2023版高考数学一轮复习讲义：第六章数　列6-3 等比数列及其前n 项和

第三节等比数列及其前n项和

,最新考纲,

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

4.了解等比数列与指数函数的关系.

・考向预测•

考情分析：等比数列的基本运算，等比数列的判断与证明，等比数列的性质与应用仍是

高考考查的热点，三种题型都有可能出现.

学科素养：通过等比数列的证明考查逻辑推理的核心素养；通过等比数列的基本运算及

性质的应用考查数学运算的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记5个知识点

1.等比数列及其相关概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的________的比都等于

等比数列

公比等比数列定义中的________叫做等比数列的公比，常用字母q(qWO)表示

公式表示｛al1｝为等比数列Q.(n∈N*,」为非零常数)

等比中项如果“，G,「成等比数列，则G叫做”，♦的等比中项，此时

2.等比数列的通项公式

若等比数列｛小｝的首项是0,公比是则其通项公式为(Λ∈N*).

3.等比数列的前〃项和公式

(1)当公比(7=1时，Sn=.

(2)当公比qWl时，SK==.

4.项的性质

(l)α,,=‰√,^m.

(2)4,”-《a,”+&a公(〃i>k,in»AeN).

(3)若wι+"=p+q=2k("i,n,p,q,⅛∈N*),则a,"S==a^.

(4)若数列｛.“｝,｛仇｝(项数相同)是等比数列，则｛入α7l｝,(∣αn∣｝,｛J,｛a^｝,｛αn-bn],

｛最｝(2W0)仍然是等比数列.

(5)在等比数列｛0,,｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则斯，a,l+k,如+2&,an

+3«，…为等比数列，公比为..

5.和的性质

n

(l)Sm+∏=S“+qSm.

S

(2)若等比数列｛小｝共2k(%∈N*)项，则詈=/

S奇

(3)公比不为一1的等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，则S〃，S2〃-S〃，仍成等

比数列，其公比为q",当公比为一1时，S”S2n-Sn,不一定构成等比数列.

二、必明2个常用结论

I.等比数列与指数函数的关系

当qWl时，斯=藁∙√',可以看成函数y=cq∖是一个不为O的常数与指数函数的乘积，

因此数列｛斯｝各项所对应的点都在函数y=c4'.的图象上.

2.等比数列的单调性

当q>l,aι>O或OVqV1,0〈0时，｛斯｝是递增数列;

当g>l,为VO或0<qVl,0>0时，｛斯｝是递减数列：

当q=l时，｛飙｝是常数列.

三、必练4类基础题

（一）判断正误

I.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或“X”）.

⑴满足斯+尸眄（"dN*,g为常数）的数列｛如｝为等比数列.（）

（2）三个数α,b,C成等比数列的充要条件是A2=αc.（）

（3）如果数列｛4,,｝为等比数列，⅛=‰-l+‰,则数列｛儿｝也是等比数列.（）

（4）如果数列｛斯｝为等比数列，则数列｛lna,,｝是等差数列.（）

（5）等比数列中不存在数值为0的项.（）

（二）教材改编

2.［必修5∙P53练习T3改编1对任意等比数列｛如｝,下列说法一定正确的是（）

A.a↑,的，49成等比数列

B.«2>。3,。6成等比数列

C.az，a4,制成等比数列

D.<73，<76>成等比数列

3.［必修5・P54T8改编］在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则

这两个数为.

（三）易错易混

4.（忽视项符号的判断）已知在等比数列｛〃”｝中，42。3a4=1，〃6«748=64,则“5=.

5.（忽视对公比的讨论）设aeR,n∈N*,则l+α+a2+α3›∣---∖-an=.

（四）走进高考

6.［2021.全国甲卷］等比数列｛诙｝的公比为q,前〃项和为S,.设甲：q>0,乙：｛S,｝是

递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一等比数列的基本运算［基础性］

1.［2022∙安徽省合肥市检测丁设正项等比数列｛4,,｝的前n项和为Sn,若a2a6=l6,2S3=

42+43+a4,则“∣=（）

A禺B.2C.iD.4

2.［2022临川一中实验学校检测］已知己是等比数列｛词的前N项和,若5$=1,Sio=

33,则数列｛如｝的公比是（）

A.8B.4C.3D.2

3.［2022∙陕西省西安市检测］等比数列｛a”｝中,ai=∖,α5=4g设@为｛斯｝的前〃项和,

若S"=63,则机的值为（）

A.5B.6C.7D.8

4.［2020∙全国卷∏］记S“为等比数列｛斯｝的前W项和.若%—协=12,06-04=24,则包

an

=（）

A.2n-lB.2-2'n

C.2-2"~'D.2'^π-l

反思感悟等比数列基本运算中的两种常用数学思想

等比数列中有五个量的，n,q,a,S,一般可以“知三求二”，通过

方程思想nn

_____________列方程（组）求关键量0和q,问题可迎刃而解_____________

等比数列的前〃项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=l时，｛m｝的

分类讨

论思想前n项和为Sn-na∖∙,当q≠l时，｛〃“｝的前H项和为Sft=当黑=”詈

［提醒］（1）等比数列求和需要讨论4=1和两种情况；（2）计算过程中，若出现/

=t,要注意”为奇数和偶数的区别.

