结构设计原理-第二节（受弯构件强度计算）

EngineeringMathematics伍川生副教授硕士生导师

勘察设计注册土木工程师（道路工程）资格考试结构设计原理受弯构件强度计算受弯构件的截面形式与构造受弯构件正截面受力全过程和破坏性特征受弯构件正截面承载力计算受弯构件斜截面承载力

受弯构件的设计包括正截面承载能力计算和斜截面承载能力计算。破坏形态

1、正截面受弯破坏：弯矩作用下产生的破坏（沿铅垂面）。2、斜截面受剪破坏：弯矩和剪力共同作用下引起的破坏（倾斜面）概述梁内钢筋的组成：纵向受力钢筋（主钢筋）、弯起钢筋或斜钢筋、箍筋、架立筋、水平纵向钢筋钢筋骨架的形式：绑扎钢筋骨架—将纵向钢筋与横向钢筋通过绑扎而成的空间钢筋骨架，一般用于整体现浇；焊接钢筋骨架—先将纵向受拉钢筋（主钢筋）、弯起钢筋或斜筋和架立钢筋焊接成平面骨架，然后用箍筋将数片焊接的平面骨架组成空间骨架。焊接钢筋骨架绑扎钢筋骨架受弯构件正截面受力全过程和破坏特征钢筋混凝土——物理力学性能不同的材料组成的复合材料，又是非均质、非弹性的材料，受力后不符合虎克定理（不成正比），按材料力学公式计算的结果与试验结果相差甚远，因此，钢筋混凝土结构的计算方法必须建立在试验的基础上。

正截面工作的三个阶段

三个阶段1）阶段Ⅰ：整体工作阶段2）阶段Ⅱ：带裂缝工作阶段

3）阶段Ⅲ：破坏阶段三个特征点第I阶段末（Ia），裂缝即将出现；第II阶段末（IIa），纵向受力钢筋屈服；

第III阶段末（IIIa），梁受压区混凝土被压碎，整个梁截面破坏。计算依据

1）Ⅰa可作为受弯构件抗裂度计算的依据；2）Ⅱ可作为使用阶段的变形和裂缝开展计算时的依据；3）Ⅲa可作为极限状态的承载力计算的依据。

受弯构件正截面破坏形态钢筋混凝土受弯构件有两种破坏性质：塑性破坏（延性破坏）：结构或构件在破坏前有明显变形或其他征兆；脆性破坏：结构或构件在破坏前无明显变形或其他征兆。试验研究表明：钢筋混凝土受弯构件的破坏性质与配筋率ρ、钢筋强度等级、混凝土强度等级有关。对常用的热轧钢筋和普通强度混凝土，破坏形态主要受到配筋率ρ的影响。正截面破坏的三种形态：（a）少筋梁破坏（b）适筋梁破坏（c）超筋梁破坏

(a)(b)(c)PPPPPP受弯构件正截面承载力计算根据弯矩组合设计值Md来确定钢筋混凝土梁和板截面上纵向受力钢筋的所需面积并进行钢筋的布置。材料应力应变的物理关系1)混凝土受压时

－

关系CEB-FIP的标准规范采用的典型化混凝土应力应变曲线常用的是二次抛物线及水平线组成的曲线形式(如图)。其表达式为问题：材料力学中单向状态下应力应变的物理关系？2)钢筋的

－

关系采用简化的理想弹塑性应力应变关系。普通钢筋的应力应变关系表达式为：

压区混凝土等效矩形应力图

在前述假定的基础上：

截面上混凝土压应力的分布图形与混凝土的应力应变曲线（受压时）是相似的

由此假定计算前提：压应力合力C及其作用位置由基本假定可以求得

式中ξc=xc/h0（3－5）（3－6）显然，用混凝土受压时的应力应变曲线σ=σ(ε)来求应力合力C和合力作用点yc是比较麻烦的。

简化方法：用等效矩形应力图代替混凝土实际应力图。

等效原则：

（1）保持合力C的作用点位置不变。

（等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形的形心位置相同）（2）保持合力C的大小不变。

（等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形的面积相等）

——受压区等效矩形换算高度系数，

=x/xc（中和轴高度）

——矩形压应力图应力与受压区混凝土最大应力σ0的比值

（3－9）等效矩形压应力分布图引入无量纲参数

和

（3－10）确定ε0、εcu

（一）基本公式及适用条件

单筋矩形截面受弯构件计算

基本假定：1.平截面假定2.受压区混凝土应力图形采用等效矩形，其压力强度取fcd3.不考虑截面受拉混凝土的抗拉强度4.受拉区钢筋应力取fsd

单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算图式

基本计算原则：γoMd≤

Mu基本公式（基本方程）

两个独立的基本方程：公式（3-13）、（3-14）或者（3-15）。

（3-13）（3-14）（3-15）∑X=0∑MT=0∑MC=0适用条件：（1）为防止出现超筋梁情况，计算受压区高度x应满足：ξb——相对界限受压区高度(3-16)(3-16)亦可理解为：

