2023年高考数学一轮复习习题：第五章平面向量与复数

第五章DlWUZHANG

5/平面向量与复数

第1节平面向量的概念及线性运算

考纲要求1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.

理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘

的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识分类落实，回扣知识•夯实基础

知识梳理

I.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为O的向量,其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:O与任一向量壬

行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

^

(1)交换律：

求两个向量和的运a

加法三角形法则

算(2)结合律：

am+h)+c=α+S+c)

平行四边形法则

减去一个向量相当

减法于加上这个向量的a-b=a+{-b)

相反向量三角形法则

(l)∣Aα∣=∣λ∣∣α∣;

求实数7与向量4(2)当A>0时，2。的方向

数乘(2+4)α=2α+"α;

的积的运算与〃的方向相同;当AVO

λ{a'∖~b)=λa~∖~λb

时，曲的方向与。的方向

相反;当A=O时，λa=O

3.共线向量定理

向量43≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数九使得b=λa.

•——常用结论与微点提醒

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的

向量，即---∖-A,,-∖A,l=A∖An,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的

向量和为零向量.

2.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，。为平面内任一点，则称=；(昂+而).

3.醇=4励+〃灰设，〃为实数)，若点A,B,C共线，则2+M=1.

4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的

方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(I)IaI与依是否相等与α,人的方向无关.()

(2)若α〃匕,b//c,则a〃c.()

(3)向量矗与向量而是共线向量，则A,B,C,力四点在一条直线上.()

(4)当两个非零向量”,b共线时，一定有Z?=茄，反之成立.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

解析(2)若人=0,则。与C不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A,B,C,。四点不一定在一条直线上.

〉教材衍化

2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若mh都是单位向量，则a=

b；③向量矗与或相等.则所有正确命题的序号是()

A.①B.③C.①③D.①②

答案A

解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方

向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量晶与心互为相反向量，故③

错误.

3.设M为AABC所在平面内一点，且病=3屈，贝∣J()

A..AM——∣Aβ+∣ACB.AΛ∕=∣Aβ-^AC

C.AM=^AB+^ACD.AM=^AB~^AC

答案A

解析由诙=3说，得说=舸乙

―►―►―►—>1-A

所以AM=AC+CM=AC+gBC

=AC+；（BA+AC）=B+^AC.

►■考题体验

4.（2021-日照调研）若四边形ABCD满足屐）反;且IQl=I的，则四边形ABCD的形状是

（）

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

答案A

解析因为弱=2的所以国）〃病，K∣λb∣=∣∣BCl,所以四边形ABC。为以Ao为上底边,

BC为下底边的梯形.

又|嬴|=|的，因此四边形ABa）是等腰梯形.

5.（2021・长沙调研）己知点。为BC的外接圆的圆心，且殖+协+δ∂=0,则448C的

内角A等于（）

A.30oB.45°C.60oD.90°

答案A

解析由δλ+m+δ∂=o,得晶+为=沆，

又O为AABC的外接圆的圆心，

根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且NCAO=60。，因此NCAB=30。.

6.（2020•哈尔滨质检）设“与6是两个不共线向量，且向量α+动与一（b-24）共线，则i=

答案V

解析由已知2q—b≠0,依题意知向量。+劝与2〃一共线，设。+劝=氏（2〃一人），则有（1

[I-2⅛=O,

—2%）α+（%+NM=0,因为。”是两个不共线向量，故〃与匕均不为零向量，所以一，C

[k+λ=O,

解得%=；,2=—1.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一平面向量的概念自主演练

1.给出下列四个命题：

①若⑷=依，贝!]α=6

②若A,B,C,。是不共线的四点，则“后=虎”是“四边形ABa）为平行四边形”的充

要条件；

③若α=6,b—c,则a=c；

@a=h的充要条件是Ial=I例且a∕∕h.

其中正确命题的序号是（）

A.②③B.①②C.③④D.②④

答案A

解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.：油=比，赢I=I的且矗〃诙，又A,B,C,。是不共线的四点，；.四边形

ABC。为平行四边形；反之，若四边形ABC。为平行四边形，则IBI=I的，

瀛〃历且靠，虎方向相同，因此B=比.

