求出CoSNOBA和CoSNOBC,最后通过函数求值域的角度，接下来考虑/OBC为锐角

答案第Il页，共23页

（或直角）的情况，最后得到答案.

【详解】如图，由BALBC知A在BC上的投影点为B,所以以在上的投影即为在

上的投影，即为10%ICOS（兀-NoBC）=-CoSNOBC.

在，CMB中，由余弦定理知AB?=9-40cos。，所以

cosZ.0BA=cos2π-fZ.OBC+工]]=-sinZ.OBC-+A'—Q^_2-40cos6

{2J2×0B×BA2√9-4√2cos6)

所以cosNOBC=-√1-sin2ZOBC=/8-警6>,，6∣^0,工

V9-4√2cos6>L4

令f=9-4√∑cos6,则fe[9-4√Σ,5],

设/(r)=f+：Je[9-4^,5],/'(r)=l-?<0,则函数/⑺在[9-4拒,5]上单调递减,

于是y=

x=5时ynw=2§5,X=9—4&时）'mm=0,所以一CoSN03C=Jg-W1+1）e0,—>∕5

同理，当C位于C/处时，投影为CoSNoBC∈-∣√5,0.

所以丛在辰:上的投影的取值范围为一|遥，!石•

故答案为：-^l"'l■"]

答案第12页，共23页

【点睛】本题非常复杂，用的方法较多，注意两个问题：①如果没有思路，那么就按照定义

和定理方向走，需要什么就求出什么；

②"cosNOBC=-JI-Sin2NOBC=-8~8^s^0-,0∈0,2”这一步接下来的处理方式，

V9-4√2cos6∣4_

“设r=9-4夜COS8”，分式型函数的换元法一般情况下换掉次数较低的，自己注意归纳总结,

接下来用导数或者对勾函数处理即可.

22.-I-3/-0.75

4

【分析】①先由f(χT)=F*+1)得到/(3)=/(I)J(-3)=/(T),再由解析式分别求出

/(3),/(-3),由/(3)=/(-3)解出匕即可；

②直接代入对应解析式计算即可.

+/?,—1≤X<0,

【详解】①由∕*7)=∕(x+l)可知/⑶=Al)J(―3)=/(—1),又/(X)=,“…故

∣x-l∣,0≤x≤l.

八3)=/(1)=0,/(-3)=∕(-l)=l+ft,

又f(3)=∕(-3),故l+b=O,b=-↑;

3

故答案为：-1;.

4

23.16-1

【分析】根据函数的解析式，先求出/(-3),再将该值代入对应的函数式，求得了(/(-3))；

t2

因为当x≥0时，/(x)=2>l,则由函数值为O可知/(α)<0,∕(β)+∕(β)-2=0,故

/(α)=-2,则α<0,再解方程M+α一2=一2得出。的值.

【详解】由该分段函数的解析式可得：/(-3)=(-3)2+(-3)-2=4

则/(7(-3))=/(4)=24=16;

由函数解析式可知，当x≥0时，/(x)=2*≥l,

则由〃/(。))=0知/(。)<0,

且/(/(〃))=尸(。)+/(。)—2=0,

答案第13页，共23页

所以/(α)=-2<0,a<()

则/(α)=∕+α-2=-2,解得。=_].

故答案为：16；-1.

24.(1)-1

(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】(1)构造函数MX)=/(x)-g(x),求导，研究函数的单调性，利用极值点得ae"=l,

从而利用指对运算即可求解；

(2)①记?=A,构造函数P(X)=e，-Alnr,求导，研究函数单调性，找到隐零点，即可

匕2

证明；

11

—I—

②先用分析法及1VEW把不等式证明转化为

~Γ7~Γ~

Iya)-(%)]-[/(占)-伍)]/(3一(+/。)一郎,

x1-X22

结合式子结构，转化为证明

,(,

[/(ʃl)-⅛(ʃl)]-[/(ɪɔ)-g(ʃz)]Γ(Λ1)-g(Λl)+∕(x2)-g(x2)

<，

X1-X22

构造函数，即证她ι∑⅛)<〃α)T(X2),利用主元法，

x1-X22

构造函数q(x)=MX)-M动一“(司；«、2)(>编,求导，研究单调性，利用最值即可证

明.

【详解】(1)构造MX)="x)-g(x)=eTnx,则小)=6-=巨匚，

XX

令"(x)=xe'-l,则/(x)=(x+l)e*>0,所以"(x)在(0,+一)递增,

又“出=手-K(MI)=e-l)θ,所以存在“e(gl),使得"(α)=ae"7=0,

且〃(x)在(OM)上单调递减，在(a,y)上单调递增，

答案第14页，共23页

所以MX)≥Ma)对任意X£(。，+∞)恒成立，此时/(。)∙g(α)=e"∙Ino=7(一。)=-1.