考点二等比数列的判定与证明［综合性］

［例IJ［2021•八省市新高考适应性考试］已知各项都为正数的数列｛斯｝满足an+2=2an+i

+3an.

（1）证明：数列｛%+%+］｝为等比数列；

（2）若4∣=$α2=∣＞求｛a4｝的通项公式.

听课笔记：

反思感悟等比数列的判定方法

若汕=q（q为非零常数，zj∈N*）或上=虱夕为非零常数且“N2,

定义法anən-1

"∈N*）,则｛斯｝是等比数列_______________________________________

中项

若数列｛如｝中，”,,≠0且a"i=a"％"+2（"GN*）,则｛““｝是等比数列

公式法

通项若数列｛a,,｝的通项公式可写成斯=cq"∣（c,q均为非零常数，"∈N*）,

公式法则■“｝是等比数列_______________________________________________

前〃项和若数列｛斯｝的前〃项和S“=0—k伙为非零常数，q≠0,1）则｛m｝是等

公式法比数列_________________________________________________________

［提醒］如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列

即可.

【对点训练】

1.［2022∙甘肃省高考诊断考试］数列｛α,,｝的前"项和为s“且S“=2斯一1,则包=()

an

A.2-2^,'B.2-2,^"

C.2-2"D.2-2n-l

2.［2022∙湖南岳阳市高三一模］已知数列｛”“｝满足“∣=l,且点(斯，为+1—2")在函数火》)

=3x的图象上，求证：｛S+1｝是等比数列，并求｛斯｝的通项公式.

考点三等比数列的性质及应用［综合性］

角度I等比数列项的性质

［例2］(l)［2O22∙广东揭阳模拟］已知等比数列｛α.｝中，a4+as^-2,则46(他+2。6+40)

的值为()

A.4B.6C.8D.-9

(2)在等比数列｛α,J中，θπ>O>αι+42∏------∖^as=4,的怎…<⅞=16,则上+∙∙ɪ∙H---------■的

31a?Hg

值为()

A.2B.4C.8D.16

听课笔记：

反思感悟在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性

质“若∕%+”=p+q,则即S=即。/',可以减少运算量，提高解题速度.

角度2等比数列前〃项和的性质

［例3］(l)［2020♦全国卷I］设｛&｝是等比数列,且0+α2+α3=l,02+43+44=2,则〃6

+s+α8=()

A.12B.24C.30D.32

(2)［2022•四川省雅安市检测］若伍〃｝是等比数列，且前〃项和为S〃=3〃「+i,则t=()

C.-lD.1

(3)[2022・正阳县高级中学检测]设等比数列伍〃｝的前〃项和为S”若S3=5,S6=20,则

*S,9=()

A.66B.65C.64D.63

听课笔记:

反思感悟与等比数列前n项和S11相关的结论

(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列｛%｝中，公比为q.

①若共有2〃项，则SJS+=q;

②若共有2〃+1项，则SLSM=M+：鲁二(/1且q≠-l).

n

(2)分段求和：S.+,"=Sfl+√‰θ⅞=⅛⅝为公比)•

ɔm

［提醒］在运用等比数列的前〃项和公式时，必须注意对q=l与q≠l分类讨论，防止

因忽略q=l这一特殊情形而导致解题失误.

【对点训练】

1.［2022∙河南省濮阳市高三一模］已知公比大于1的等比数列｛斯｝满足该加=a6a11,a⅞1

=。6。10，则，〃+〃=()

A.4B.8C.12D.16

2.［2022∙山东省日照市高三模拟］已知数列｛斯｝是等比数列，7“是其前八项之积，若

=a1,则乃的值是()

A.lB.2C.3D.4

3.［2022∙湖北荆州模拟］已知等比数列｛〃“｝的公比不为一1,设S,为等比数列｛”“｝的前〃

项和，S∣2=75I4,则沪.

第三节等比数列及其前〃项和

积累必备知识

、

1.前一项同一个常数常数%1=qG2=ab

an

ni

2.an=a∖q~

3.(l)nα.(2声"上船

1—q1—q

4.⑶GpW

5.(3)S3〃—S2〃S3〃—S2〃

三、

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)×(5)√

2.解析：因为数列｛小｝为等比数列，设其公比为％则"3∙"9="ι∙q2∙αιq8=(α∣.g5)2=a3

所以“3,〃6,。9一定成等比数列.

