9.2.3-9.2.4 总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计 原卷版

9.2.3&9.2.4总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计【考点梳理】考点一：众数、中位数、平均数1.众数：一组数据中出现次数最多的数.2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.3.平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数.考点二：总体集中趋势的估计1.平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.考点三频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.3.将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.考点四：方差、标准差1.假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，方差为s2＝，标准差s＝2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq\x\to(Y)，则称S2＝为总体方差，S＝eq\r(S2)为总体标准差.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq\x\to(y)，则称s2＝为样本方差，s＝eq\r(s2)为样本标准差.4.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.【题型归纳】题型一、频率分布直方图平均数的计算1．（2023·高一单元测试）某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（

）A．中位数70 B．众数75 C．平均数68.5 D．平均数702．（2023·全国·高一专题练习）某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级学生的数学成绩（百分制，均位于内），并将所得数据按照，，，，，分组得到如图所示的频率分布直方图.在两个班级参考人数相等的前提下，下列说法正确的是（

）A．乙班学生数学成绩的平均数的估计值高于甲班学生数学成绩的平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）B．乙班学生数学成绩的最高分高于甲班学生数学成绩的最高分C．甲班学生数学成绩不及格（60分以下）的人数多于乙班D．甲班学生数学成绩的中位数的估计值小于乙班学生数学成绩的中位数的估计值3．（2022·高一单元测试）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：，，，，，．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为y，平均成绩为z，则从频率分布直方图中可分析出x，y，z的值分别为（

）A．90%，35，15.86 B．90%，45，15.86C．90%，35，16 D．10%，45，16题型二、平均数、中位数、众数的应用4．（2023·全国·高一专题练习）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（

）A．该次课外知识测试及格率为B．该次课外知识测试得满分的同学有名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D．若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名5．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两位同学本学期前8周的各周课外阅读时长的条形统计图如图所示，则下列结论正确的是（

）A．甲同学周课外阅读时长的样本众数为8B．甲同学周课外阅读时长的样本中位数为5.5C．乙同学周课外阅读时长的样本平均数是7.5D．乙同学周课外阅读时长大于8的概率的估计值大于0.46．（2023春·高一单元测试）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（

）A．甲班众数小于乙班众数 B．乙班成绩的75百分位数为79C．甲班的中位数为74 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值题型三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势7．（2023·全国·高一专题练习）2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（

）A．， B．， C．， D．，8．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）在某校举办的“学宪法，讲宪法”活动中，每个学生需进行综合测评，满分为10分，学生得分均为整数．其中某年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下：给出下列四个结论：①1班学生得分的平均分大于2班学生得分的平均分；②1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差；③1班学生得分的第90百分位数等于2班学生得分的第90百分位数；④若两班中某同学得分为7分，且在他所在的班级属于中上水平，则该同学来自1班．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④9．（2022·高一单元测试）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图，则这500件产品质量指标值的样本方差是__________（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．题型四、方差、标准差的计算与应用10．（2022·高一单元测试）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（

）A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D．甲成绩比乙成绩稳定11．（2023·高一单元测试）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数且极差小于或等于3；③平均数且标准差；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组12．（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在，空气质量为二级；PM2.5日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值(单位：)变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（

）A．这10天日均值的分位数为60B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D．这10天的日均值的中位数为41题型五：各数据加减乘除对方差、平均数的影响13．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据，，…，的平均数和方差分别为（

）A．， B．，C．， D．，14．（2022春·河南信阳·高一统考期末）数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（

）A．6 B．7 C．12 D．3615．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知一组数据，，…，的平均数为，方差2，则另外一组数据，，…，的平均数和方差为（