③正确.∙.Z=6,二4,人的长度相等且方向相同，又匕=c,.∙.8,c的长度相等且方向相同，

：.a,C的长度相等且方向相同，故α=c.

④不正确.当α〃力且方向相反时，即使Ial=I6|,也不能得到α=b,故Ial=I且α〃"不是α

=〃的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，正确命题的序号是②③.

2.设α,6都是非零向量，下列四个条件，使启=卷成立的充要条件是（）

A.CI=ZbB.Cl=^2b

C.α〃力且IaI=步ID.Q〃/?且方向相同

答案D

解析含表示。方向的单位向量，因此言=东的充要条件是“与6同向.

3.给出下列说法：

①非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件；

②若嘉与正共线，则4,B,。三点在同一条直线上；

③〃与匕是非零向量，若。与匕同向，则。与一/?反向；

④设九"为实数，若入a=μb,则。与/?共线.

其中错误说法的序号是.

答案④

解析根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当a="=0时，。与6不一定共线，

故④错误.

感悟升华1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而

平行向量未必是相等向量.

2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大

小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等.

3.(1)单位向量的特征是长度都是1个单位.

(2)零向量的特征是长度是0,并规定零向量与任何向量平行.

考点二向量的线性运算多维探究

角度1平面向量的加、减运算的几何意义

【例1】已知两个非零向量4,人满足∣α+加=Ia则下列结论正确的是()

A.a//bB.a±⅛

C.Ial=I勿D.a+b=a~b

答案B

解析由已知α,b不共线，在Q48CQ中，设B=4,AD=b,由∣a+b∣=Ia—臼，知IAa=

∖DB∖,从而。ABC。为矩形，即AB_LAZ),故LA

角度2向量的线性运算

【例2】(2021•成都七中诊断)如图，A8是圆O的一条直径，C,。为半圆弧的两个三等

分点，则B=()

A.AC-AO

B.2AC-2AD

C.AD-AC

D.2AD-2AC

答案D

解析连接CD,。是半圆弧的三等分点,

.∖CD∕∕AB,ɪAB=2CD,

因此赢=2劭=2(曲一最?)=2屐)一2元.

角度3利用向量的线性运算求参数

【例3】(2021・长春调研)在AABC中，延长BC至点M使得8C=2CM,连接AM,点N

为AM上一点且俞=/氤^AN=λAB+μAC,则2+〃=()

A.∣B.IC.-gD.—I

答案A

解析由题意，知AN=；AM=:(A3+前)=gi4B+gxg诙=1•超+；(4C—魂)

1-►1—►

=—%A4+]AC,

又病=杨+说:，

所以2=一1,"=；,则/l+〃=g.

感悟升华1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能

熟练运用相反向量将加减法相互转化.

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则

及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已

知向量线性表示.

2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进

行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.

【训练1】⑴在aABC中，AO为BC边上的中线，E为AO的中点，则EB=()

A.%8一；ACB.^AB~^AC

D.%B+]c

(2)(2021・济南质检)在正六边形ABCoEF中，对角线BO,CF相交于点P.若淳=x0+)#,

则x+y=()

57

A.2B.2C.3D.2

答案(I)A(2)B

解析(I)YE是AC的中点，；.血=一地，

.∖EB=EA+AB=-^AD+AB,

又知。是8C的中点，J.M)=^AB+AC),

—►1―►—►―►3-A1―►

因此£8=-^AB+AQ+AB=^AB-^AC.

(2)如图，记正六边形ABCf>EF的中心为点O,连接。8,OD,易证四边形OBC。为菱形,

且P恰为其中心,

Tf3-3f

于是尸尸=2/O=]A8,

—>—►­►3~►-►―►—►-►

因此AP=AF+FP=]AB+AF,因为AP=X4B+y4F,

35

所以X=]且y=l,故x+y=,

考点三共线定理及其应用师生共研

【例4】⑴设eι与e2是两个不共线向量，AB=3e∣+2e2,CB=ke∖+eι,CD=3e∣-2⅛>

若A,B,。三点共线，则&的值为.

