6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例【考点梳理】考点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.技巧：(1)用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.【题型归纳】题型一：用向量证明线段垂直问题1．（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求.3．（2022春·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.题型二：用向量解决夹角问题4．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形5．（2019春·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（

）A． B． C． D．6．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．(1)求和的值；(2)若，，，求与所成角的余弦值．题型三：用向量解决线段的长度问题7．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（

）A． B． C． D．8．（2022春·云南·高一云南师大附中校考期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（

）A． B．3 C． D．9．（2021春·江西九江·高一九江一中校考期中）在中，，点满足，若，则的值为（

）A． B． C． D．题型四：向量在物理中的应用10．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（

）A． B．C． D．11．（2022春·山东烟台·高一烟台二中校联考期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（

）A． B． C． D．12．（2022春·北京通州·高一统考期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（

）A．， B．，C．， D．，题型五：向量与几何最值问题13．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．14．（2022春·湖南张家界·高一统考期末）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．15．（2022·浙江·高一校联考期中）在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；(2)若，求的最小值.【双基达标】一、单选题16．（2022春·山东临沂·高一）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（

）A． B．61 C．75 D．6017．（2022·全国·高一假期作业）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（

）A． B． C． D．18．（2022·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形19．（2022·高一单元测试）已知非零向量和满足，且，则为(

)A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形20．（2022春·四川内江·高一统考期末）是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．－321．（2022·高一单元测试）根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.22．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，，，，为边中点．(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值；【高分突破】23．（2022春·河南南阳·高一统考期末）已知是的边上一点，且，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．24．（2022·全国·高一假期作业）已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．825．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点满足，则动线段所形成图形的面积是（

）A．5 B．10 C．15 D．2026．（2022春·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（

）A． B． C． D．27．（2022春·北京海淀·高一）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（

）A．B．若为线段的中点，则C．的最小值为D．的最大值比最小值大二、多选题28．（2022春·福建福州·高一校联考期末）是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值为29．（2022春·广东梅州·高一统考期末）在△ABC中，下列正确的是（

）A．若，则△ABC为钝角三角形B．若，则△ABC为直角三角形C．若，则△ABC为等腰三角形D．已知，且，则△ABC为等边三角形30．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（

）A． B．直线过边的中点C． D．若，则31．（2022春·辽宁大连·高一大连二十四中校考期中）下列论述中正确的是（

）A．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于B．若，且，则C．在四边形ABCD中，，且，则D．在中，若，则O是外心32．（2022春·福建龙岩·高一校联考期中）已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，，则有（

）A．与共线B．C．D．在方向上的投影向量的长度为33．（2022春·江苏苏州·高一常熟中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中对角线与交于点O，则以下说法正确的有（