L

(2)①令T=-=A,显然A>O,则e*-Alnx1=e*-Alnx9.

K2Inx1-Inx2

令P(X)=e*-Alnr,贝∣Jp,(x)=et-ʌ=xe~A,

XX

因为V(X)=Xe-A在(0,+8)递增，X趋向于0时，MX)趋向于-A,X趋向于正无穷大时,

V(X)趋向于正无穷大，所以存在%>。,使得V(X)=0,即M-A=O.

于是P(X)在(O,Λo)递减，在(%,•+<»)递增.因为P(XI)=P(W),所以不«百,尤2).

②要证…<鼻9一，

2PlX2

即证

["x)-g(x)]-[f(%)-g(a)]<〃3)+/。2)__ɪ

再一%22J石工2

11

—I—

因为]<X-2，

7⅜2

ɪɪ

所以只要证[f(西)-g(xj]-[/(々)-g(々)]<"xJ+∕'(∙¾)_丁£,

XI-X222

即证Iya)-gα)]-[〃&)-g(&)]<，㈤-工+，㈤-卜,

xλ-X22

BrUH["χ)-g(χ>)Hf(8)-g(疑)]ja)-g'a)+，(x2)-g'(&)

5∣JULE<,

x1-x22

令MX)=/(力―g(X)=e、—lnr,即证“叫”.),

x∣-X22

即证MXJi(X2)>如苧也αr)(*),

令Xl=X,则1<X<占.

构造q(x)=人(X)-MXJ-'("；"(")(x-x2)>

,Z

Λ(X)+Λ(X2)

2

答案第15页，共23页

a)”)一勺1)一字一竽=Jφ(f),

ɔ

因为〃(x)=e'——ξ∙>e-2>O,q"(x)>O,

所以/(x)<0(x2)=O,所以g(x)>q(x2)=O,

所以(*)成立，原命题成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法:证明不等式/(χ)>g(χ)(或/(χ)<g(χ))转化为证明/(χ)-g(χ)>0

(或/(x)-g(x)<O),进而构造辅助函数MX)=/(x)-g(x);

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩：二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函

数.

25.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求得f'(x),对。进行分类讨论，由此求得/(x)的单调区间.

(1、

(2)先判断出α>2,将gα)+g(x2)+g(x3)转化为g(∙¾)+g-'利用构造函数法，结

k∙x3√

合导数证得不等式成立.

【详解】(1)由/(x)=X-L-αlnx(a>0),可知定义域x∈(0,+∞),

+1

∕,(x)=1+-ɪ---=ʌ-T,令MX)=X2-以+1(X>O),则A=4-%

X^Xx^

①当0<.≤2时，Δ=a2-4≤0,则MX)NO成立,即.f'(x)≥O成立，

所以/(x)在(0,+8)上单调递增；

②当”>2时，令∕ι(x)=x2—依+1=0,得X=^Zi1,记所〃771,

22

a+y4

χs=^~,当X变化时，f∖x),/(x)的变化情况如下表

X(0,匕)(匕,匕)Xs(天,同

答案第16页，共23页

r(χ)+0-0+

/(ɪ)/极大值极小值/

所以/(χ)在0,伫岑三)上单调递增，在伫咚三,交咚三)上单调递减,

在史咚豆,+8上单调递增.

\7

(2)因为函数/(x)=X-L-αlnX有三个零点x∣,x2,Λ,,

X

不妨设不<々<&，所以α>2,

即f(χ)在0,“一手N)上单调递增,在纥半三,竺孚三上单调递减，

Cl+Jcr_4M、E

在---------,+8上单调递增.

\/

由/(1)=0,知/=1，故0<x∣<%=1<》3，

因为/仕]=L-X-"41nJ=,-x+αlnx=-/(%),

IXJXXX

(1A..1

所以——=-/(XJ=0,即W=一,

kx∣√x∣

因此g(x∣)+g(∙¾)+g(x3)=g(x3)+g(l)+g']=g(x3)+g[L，

∖Λ3√kʤ7

令G(x)=g(x)+g(：)=x2_]_IiI21"1Y

XI1nA'H---1—I1n—=X+---2+1—xinx,

XXXX∖x)

所以G(X)=(：-x)(：-x+lnx),令P(X)=gτ,

则P(X)在(O,+s)上单调递减，Kp(I)=O,