(2)(2021・合肥模拟)在平行四边形ABCo中，^DE=EC,AE交BD于F,则λ>=()

B.^AB-^AD

D.∣AB÷∣AD

9

答案(1)一^(2)D

解析(1)因为A,B,。三点共线，所以必存在一个实数L使得赢=2而.

又AB=3eι+2e2,CB=keτ+e2,CD=3e∖-2keι,

所以访=诙一@=3白一2履2一(履i+及)

=(3—k)e↑—(2k-∖~l)e2,

所以3eι+2c2="3-Z)eι-42A:+1)-

3=A(3-⅛),

又约与62不共线，所以‘

2=-2(2)1+1),

解得仁七9

(2)如图所示,

CED

'：DE=EC,

：.E为CQ中点，

设由'=施

=∕^AB+AD-^AB^=^AB+}AD.

χ2

又•：点、B,F9Z)共线，.∙.∕+2=l,解得入=].

一1-*2∙→

故人尸=铲8+铲。.

感悟升华1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别

与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

2.向量〃，〃共线是指存在不全为零的实数九，λ2f使2口+石/?=0成立.

【训练2】(I)已知“，匕是不共线的向量，AB=λa+h,AC=a+μb,λ,"∈R,贝∣JA,B,

C三点共线的充要条件为()

A.2+〃=2B.λ—〃=1

C.λjLi——1D.λp,=1

⑵已知A,B,C是直线/上不同的三个点，点。不在直线/上，则使等式炉殖+入痂+诙

=O成立的实数X的取值集合为.

答案(I)D(2){-l}

解析⑴因为A,B,C三点共线，所以赢〃/，设赢正(mW0),则4r+%=皿α+曲)，

由于。与b不共线，所以"所以M=L

II=WjU,

(2)因为正=沆一为，

所以χ2jX+χ加+诙一协=0,

即沆1=—/宓一(χ-i)3正因为A,B,C三点共线，

所以一χ2-(χ-l)=l,即Λ2+X=0,

解得X=O或X=-L

当X=O时，Λ2OA+XOB+BC=0,此时B,C两点重合，

不合题意，舍去.故X=-L

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.已知下列各式：ΦΛB+BC+CA;（2）AB+MB+B∂+δ⅛;③万1+/+肋+历；④赢一

AC+BD-CD,其中结果为零向量的是（）

A.①BSC.①③D.①④

答案D

解析利用向量运算，易知①，④的结果为零向量.

2.已知祐=4+5b,8C=-3a+6b,CD=4a-b,则（）

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

答案A

解析由题意得诟=正+而=。+56=赢，又砺、赢有公共点B,所以A,B,。三点共

线.故选A.

3.设。是非零向量，4是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.”与九!的方向相反B.α与Qa的方向相同

C.|一训冽D.∖~λa∖^∖λ∖∙a

答案B

解析当，＞0时，。与儿Z的方向相同，A错，。与心。的方向相同，B正确；当囚＜1时，

∖-λa∖＜∖a∖9C错；∖-λa∖=∖λ∖∖a∖,D错,故选B.

4.在aABC中，G为重心，记靠=mAC=b,则％=（）

1212

A∙]"一予B.铲+ɜ/?

2121

C孕一§"D∙

答案A

解析因为G为aABC的重心，

一fIf-11

所以AG=g（A3+AC）=?〃+]〃，

__A_A]][2

所以CG=CA+AG=-b+1α+16=]α-]0.

5.（2021・衡水调研）如图所示，在正方形ABC。中，E为BC的中点，尸为AE的中点，则而

=()

B.^AB+^AD

D.^AB—^AD

答案D

解析DF=AF-AD,

AE=AB+BE.

∙.∙E为3C的中点,F为AE的中点,

—►1—►

.'.AF=2AE,BE=^BC,

-A-►—A1—►—►1—►—►-A

：.DF=AF-AD=^AE-AD=^AB+BE)-AD

-^AB+^BC~AD,

又就'=Ab,.∙.DF=∣AB-∣Ab.

