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朽木易折,金石可镂。千里之行,始于足下。第页/共页第七章弯曲变形7-2图示外伸梁AC,承受均布载荷q作用。已知弯曲刚度EI为常数,试计算横截面C的挠度与转角。 题7-2图解:1.建立挠曲轴近似微分方程并积分支座A与B的支反力分离为 AB段(0≤x1≤a): (a) (b)BC段(0≤x2≤a): (c) (d)2.决定积分常数梁的位移边界条件为 (1) (2)延续条件为 (3) (4)由式(b)、条件(1)与(2),得 ,由条件(4)、式(a)与(c),得 由条件(3)、式(b)与(d),得 3.计算截面C的挠度与转角将所得积分常数值代入式(c)与(d),得CB段的转角与挠度方程分离为 将x2=0代入上述二式,即得截面C的转角与挠度分离为 7-3图示各梁,弯曲刚度EI均为常数。试按照梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的大致形状。题7-3图解:各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状如图7-3所示。 图7-37-6图示简支梁,左、右端各作用一个力偶矩分离为M1与M2的力偶。如欲使挠曲轴的拐点位于离左端l/3处,则力偶矩M1与M2应保持何种关系。题7-6图解:梁的弯矩图如图7-6所示。依题意,拐点或M=0的截面,应在处,即要求 由此得 图7-67-7在图示悬臂梁上,载荷F可沿梁轴移动。如欲使载荷在移动时一直保持相同的高度,则此梁应预弯成何种形状。设弯曲刚度EI为常数。 题7-7图解:在位于截面x的载荷F作用下,该截面的挠度为 因此,倘若将梁预弯成 的形状,则当载荷F沿梁轴移动时,载荷一直保持同样高度。7-8图示悬臂梁,弯曲刚度EI为常数。在外力作用下,梁的挠曲轴方程为 式中,a为已知常数。试画梁的剪力与弯矩图,并决定梁所承受的载荷。 题7-8图解:1.内力分析梁的剪力、弯矩图如图7-8所示。图7-82.外力分析在区间A+B-内,由上式与剪力、弯矩图的延续性可知,在该区间内既无分布载荷,也无扩散载荷。由剪力、弯矩图可知,截面B-的剪力与弯矩分离为在梁端切取微段B-B,并研究其平衡,得作用在截面B的扩散力与扩散力偶矩分离为()()7-9图示各梁,弯曲刚度EI均为常数。试用神奇函数法计算截面B的转角与截面C的挠度。题7-9图(a)解:1.求支反力由梁的平衡方程和,得 2.建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标,由题图可见,弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次,得 (a) (b)3.决定积分常数梁的位移边界条件为: 在处, (c) 在处, (d)将条件(c)代入式(b),得 将条件(d)代入式(b),得 4.建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为 由此得段与段的挠曲轴方程分离为 5.计算和将代入上述或的表达式中,得截面的挠度为 将以上所得值和代入式(a),得截面的转角为(b)解:1.求支反力由梁的平衡方程和,得 2.建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标,由题图可见,弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次,得 (a) (b)3.决定积分常数梁的位移边界条件为: (c) (d)将条件(c)与(d)分离代入式(b),得 4.建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为 由此得段与段的挠曲轴方程分离为 5.计算和将代入上述或的表达式中,得截面的挠度为 将以上所得值和代入式(a),得截面的转角为 (c)解:1.求支反力由梁的平衡方程和,得 2.建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标,由题图可见,弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次,得 3.决定积分常数该梁的位移边界条件为: (c) (d)将条件(c)与(d)分离代入式(b)和(a),得 4.建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为 由此得段、段和段的挠曲轴方程依次为 5.计算wC和将代入上述或的表达式中,得截面的挠度为 将以上所得值和代入式(a),得截面的转角为 (d)解:1.求支反力由梁的平衡方程和,得 2.建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标,由题图可见,弯矩的通用方程为 挠曲轴的通用近似微分方程为 将其相继积分两次,得 (a) (b)3.决定积分常数梁的位移边界条件为: 在处, (c) 在处, (d)将条件(c)代入式(b),得 将条件(d)代入式(b),得 4.