答案：D

3.解析：设该数列的公比为分由题意知，192=3Xq3,炉=64,所以q=4.所以插入

的两个数分别为3X4=12,12X4=48.

答案：1248

4.解析：由4243。4=1,。6〃7。8=64,得姆=1,a,=64,所以的=1,如=4,因此延=

4347=4.又因为。5与43同号，所以45=2.

答案：2

5.解析：当α=1时，1+α+a2+α3+1；当a≠0且α≠1时，1+α+a2+

1.Q∏+l1-Q∏+l

炉+...+/==;当kθ时，1+.+层+〃+...+"，=1满足=:所以l+a+a2+a3+...

n+1,a=1

n

+a=l-an+1-Y

"^"∖，a。1.

l-a

n+1,a=1

答案:n+1

l-a,a≠1

l-a

6.解析：当4=1,时，等比数列｛斯｝的前〃项和S,=nA∣<O,可知｛S,｝是单调递

减数列，因此甲不是乙的充分条件；

若｛y｝是递增数列，则当〃》2时，‰=S,,-S,,-ι>O,即αq"r>0恒成立，而只有当的

>0,q>0时，0q"-∣>O恒成立，所以可得q>0,因此甲是乙的必要条件.综上，甲是乙

的必要条件但不是充分条件.故选B.

答案：B

提升关键能力

考点一

1.解析：设等比数列｛〃〃｝的公比为g且q>0.

由〃2。6=16,所以公=16=44=4,

又2S3=α2+α3+44,贝U2(〃]+〃2+。3)=。2+〃3+〃4=2。1+欧+4-〃4=0,

所以2αι+q∣q+αι/一〃q3=0=炉一/一4_2=0,

即(4一2)(炉+夕+1)=00夕=2,所以44=〃q3=4=的=].

答案：A

2.解析：设等比数列｛α,,｝的公比为q,由差=霁=1+炉=33,所以炉=32,q=2.

答案：D

3.解析：设公比为夕，因为〃5=4〃3,所以。q4=4〃q2,解得q=2或一2,

aι(l-qm)-l×(l-2m)

当夕=2时,-63解得"2=6；

ι-q1-2

当g=-2时，S,,,=当出=生苦B=63,无解.

11-q1+2

答案：B

ai(i-*)

4.解析：设等比数列｛α,,｝的公比为q,则%3=主U，=q=S=2,.∙.包==∣E=2

a5-a3as-a3ɪ2anal×2

一2广".故选B.

答案：B

考点二

例1解析：(1)证明：因为。"+2=2斯+|+3%，

所以4,1+2+a"+13(a.+i+a”)，

因为｛““｝的各项均为正数，

所以α∣+α2≥0.

所以｛4,,+α,,+ι｝是公比为3,首项为由+。2的等比数列.

(2)因为S=g,〃2=|,

所以。]+。2=2.

又由(1)知｛&+斯+]｝是公比为3的等比数列，

所以小+斯+1=(4+。2)・3"-1=2X3n~1,

因为〃〃+22。〃+I+3Cln,

所以z+2—3〃〃+]=一(〃〃+[—3。〃)，

又。2=3a∖9

所以痣―3〃]=0,

所以an+↑-3an=Q.

所以。〃+1=3©”

所以α”=1X3L∣∙

对点训练

1.解析：当〃=1时，Si=2a∖—1,解得〃ι=l,S∏=2an~1①，SLl=2α〃一]一1(〃22)

②，①一②得，a=2a-2a-↑,得工=2,所以数列｛斯｝是以卬=1为首项，2为公比的等

nfnan-ι

比数列，所以α.=2"-∣,%=43=2"—1,于是区=W=2—2∣F,故选B.

l-2sɑ2*

答案：B

2.解析：由点(如，Z+L2")在函数/)=3X的图象上,

n

可得an+i=2+3an,

所以殁i=¾1+ι,即*=鬻+也

也即舞1+1竹怎+1)，

又αι=l,所以∣∣+1=∣,

所以｛言+1｝是首项和公比均为I的等比数列，

则"+l=(∣)n.所以斯=3"-2".

考点三

例2解析：(1)由题意可得〃6(。2+2〃6+〃10)=。6。2+2磷"Aaeaio=W+2a4as√-α∣=(π4

+。8)2=(-2)2=4.故选A.

(2)由分数的性质得到工+-+…+工=阻吧1+笆生+…+幺土眨因为痣0=4742=4346=

a

ɛla8a8ala7a2≡4S

。4。5,所以原式=虫上逛++%=，-,又。］〃2…〃8=16=(。4。5)4,小＞0,：・。4。5=2,，工+工H-…

34aS≡4a5ala2

+工=2.故选A.

a8

答案：(I)A(2)A