6.(2021∙东北三省三校联考)如图，在平行四边形A8C。中，E为BC的中点，尸为OE的中

点,^AF=XAB+^AD9贝UX=()

答案C

解析连接AE,因为F为。E的中点，所以赤=；（覆）+崩）,

—►—►—►—►1-A-A1-►

而Λε=A3+BE=A8+产=A3+1AZ),

所以还=£应)+危)=茎AD+48+/。)

1-3->

=-^AB+~^ADi

f—3∙→“，1

又4b=x48+aAO,所以x=y

7.如图所示，设。是AABC内部一点，且∂λ+历=-2∂k则AABC与aAOC的面积之

比为（）

答案B

解析取AC的中点。，连接。。,

则δλ+历=2历，

所以励=一而，

所以。是AC边上的中线8。的中点，

所以SAABC=2SAOAC,

所以aABC与AAOC面积之比为2：1.

8.在AABC中，点。在线段BC的延长线上，且病=3∂b,点。在线段C。上（与点C,D

不重合），若Ab=抵+（1—x）比，则X的取值范围是（）

答案D

解析设C=），就，因为Xb=/+Gd=Zb+）反'

=AC+χAC-ΛB）=-γAβ+（l+>∙）AC.

因为反'=3而，.∖C0=3yCb,（X3j<l,

点O在线段C。上（与点C,O不重合），

所以y∈（θ,；）,因为Q=χZ⅛+（I-X）而，

所以X=-y,所以X∈（-*0）.

二、填空题

9.设向量α,6不平行，向量北+6与α+26平行，则实数2=.

答案ɪ

解析∙.∙向量4,b不平行，.∙.α+2b≠0,又向量2α+8与〃+2。平行，则存在唯一的实数

∖λ=μ,J

μ,使2α+b=∕∕(4+20)成立，即筋+/?=*?+2〃b,则得，解得2="=不

11=2〃，2

10.已知S是AABC所在平面外一点，。是SC的中点，若由J=X靠+)n+示，则x+y

+z=.

答案0

、—►—►—►ɪ—►—►—►—►1—►1—►!

解析依题意得BZ)=A。-AB=I(AS+AC)-AB=-AB+∕AC+∕AS,因此x+y+z=-l+]

÷∣=0.

11.若点。是AABC所在平面内的一点，且满足∣δh—而=|协+日7—2苏|,则448C的

形状为•

答案直角三角形

解析0B+0C-20A=(0B-0A)+(0C-0A)=AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC,

Λ∣AB+AC∣=lAβ-AC∣.

故A,B,C为矩形的三个顶点，^ABC为直角三角形.

12.在AAOB中，AC=∣Aβ,。为OB的中点，若次=2晶+“加，则川的值为.

答案4

解析因为启=/嬴，所以彳一万1),

因为。为03的中点，所以历=；。及

-A►-►1―►-►-A

所以OC=OO+OC=—5。B+(O4+A0

=—^∂B÷OA+1(OB—5A)=^OA—

436

所以2=g,〃=一正，则M的值为一天.

B级能力提升

13.(多选题)(2021・济南调研)下列命题正确的是()

A.若A,B,C,。四点在同一条直线上，且AB=C。，则而=而

B.在AABC中，若。点满足d+∂⅛+及'=O,则。点是AABC的重心

C.若α=（l,l）,把。向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（3,1）

D.在AABC中，若δ>=2工&+磔，则P点的轨迹经过AABC的内心

l∣CA∣ICBJ

答案BD

解析如图，

III__]

AHDC

A,B,C,。四点满足条件，但赢≠eb,故A错误；

对于B,设BC的中点为。，当jλ+拉?+52=0时，能得到殖=一（而+觉），所以万I=

-2OD,所以。是AABC的重心，故B正确.

对于C,向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C错误.

—►A

对于D,根据向量加法的几何意义知，以.，必为邻边所得到的平行四边形是菱形，点

∣C^IICBI

P在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得P点在N4CB的平分线所在直

线上，故D正确.