建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为 由此得段与段的挠曲轴方程分离为 5.计算和将代入上述的表达式中,得截面的挠度为 将以上所得值和代入式(a),得截面的转角为 7-10图示各梁,弯曲刚度EI均为常数。试用叠加法计算截面B的转角与截面C的挠度。题7-10图(a)解:由产生的位移为 由产生的位移为 应用叠加法,得截面的转角及截面的挠度分离为 (b)解:梁段及梁段的受力情况分离如图7-10b(1)和(2)所示。 图7-10b由图(1)可得截面的转角为 由图(1)和图(2),应用叠加法得截面的挠度为 (c)解:梁段及梁段的受力情况分离如图7-10c(1)和(2)所示。 图7-10c由图(1)可得截面的转角为 由图(1)和图(2),应用叠加法得截面的挠度为 (d)解:求时可以书中附录E的7号梁为基础,以x代替a,以q(x)dx代替F,写出B端截面的微转角(a)式中,q(x)为截面x处的载荷集度,其值为(b)将式(b)代入式(a)后两边积分,即得截面B的转角为求wC可以教材附录E中8号梁为基础,所求截面的挠度为表中所列的一半,即 7-12图示外伸梁,两端承受载荷F作用,弯曲刚度EI为常数。试问:(a)当x/l为何值时,梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等;(b)当x/l为何值时,梁跨度中点的挠度最大。 题7-12图解:在端点力偶矩Me作用下,跨度为a的简支梁的中点挠度为 将梁端载荷F简化到截面D与G,得简支梁DG的受力如图b所示,梁端各作用一附加力偶矩Fx。按照上述公式,简支梁DG中点的挠度为 (a)在上述二力偶矩作用下,截面D的转角为 ()所以,外伸梁端点A的挠度为 (b)为使梁跨度中点C与梁端A的挠度数值相等,即使 得为使梁跨度中点C的挠度最大,由式(a),并令 得7-14图示各刚架,各截面的弯曲刚度与扭转刚度分离为EI与GIt,试用叠加法计算自由端形心C的水平与铅垂位移。题7-14图(a)解:由图7-14a可以看出,在力偶矩作用下,杆段AB的截面B产生水平位移Bx与转角,其值分离为 由此得截面C的水平与铅垂位移分离为 图7-14(b)解:由图7-14b可以看出,杆段AB处于弯扭受力状态,截面B的铅垂位移与转角分离为 由此得截面C的水平与铅垂位移分离为 7-16试用叠加法计算图示各阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1。题7-16图(a)解:容易判断,最大挠度发生在截面处(见下图)。如图7-16a(1)所示,梁段在F和Fa作用下,有 和 图7-16a由图(2)可得 最后,应用叠加法求得最大挠度为 (a)(b)解:不难判断,最大挠度发生在中间截面处。 图7-16b如图7-16b(1)所示,因为左右对称,截面的转角必然为零。由此可将图(1)求的问题转化为图(2)所示悬臂梁求挠度的问题,并可利用本题(a)中所得的结果,只需将式(a)中的更换为即可。最后求得的最大挠度为 (b)7-17图示悬臂梁,承受均布载荷q与扩散载荷ql作用。材料的弹性模量为E,试计算梁端的挠度及其方向。题7-17图解: 梁端的总挠度为 其方向如图7-17所示,由图可知, 图7-177-19试求图示各梁的支反力。设弯曲刚度EI为常数。题7-19图(a)解:此为三度静不定问题,但有反驳称条件可以利用。此题以解除多余内约束较为方便。在作用面处假想将梁切开,并在其左、右面各施加一,在切开截面仅有反驳称内力存在,如图7-19a所示。 图7-19a变形协调条件为 (a)截面的挠度之所以为零,这是由反驳称条件决定的。利用叠加法,得 (b)将式(b)代入式(a),于是得 方向如图所示。据此可求得其他支反力为 (b)解:此为两度静不定问题。可在梁间铰处解除多余约束,得该静不定结构的相当系统如图7-19b所示。 图7-19b变形协调条件为 (d)物理关系为 (e)将式(e)代入式(d),得 由相当系统的平衡条件,求得其它支反力为 7-21题7-20所示传动轴,因为加工误差,轴承C处的位置偏离轴线=0.25mm,试计算安装后轴内的最大弯曲正应力。已知轴的弹性模量E=200GPa。解:此为一度静不定问题。传动轴的相当系统示如图7-21所示。变形协调条件为 (a) 图7-21在多余支反力作用下,截面的挠度为 (b)将式(b)代入式(a),得 由此得 由图可知,梁内的最大弯矩发生在截面,其值为 由此得梁内的最大弯曲正应力为 7-22图示结构,梁AB与DG用No18工字钢制成,BC为圆截面钢杆,直径d=20mm,梁与杆的弹性模量均为E=200GPa。若载荷F=30kN,试计算梁与杆内的最大正应力,以及横截面C的挠度。题7-22图解:设杆BC受拉,轴力为FN。在载荷F与轴力FN作用下,梁DG中点C的铅垂位移为 梁杆结构ABC的下端截面C的铅垂位移则为 按照变形协调条件,得 (a)对于No18工字钢, 杆BC的横截面面积为 代入式(a),得而梁AB与DG的最大弯矩则分离为按照上述分析,得杆BC横截面上的正应力为梁内的最大弯曲正应力为而截面C的挠度则为7-23图a所示结构,由梁AB与杆CB组成,并承受铅垂载荷F作用。