）A．恒有成立B．恒有成立C．若，，则D．若，，则三、填空题34．（2023·高一）在中，若，则O是的______心．35．（2022春·浙江·高一期中）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________.36．（2022春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中）已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.37．（2022春·陕西汉中·高一统考期末）在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.38．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．四、解答题39．（2022·高一单元测试）已知，是的中点(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；(2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值．40．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.41．（2022春·北京·高一期末）在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且.(1)求；(2)求的取值范围.42．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）如下图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为.(1)求的模长(2)求的值.【答案详解】1．B【分析】由已知平方可得，得出可判断.【详解】，，则，，，则△ABC为直角三角形.故选：B.2．【分析】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由题意得，的夹角为，，则，又，所以，故，同理于是，，，.3．(1)，.(2)证明见解析.【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用数量积为0证明.【详解】（1）因为点是的中点，所以.因为，,所以.所以，.（2）由（1）可得：，.因为，所以，所以.4．B【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.【详解】，,所以四边形ABCD为平行四边形，,，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B5．C【分析】设，且与的夹角为，由此可表示出和；结合已知可求出和，由此可求出，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.【详解】设，，则，，，设与的夹角为，∵，，∴，∴|，，∴，.∵，∴.∵即为向量与的夹角，∴，故.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算，掌握向量数量积的运算公式是关键，属于常考题.6．(1)，(2)【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；（2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可.【详解】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点则又由可得，（2）是与所成的角，设向量与所成的角为，则，则则，因为所以所以与所成角的余弦值为.7．C【分析】设，，，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解.【详解】解：由题意得：如图所示：设，则点在线段OB上运动故设，即作关于的对称点，设，即在中，，，由余弦定理可得：，解得：故选：C8．C【分析】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得．【详解】如图，过作交于，作交于，则，又，所以，，所以，即，又是的平分线，所以，而，所以，，，所以，故选：C．9．C【分析】取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.【详解】取中点O，连接，，即，M为BC边上靠近C的三等分点，，，，，又，，.故选：C.10．B【分析】利用向量的加减法及其几何意义求解【详解】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，所以的大小为，故选：B11．C【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为，故选：C.12．B【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解.【详解】如图，由图可知，，所以，故，所以又因为，所以，所以（），故.故选：B13．B【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，因为且，则，所以，设，则，所以，所以的最小值为.故答案为：B.14．C【分析】可以点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据条件可求出，并设，得出，并且，然后即可计算出是关于的二次函数，利用二次函数求的最小值即可．【详解】解：如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，，，，，，，，设，则，其中，，，，时，取得最小值．故选：C.15．(1)；(2).【分析】（1）根据点是三角形的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算，即可求得结果；（2）设，根据平面向量的线性运算结合题意，求得与的关系，再求得关于的函数关系，求该函数的最小值即可.【详解】（1）设，，当，是的中点时，则是△的重心，,.（2）设，则，，由，得：.∴，因为，，所以，，令，则当且仅当时取到等号，所以的最大值是又，在上单调递减，所以.故的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，解决问题的关键是充分掌握三角形重心的向量表示，以及根据题意，建立参数与的对应关系，求函数的最值，属综合困难题.16．D【分析】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出，再化为千克即可得．【详解】如图，，，作平行四边形，则是菱形，，，所以，因此该学生体重为（kg）.故选：D．17．B【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解.【详解】由题意知，则，因为，，即，所以.故A，C，D错误.故选：B.18．B【分析】由结合向量的加减法法则可得，再由得，从而可判断出四边形的形状.【详解】由得，所以，∥，所以四边形ABCD为平行四边形，又，所以．所以四边形ABCD为矩形故选：B19．A【分析】根据向量加法和线性运算可知向量与的平分线共线，根据可知的平分线与对边垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由和向量数量积的定义可求出的大小，从而可判断△ABC的形状．【详解】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，∴向量与的平分线共线，又由可知的平分线与对边垂直，则△ABC是等腰三角形，即，，∴，∵，∴，∴△ABC为等边三角形．故选：A．20．D【分析】根据三角形形状及各点位置，建立平面直角坐标系，设动点坐标，利用平面向量的坐标运算，并结合函数思想求得最值【详解】解：是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且则以C为原点，CB所在的直线为x轴，平面内过C垂直于CB的直线为y轴，如图所示：则因为点D、E分别在边AC、BC上，且设且，则所以故当时，的最小值为.故选：D.21．(1)指令为(2)机器人最快可在点处截住小球，指令为.【分析】（1）根据已知条件利用平面直角坐标系以及向量的模长公式求解.（2）建立平面直角坐标系、利用方程的方法以及向量的模长、夹角公式求解.【详解】（1）如图，设点，所以，因为与x轴正方向的夹角为45°，所以，，故指令为.（2）设，机器人最快在点处截住小球，由题意知，即，整理得，即，所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球.设与的夹角为，易知，，，所以，所以.因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为.22．(1)(2)最小值为【分析】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；（2）根据点在上，设，求出、的坐标，则，利用二次函数配方求最值可得答案.【详解】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，所以，，，为边中点，所以，，，则；（2）若点满足，则点在上，由（1），设，则，，则，所以当时的最小值为.23．A【分析】求出的值，由已知可得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为，则为锐角，由，可得，因为，则，则，所以，，则，可得.当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选：A.24．C【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值．【详解】由，得，即，为外接圆的直径，如图所示；设坐标原点为，则，是圆上的动点，，，当与共线时，取得最大值7；故选：C．25．B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：则，，设，∴，；由，得；又，∴；∴；∴，∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,则扫过的三角形的面积为，设点∵，∴，∴，，∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,∴扫过的三角形的面积为，∴因此面积和为2+8=10，故选：B.26．D【分析】本题主要利用向量的线性运算和即可求解.【详解】解：由题意得：设，则又由，不共线，解得：故选：D27．C【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，因为，所以，设，则，则，，则，即，解得：或（舍去），则，，，A说法正确；若为线段的中点，则，所以，则，解得：，则，B说法正确；设，则，故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；，则，因为，则，所以，解得：，，所以的最大值比最小值大，D说法正确.故选：C28．ACD【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量的数量积的运算律判断CD.【详解】对于A，当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，∴A正确；对于B，∵在方向上的投影为，∴在方向上的投影向量为，∴B错误；对于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正确；对于D，如下图，取的中点，连接，取中点，连接，则，，，则，显然当重合时，，取最小值，∴D正确.故选：ACD．29．BCD【分析】对A，根据向量的数量积运算分析即可；对B，对两边平方判断即可；对C，根据平面向量数量积的运算求解即可；对D，根据，结合数量积的运算可得，进而得到判断即可【详解】对A，即，即，可得，不能证明△ABC为钝角三角形，故A错误；对B，即，解得，故，故B正确；对C，若，则，故，故△ABC为等腰三角形，故C正确；对D，因为，故，即，又，所以，故，故，同理，结合可得，故△ABC为等边三角形，故D正确；故选：BCD30．ACD【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.【详解】，则，A正确；若，则，所以是△的重心，直线过中点，而与不平行，所以直线不过边的中点，B错误；又，而，，所以，C正确；若，且，所以，而，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.31．AC【分析】分别求出，再根据，即可判断A；根据数量积的定义即可判断B；易知四边形ABCD是边长为10的菱形，且，从而可判断C；由平面向量的数量积可知，，即可判断D.【详解】解：对于A，，，则，所以与的夹角为，故A正确；对于B，若，则，所以，故B错误；对于C，因为，所以四边形ABCD为平行四边形，且，又，所以四边形ABCD为菱形，且，所以对角线，故C正确；对于D，因为，所以，所以，同理，所以为的垂心，故D错误.故选：AC.32．ACD【分析】由条件可得，判断A，分析可得四边形是边长为2的菱形，可判断BC，然后利用向量的几何意义可判断D.【详解】因为，所以，所以，故A正确；由，可得，所以四边形为平行四边形，如图，又为外接圆的圆心，所以，又，所以为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形是边长为2的菱形，所以，，故B错误；由以上分析知四边形是边长为2的菱形，所以，即，，故C正确；由四边形是边长为2的菱形，可得，所以在方向上的投影向量的长度为，故D正确．故选：ACD．33．ABD【分析】根据即可得出选项A正确；可得出，从而判断选项B正确；可得出，从而判断出C错误；可得出，从而得出D正确．【详解】解：，，，，即，故A正确；，故B正确；，，，故C错误；，，故D正确．故选：ABD．34．垂【分析】根据向量数量积的运算律以及减法法则可得，，即可求解.【详解】由得,所以，因此，同理,因此O是的垂心，故答案为：垂35．【分析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，由题意，计算，，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将转化为，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值.【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与