14.（2021•河南名校联考）在AABC中，D,E分别为BC,AC边上的点，且丽=2方乙若在

=λAB+^AD9则A=（）

5C4C4n3

A.-4B∙-ɜC.-ʒD.F

答案A

解析如图，设矗=嬴,则雄=赢一赢=/一A⅛=x（Ab+历）一赢=1（国）+；丽一赢

=xAb+^(AD-AB)-AB

=-(方+I)A8+当4D

，-→—3->

因为BE=ZAB+?。，

331

所以m=］，解得X=,

因此λ=_(]+1)=­∣.

15.直线/上有不同的三点A,B,C,。是直线/外一点，对于向量为i=(l-CoSa)加+

Sina(元®是锐角)总成立，贝IJa=.

答案45°

解析因为直线/上有不同的三点A,B,C,所以存在实数九使得函=2证，

所以苏一励=，无∙一0⅛),

即温=(I-幻为+4拉7,

f1-A=I-COS«,

所以T所以Sina=COsα,

μ=sina,

因为α是锐角，所以。=45。.

16.(2020・兰州诊断)在直角梯形ABCQ中，NA=90。，NB=30。，AB=2√3,BC=2,点、E

在线段co上，若靠=由)+再，则〃的取值范围是.

答案[o,2

解析由已知AO=I,CD=®所以祐=2方七

因为点E在线段C。上，

所以注=4而O≤∕iwi).

因为Zk=Q)+m=4b+>ι庆'=∙b+刍通，

又第=Ab+“A3,所以〃=，.

因为0W4W1,所以OW〃W,

第2节平面向量基本定理及坐标表示

考纲要求1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条

件.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.平面向量的基本定理

如果eι,C2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量。，有且只有

一对实数九，λz,使α=九e1+<l2e2.

其中，不共线的向量e∣,仅叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设α=(x∣,%),b-(x2,y2)>贝IJ

α+1=(xι+x2,y∣+v2),4-I=(Xl-X2,必一丫2)，λa=(λxj,λyι),∖a∖=y∣x↑+y^.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(XI,%),B(X2，>'2)>则48=(及—Xl,丫2-yi)，∖AB∖=-∖∕(X2-^Xl)2+(y2-∙yi)2.

4.平面向量共线的坐标表示

设α=(XI,y∣)>b=(X2,y2),则(XHbOχ∣V2—X2V1=O∙

•—常用结论与微点提醒—

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与b不共线，λa-l-∕z⅛=0,则2=〃=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，

无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J"或"X")

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()

(2)设”,匕是平面内的一组基底,若实数/，Ml,42,M2满足为4+M必=义2"+〃2'则九=义2,

=〃2.()

若∣，则&的充要条件可以表示成)

(3)α=(xι,y),b=(x2,m)Λ2yj2

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()

答案(I)X(2)√(3)×(4)√

解析(1)共线向量不可以作为基底.

(3)若6=(0,0),则曹=尚无意义.

〉教材衍化

2.若P∣(l,3),22(4,0),且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点Pi),则点P的坐标为()

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析由题意得n>=3n>2且R>2=(3,-3),

设尸(x,y),则(X—1,y—3)=(1,—1),

所以x=2,y=2,则点P(2,2).

3.已知向量α=(—1,3),⅛=(2,1),则34-2%=()

A.(-7,7)B.(-3,-2)

C.(6,2)D.(4,-3)

答案A

解析3a-2ft=(-3,9)-(4,2)=(-7,7).

>考题体验

4.(2021・南阳调研)已知向量a=。”/)，b=(3,机-2),则机=3是a〃b的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件

D.充要条件

答案A

解析Va=(m,l),b=(3,m-2),

若a〃b,则垃(〃?-2)—3=0,

得m=3或m=-1,

所以“机=3”是“a"b”的充分不必要条件.

5.(2020・合肥质检)设向量α=(—3,4),向量b与向量。方向相反,且例=10,则向量b的

坐标为()

A(TI)b∙(-6,8)C.仔-∣jD.(6,-8)

答案D

解析因为向量〃与“方向相反，则可设6=茄=(-32,42),z<0,则⑸+⑹2=512|

=10,.,.2=-2,b=(6,—8).