）A．，2 B．5，2 C．5，98 D．6，98题型六：总体集中离散程度的估计综合16．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）随着2022年卡塔尔世界杯的举行，世界各地又减起了新一轮足球热道数被用做正规大型赛事的足球大小为周长68.5cm-69.5cm之间，甲，乙两个工厂都一直为大型赛事生产足球，随机从两个工厂生产的足球中各抽取50个做产品检测，足球周长(单位，cm)的数分布表如下表所示，且已知甲工厂生产的50个足球周长的平均值约为69cm.足球周长频数（甲工厂）频数（乙工厂）(1)求m，n的值；(2)如果用甲，乙两个工厂生产的足球的周长的平均值和方差分析甲，乙两个工厂的生产水平，那个工厂的水平更高一些呢？17．（2021秋·高一课时练习）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40）第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.(1)求x;(2)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）;(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1~5组，从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为，职业组中1~5组的成绩分别为.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.18．（2023·全国·高一专题练习）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，，，，，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；(2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据：【双基达标】一、单选题19．（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考阶段练习）一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（）A．6.6 B．6 C．66 D．6020．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示：年龄45403632302928人数2335241下列说法正确的是（

）A．29.5是这20人年龄的一个25%分位数 B．29.5是这20人年龄的一个75%分位数C．36.5是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是521．（2023·全国·高一专题练习）检查甲、乙两厂的100瓦电灯泡的生产质量，分别抽取20只灯泡，检查结果如下：瓦数949698100102104106甲厂个数0368201乙厂个数1274321(1)请计算甲、乙两厂灯泡瓦数的总体均值的估计值；(2)请计算甲、乙两厂所抽取灯泡瓦数的标准差；（精确到0.01）(3)哪个厂的生产情况较稳定？22．（2023春·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考期中）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．(1)求出直方图中m的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．【高分突破】一、单选题23．（2023·全国·高一专题练习）某企业有1000名职工，现按照总体的10%抽取样本，通过分层抽样得到如下年收入表：年收入（元）50万15万8万4万3万1.2万人数161555203某次工资上调中，只提高了最低收入，即从年收入1.2万元提高到2万元，其他职工的收入不变，则下列关于本企业职工年收入的说法中正确的是（

）A．平均数和众数都提高了 B．平均数和中位数都提高了C．平均数不变，中位数提高了 D．中位数和众数不变，平均数提高了24．（2023·高一课前预习）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（

）A． B． C． D．25．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（

）A．这种抽样方法是一种分层随机抽样B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数26．（2023春·安徽阜阳·高一统考开学考试）已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（

）A．3 B．4 C．5 D．627．（2023·高一课时练习）已知一组数据，，…，，c是非零常数，则对于数据，，…，，以下说法中正确的是（

）A．平均数与方差都不变 B．平均数变了，方差不变C．平均数不变，方差变了 D．平均数与方差都变了28．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则下列说法不正确的是（

）A．甲的10次成绩的极差为4 B．甲的10次成绩的分位数为8C．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D．乙比甲的成绩更稳定29．（2023·全国·高一专题练习）若数据的平均数为2，方差为3，则下列说法不正确的是（

）A．数据，，…，的平均数为20 B．C．数据，，…，的标准差为 D．30．（2023春·高一单元测试）已知一组数据，，…，的平均数为，标准差为，，若，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定二、多选题31．（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（

）A．长度在的产品数最多 B．C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为70.532．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（

）A．考生竞赛成绩的平均分为72.5分B．若60分以下视为不及格，则这次知识竞赛的及格率为80%C．分数在区间内的频率为0.02D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人．33．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知数据的中位数为a，众数为b，平均数为，方差为，若数据的中位数、众数、平均数、方差分别为，，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．34．（2022秋·辽宁辽阳·高一校联考期末）制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（

）A．年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点B．年月至年月中国制造业指数的极差为C．年月至年月中国制造业指数的众数为D．年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差35．（2022春·云南文山·高一统考期末）随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如图，则下列说法正确的是（

）A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差B．菜鸟驿站日收件量的中位数为150件C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值D．菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为，则三、填空题36．（2022秋·高一单元测试）一个高中研究性学习小组对本地区2019年至2021年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭______万盒.37．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如图柱形图和扇形图.根据图中信息，这些学生成绩的平均数是______.38．（2023·全国·高一专题练习）A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只．39．（2023·全国·高一专题练习）湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为___________药物单位．40．（2023春·高一单元测试）某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占总人数的百分比是__________.（其中是平均数，为标准差，结果精确到）41．（2023·全国·高一专题练习）已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为______________．四、解答题42．（2023秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考期末）2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机