限制受压区最大高度，保证适筋梁的塑性破坏限制承载力上限值

由混凝土强度等级别和钢筋种类确定（可查表确定）则相对受压区高度ξ为由可见不仅反映了配筋率ρ，而且反映了材料的强度比值的影响，故又被称为配筋特征值，它是一个比ρ更有一般性的参数。（3-18）ρ只反映了混凝土和钢筋数量的比例。当

=

b时，最大配筋率ρmax为

x≤

bh0（3-19）ρ≤ρmax显然，适筋梁的配筋率ρ应满足：（3-20）意义相同，防止超筋梁在实际计算中，多采用前者

ρ≤

ρmax——最小配筋率（2）为防止出现少筋梁的情况，计算的配筋率ρ应当满足：ρ≥ρmin（3-21）少筋梁与适筋梁的界限。两个适用条件也防止了脆性破坏ρmin=Max（0.2，45ftd/fsd）%

从这里可以看到钢筋混凝土结构的特点：两种性能不同的材料组成的构件，受力和变形存在相互协调、相互制约的问题，强度和数量上的比例超过一定界限，就会引起构件受力性能的改变，这是单一材料所没有的。定义：受拉和受压区均配置受力钢筋的矩形截面

通常不采用双筋截面（理由：不经济）

采用双筋截面的情况单筋截面，且b、h、受到限制截面承受异号弯矩，则必须采用双筋截面结构本身受力图式的原因，例如连续梁的内支点处截面，将会产生事实上的双筋截面可提高截面延性,减少长期荷载作用下的变形

双筋矩形截面受弯构件受压钢筋的应力：可以证明，当x≥时，普通钢筋均能达到受压屈服强度：

双筋截面受压钢筋应变计算分析图

即时,可得到:

（一）受压钢筋的应力受力特点和破坏特征：与单筋截面相似，只要满足≤，双筋截面仍具有适筋破坏特征。受压区混凝土仍可采用等效矩形应力图形和混凝土抗压设计强度fcd。因此，《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》取受压钢筋应变：

对R235级钢筋

对HRB335、HRB400和KL400级钢筋

由此可见，当时，普通钢筋均能达到屈服强度

受压钢筋有必要采用高强钢筋吗

？受压钢筋不宜用高强钢筋（二）基本公式及适用条件

基本假定：平截面假定受压区混凝土应力图形采用等效矩形，其压力强度取fcd不考虑截面受拉混凝土的抗拉强度受拉区、受压区钢筋应力分别取fsd

、。

为了充分发挥受压钢筋的作用并确保其达到屈服强度，规范规定取时必须满足：

x≥双筋矩形截面的正截面承载力计算图式

基本计算公式：

（3-33）

（3-34）

（3-35）

适用条件：（1）为了防止出现超筋梁情况，计算受压区高度x应满足：（2）为了保证受压钢筋达到抗压强度设计值，应满足：若求得x＜2，则表明受压钢筋可能达不到其抗压强度设计值（基本方程多一未知数）。规定这时可取x=2，即假设混凝土压应力合力作用点与受压区钢筋合力作用点相重合，对受压钢筋合力作用点取矩，可得到正截面抗弯承载力的近似表达式为（3-38）一般能满足

T形截面受弯构件正截面承载力计算

（一）概述T梁的形成：矩形截面梁在破坏时，开裂截面处受拉区混凝土对截面的抗弯承载力已退出工作，因此可将受拉区混凝土挖去一部分，将受拉钢筋集中布置在剩余拉区混凝土内，形成T形截面。优点：不降低截面承载能力，节省混凝土用量和减轻自重，增大跨越能力。