6.(2021・贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCn中，尸是BC的中点，CE=-IDE,若赤=

xAB+yAD,则x+y=()

A

11

-

A6C-a

B.63

答案C

解析因为四边形ABCZ)是平行四边形，

所以赢=比,AD=BC,

,一A,,1A-►]一A]►

因为CE=-2DE,所以EO=-WoC=-1AB,

连接AF,在AAE尸中，

所以办=丽+#=而―Ab+矗+矫

=-^AB~AD+AB+^BC=^AB-^AD,

又因为雄=X崩+)疝，

2II

所以X=W，y=~2>故χ+y=w∙

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一平面向量的坐标运算自主演练

1.已知四边形ABCO的三个顶点A(0,2),B(-l,-2),C(3,l),且病=血，则顶点。的

坐标为()

A(2,ŋ

B.2,C.(3,2)D.(1,3)

答案A

X=2,

4=2x,

解析设Q(X,y),病=(x,y-2),病=(4,3),又於=2屐),所以,

解得■T，

3=2。-2),

故选A.

2.向量α,h,C在正方形网格中的位置如图所示，若C=茄+/仍(九"∈R),贝/=()

A.1B.D.4

答案D

解析以向量。和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为

1),则A(l,-D,B(6,2),C(5,

Λα=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),C=BC=(—1,—3),

c=λa-∖-μb.*.(—1,—3)=2(—l,l)+"(6,2),

A=-2,

—z+6jw=-1,

3,解得〃=弓

・一

224

)∙μ~j^∙

~2

3.(2021•西安调研)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，OA=,若5λ绕点。逆时

针旋转60。得到向量加，则∂⅛=()

A.(0,1)B.(1,0)

D.

答案A

解析；醇=曾，J,...5λ与无轴的夹角为30。,

依题意，向量无与X轴的夹角为90。,

则点8在y轴正半轴上，^.∖OB∖=∖OA∖=∖,

二点8(0,1),则∂⅛=(0,l).

4.(2021•衡水检测)如图，原点。是Be内一点，顶点4在X轴上，ZAOB=150%NBoC

=90。，I丽=2,I丽=1,∣δq=3,若历=∕iδλ+〃苏则£=()

A.一坐B.乎C.—√3D.√3

答案D

解析由三角函数定义，易知A(2,0),一坐,，，C(3cos240o,3sin240°),

即C一鸣，

因为历=高λ+〃协，

所以(一|,一岁］=2(2,0)+/(—坐，5，

所以£=小.

感悟升华1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向

量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化

为我们熟知的数量运算.

2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两

端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.

考点二平面向量基本定理及其应用师生共研

【例1】如图所示，已知在aOCB中，A是CB的中点，。是将帅分成2：1的一个内分

点，CC和OA交于点E,设次l=4,OB=h.

B

(1)用。和6表示向量比，DC；

(2)若丽=%∂λ求实数％的值.

解(1)依题意，A是8C的中点，

,∖2OA=OB+OC,即女=2∂λ-δ⅛=2α-A

->■~*-­►­►2~*•

DC=OC-OD=OC-^OB

25

=2a-b—ɜ/?=2a一秒

(2)设无=疝(0<kl),

则凄：=无一沆=2〃一(2〃一。)=(71-2)4+。

,/无与比共线，

二.存在实数%,使δk=&庆`,

(λ~2)a+b=k(2a-,解得％=2.

感悟升华1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则

进行向量的加、减,或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和

结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

【训练1】(2021.银川调研)在AABC中，M,N分别是边AB,AC的中点，点。是线段

MN上异于端点的一点，且满足2晶+3拉?+4历=0q≠0),则4=.

答案7

解析法一由已知得苏=一5而-4沆，①

AZ

由M,0,N三点共线，知m∙∈R,使丽=廊,

故2∂K∕=2fON,故∂λ+为=∕(OA+OC),

整理得以=7½协+士女，②

t—11-t

4

-

-一3

对比①②两式的系数，得,解-

Z

→1——

法二因为M是AB的中点，所以OM=I(O4+03),

于是为=2痂一流，同理沆=2加一5Z

将两式代入，万1+3无+4诙=0,

整理得Q-7)d+6血+8苏=0,

因为M,O,N三点共线，⅛3p∈R,使得(⅛=p赤，

于是(2-7)5λ+(6p+8)苏=0,

显然∂λ,赤不共线，故2-7=6p+8=0,故2=7.