梁各截面的弯曲刚度均为EI,杆各截面的拉压刚度均为EA,且I=Al2/2,试计算梁的最大弯矩与杆的轴力。 题7-23图解:本问题属于一度静不定。在载荷F作用下,杆BC轴向受拉,轴力用FN表示,梁的受力如图b所示。设杆的轴向变形为l,梁截面B的挠度为,则变形协调条件为 (a)梁截面B的挠度为 杆的轴向变形为 将上述二式代入式(a),得补充方程为 由此得杆BC的轴力为 而梁的最大弯矩则为 7-24图示刚架,弯曲刚度EI为常数,试画刚架的弯矩图。题7-24图解:图a与b所示结构均为一度静不定问题。解除端的多余约束,代之以多余约束反力,由变形协调条件 解得此二刚架的多余约束反力依次为 此二刚架的弯矩图分离如图7-24a和b所示。 图7-247-25图a所示梁,弯曲刚度EI为常数。若欲使梁端支座A旋转,则需在A端施加多大的力偶矩MA,并求相应的支反力。 题7-25图解:取相当系统如图b所示,在FAy与MA作用下,截面A的挠度与转角分离为 由上述二式,并分离令 即 经联立求解,于是得 ,从而有 ,7-26如图a所示,一长度为l、弯曲刚度为EI、分量为W的细长直梁,放置在水平刚性平台上。设在梁端施加铅垂载荷F=W/3后,部分梁段离开台面,试求分离段的长度a、梁端的挠度与梁内的最大弯矩。 题7-26图解:梁段BC与水平刚性平台紧贴,各截面的挠度、转角与曲率均为零,即 当不考虑剪力对梁变形的影响时,弯矩与梁轴曲率成正比,所以,梁段BC各截面的弯矩均为零,横截面B的弯矩也为零。按照上述分析,梁段AB可简化为悬臂梁(图b),但截面B处的支反力偶矩为零,即 由此得 (a)利用叠加法,得截面A的挠度为 将式(a)代入上式,得 梁段AB的弯矩方程为 而在梁段BC内,各截面的弯矩均为零,于是得梁的弯矩图如图c所示,最大弯矩为 7-27如图所示,梁左端A固定在具有圆弧形表面的刚性平台上,自由端B承受载荷F作用。试计算截面B的挠度及梁内的最大弯曲正应力。平台圆弧表面AC的曲率半径R、梁的尺寸l,b与以及材料的弹性模量E均为已知。题7-27图解:1.计算截面的挠度设在作用下梁段与圆弧形表面贴合,并设段的长度为,则由图7-27a得 由此得 (a) 图7-27因为贴合段梁的曲率为常值,可知此段的弯矩也是常值。据此可画出梁的弯矩图,如图b所示。按照梁的约束条件及图b,可进一步推知其受力情况,如图c所示。由图c得截面的挠度为 (b)再将式(a)代入式(b),化简后得到 2.计算梁内的最大弯曲正应力由图b可知,梁内的最大弯矩(绝对值)为 由此得最大弯曲正应力为 7-28图示匀质梁,放置在水平的刚性平台上,若伸出台外部分AB的长度为a,试计算台内梁上拱部分BC的长度b。设弯曲刚度EI为常数,梁单位长度的分量为q。题7-28图解:因为此梁在截面以右的部分曲率到处为零,因此截面处的曲率、转角及弯矩也都为零,即 假想此梁从截面处切开,并取梁段为研究对象,可将其画成图7-28所示的外伸梁。 图7-28由以上分析可知,在均布载荷(梁自重)作用下,有 由此得到 顺便指出,这种解法是初等的,未考虑剪切变形的影响,致使分离面C处浮上扩散力形式的支承反力。7-29图示匀质梁,放置在水平刚性平台上。若在横截面A作用一铅垂向上的载荷F,试建立该截面的挠度与载荷F的关系。设弯曲刚度EI为常数,梁单位长度的分量为q。题7-29图解:可从该匀质梁的上拱部分提取力学模型,如图7-29所示。 图7-29与上题相同的理由,这里有简支梁两端截面的转角和弯矩均为零。由图可知,截面的挠度为 (a)该梁左端截面的转角为 (b)因为 故有 或写成 (c)将式(c)代入式(a),得到 7-30图示梁AB与CD,B端、C端与刚性圆柱体相连,其上作用一矩为Me的扩散力偶。试画梁的剪力、弯矩图。设二梁各截面的弯曲刚度均为EI,长度均为l,圆柱体的直径为d,且d=l/2。题7-30图解:此为三度静不定结构,有反驳称条件可以利用。该结构相当系统的一部分如图7-30a所示。 图7-30静力学方面,由刚性圆柱体的力矩平衡可得 (a)几何方面,考虑梁,其截面的挠度与转角之间应满意协调关系(请读者自己画出结构变形图以协助理解) (b)物理方面,有 (c)将式(c)代入式(b),得补充方程 注重到,由上式得 (d)将式(d)与式(a)联解,得 求出和后,画梁的剪力与弯矩图分离如图b与c所示。梁的剪力图与图b左右对称,其弯矩图与图c反驳称,这里未画出。7-31图示静不定梁AB,承受集度为q的均布载荷作用。已知抗弯截面系数为W,许用应力为[]。(1)试求载荷的许用值[q];(2)为提高梁的承载能力,可将支座B提高少许,试求提高量的最佳值及载荷q的相应许用值[q']。题7-31图解:(1)求时的此为一度静不定问题。解除端的多余约束,代之以多余反力,将截面的挠度 (a)代入变形协调条件 可得 (b)自端向左取坐标,弯矩方程为 (c)由条件 得取极值的位置为 (d)将式(d)代入式(c),得极值弯矩为 固定端截面的弯矩为

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