判断一个截面在计算时是否属于T形截面，不是看截面本身形状，而是要看其翼缘板是否能参加抗压作用。

I字形截面、箱形截面均可按T形截面处理。倒T梁（图b）只能按矩形截面处理。T形梁截面

翼缘板（简称翼板）：截面伸出部分梁肋或梁腹：其宽度为b的部分受压翼缘有效宽度的确定1）

翼缘有效宽度：翼缘上应力分布非均匀。为便于计算，设计中，根据等效受力原则，把与梁肋共同工作的翼板宽度限制在一定的范围内，称为受压翼板的有效宽度。2）T形截面翼缘计算宽度的取值:T形截面越宽,越大,抗弯内力臂越大。但实际压区应力分布如图所示。纵向压应力沿宽度分布不均匀。办法：限制的宽度,使压应力分布均匀,并取。实际应力图块实际中和轴有效翼缘宽度等效应力图块b

f

《公路桥规》规定，T形截面梁（内梁）的受压翼板有效宽度用下列三者中最小值：（1）简支梁计算跨径的1/3。（2）相邻两梁的平均间距。（3）。当时，取（）此处，、、和分别如图示，为承托根部厚度。二、基本公式及适用条件

按受压区高度的不同分为两类：第二类T形截面第一类T形截面1、第一类T形截面

视同×h的矩形截面，基本计算公式：（3-40）（3-41）（3-42）计算图式适用条件

（1）第一类T形截面的x=≤，即≤。由于一般T形截面的较小，因而值也小，所以一般均能满足这个条件。（2），b为T形截面的梁肋宽度在验算T形截面的值时，近似地取梁肋宽b来计算，为什么？

2、第二类T形截面

基本计算公式：计算图式

适用条件：

（1）x≤；（2）≥。

（3-43）（3-44）受弯构件斜截面承载力计算一、无腹筋简支梁斜裂缝出现前后的受力状态

图为一无腹筋简支梁，作用有两个对称的集中荷载

（CD段称为纯弯段；AC段和DB段剪弯段）

无腹筋梁出现斜裂缝后的斜向裂缝图简支梁斜截面破坏形态：

1、剪跨比的定义：剪跨比是一个无量纲常数，用

来表示，此处M和V分别为剪弯区段中某个竖直截面的弯矩和剪力，

h0为截面有效高度。2、剪跨比分类：

狭义剪跨比：广义剪

跨

比：a3、

破坏形态：

1．斜拉破坏

(m>3)一般发生在剪跨比较大（m>3）的无腹筋梁产生条件：

破坏特征：

当斜裂缝一出现，很快形成一条主要斜裂缝（临界斜裂缝），并迅速延伸至荷载作用点，使梁斜向被拉断成两部分。破坏面较整齐，无压碎痕迹，同时，沿纵向钢筋往往伴随产生水平撕裂裂缝。这种破坏即为斜拉破坏。

斜拉破坏主要是由于主拉应力超过混凝土的抗拉强度，因此梁的受剪承载力很低，破坏荷载等于或略高于主要斜缝出现的荷载。

破坏性质：脆性破坏。

抗剪能力：

2．剪压破坏（是斜截面剪切破坏中最常见的一种破坏形态）

一般发生在剪跨比适中即1≤m≤3的无腹筋梁

产生条件：

破坏特征：

梁在剪弯区段内出现斜裂缝，随着荷载的增大，陆续出现几条斜裂缝，其中一条发展成为临界斜裂缝。临界斜裂缝出现后，梁还能继续增加荷载，斜裂缝延伸至荷载垫板下，直到斜裂缝顶端的混凝土在正应力和剪应力共同作用下被压碎而破坏，这种破坏称为剪压破坏。

主要与混凝土强度有关，

其受剪承载力比斜拉破坏高。

属脆性破坏，但其破坏过程比斜拉破坏缓慢，脆性程度有所缓和。

抗剪能力：

破坏性质：

3．斜压破坏

产生条件：

当剪跨比较小（m＜1)

破坏特征：

在加载点和支座之间出现一条斜裂缝，然后出现若干条大体相平行的斜裂缝．梁腹被分割成若干个倾斜的小柱体。随着荷载增大，梁腹发生类似混凝土棱柱体被压坏的情况，即破坏时斜裂缝多而密，但没有主裂缝，故称为斜压破坏。

斜截面受剪承载力主要取决于构件截面尺寸和混凝土抗压强度，受剪承载力比剪压破坏高。

破坏性质：属脆性破坏

除上述三种主要破坏形态外，有时还可能发生局部挤压或纵向钢筋锚固等破坏。

抗剪能力：

影响有腹筋梁斜截面破坏强度的主要因素是:

1、剪跨比和跨高比:

对于承受集中荷载的梁，随着剪跨比的增大，受剪承载力下降。对于承受均布荷载荷载作用的梁，构件跨度与截面高度之比（简称跨高比）l0/h是影响受剪承载力的主要因素。随着跨高比的增大，受剪承载力降低。2、箍筋的数量：箍筋的数量增多时，斜截面的承载力增大。3、混凝土强度等级在剪跨比和其他条件相同时，斜截面受剪承载力随混凝土强