考点三平面向量共线的坐标表示多维探究

角度1利用向量共线求向量或点的坐标

【例2】已知点Λ(4,0),8(4,4),C(2,6),O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为

答案(3,3)

解析法一由O,P,8三点共线，^Γ⅛δ>=zδβ=(4λ,41),则布一晶=(47-4,42).

又启=沆_5λ=(_2,6),

由能与公共线，得(42-4)X6-42X(-2)=0,

3→3—

解得2=不所以OP=IoB=(3,3),

所以点P的坐标为(3,3).

-A-A-A-Aʌ*V

法二设点P(x,y),则OP=(X,>'),因为。B=(4,4),且。尸与OB共线，所以即x=y.

又丽=(X-4,y),AC=(-2,6),且亦与就共线，

所以(χ-4)X6—yX(-2)=0,解得x=y=3,

所以点尸的坐标为(3,3).

角度2利用向量共线求参数

【例3】(1)已知向量a=(l,2),6=(2,—2),c=(l,λ).若c〃(2a+b),则4=,

(2)(2021•福州八校联考)设向量万1=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),其中O为坐标

12

原点，且α>0,⅛>0,若A,B,C三点共线，贝听+1的最小值为()

A.8B.9C.6D.4

答案(l)ɪ(2)A

解析⑴由题意得2α+6=(4,2),因为c=(l,2),且C〃(勿+h),所以42—2=0,即

(2)由题意知Q=为一5λ=(α-l,l),AC=OC-OA={-b-1,2).

因为A,B,C三点共线，设B=/，

则(〃-1,1)=%(—〃-1,2).

∫t∕-l=λ(-⅛-l),

[1=24,得2α+b=L

又〃>0,⅛>0,则:+於弓+孤〃+力=2+2+工+与24+24|^=8,当且仅当华,

即α=+B='时,等号成立.

12

・・言+忘的最小值为8.

感悟升华1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若α=(xι,y∣),b=(x2,丫2),则。

//b的充要条件是XIy2—X2)l=0;

(2)若。〃伙8≠0),则α=劝.

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均

非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

【训练2】(1)(2021・太原联考)已知向量e∣=(l,l),e2=(O,l),若α=e1+λe2与b=-(2eι

-3e2)共线，则实数4=.

(2)(2021•安徽江南十校调研)在直角坐标系XOy中，已知点A((U)和点8(—3,4),若点C在N

Ao8的平分线上，⅛∣δC∣=3√10,则向量诙的坐标为

3

答案(1)-5(2)(-3,9)

解析(1)由题意知〃=C]+Ze2=(l,l+2),

6=—(24一3/)=(-2,1).

3

由于α〃仇所以1X1+2(1+/1)=0,解得％=—/.

(2)因为点C在NAOB的平分线上，

所以存在％∈(0,+∞),使得定=2*∙+0^.

UOAlIoBU

/.∂C=2(0,1)+z(^—])=(一%‘给’

χ∣δq=3√io,

所以(一切2+信)2=(3迎)2,解得4=5.

故向量诙=(一3,9).

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.设4(0,1),B(l,3),C(-l,5),D(0,-1),则恭+启等于()

A.-2ADB.2ADC.~3ADD.3AO

答案C

解析由题意得法=(1,2),AC=(-1,4).Ab=(0,-2),所以B+启=(0,6)=—3(0,

-2)=-3AD.

2.己知向量。=(2/)，6=(3,4),c=(l,m),若实数2满足α+6=Q,则，+机等于()

A.5B.6C.7D.8

答案B

解析由平面向量的坐标运算法则可得q+%=(5,5),

4=5,

λc-(λ,λm),据此有J解得力=5,,"=1,ΛΛ+∕TJ=6.

Um=5,

3.(2021•郑州质检)已知向量赢=(1,4),反■=(,”，-1),^AB∕∕AC,则实数，”的值为()

AB.-4C.4D.—4

答案D

解析:向量B=