宁夏中卫市2023届高三二模数学（理）试题（含答案与解析）

2023年中卫市高考第二次模拟考试

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第∏卷（非选择题）两部分.第H卷第22、23题为选考题，其他

题为必考题.考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷

和答题卡一并交回.

注意事项：

1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、

姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损.

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂

黑.

第I卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）

1.复数Z在复平面内对应的点为（一2」），则15+3"=（）

A.8B.4C.2√2D.√2

2.己知集合A={0,l,2,3,4},B={x∣lnx<l},则AB=（）

A.{1,2}B.{0,l,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

3.等比数列{4}的前"项和为S“，且4q,2a2,%成等差数列，若q=1，则∙％=

A7B.8C.15D.16

4.苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣.《蝶恋花春景》是苏

轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道.墙外行

人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼.”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外

的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行.在佳人

荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（）

A.秋千绳与墙面始终平行B.秋千绳与道路始终垂直

C.秋千板与墙面始终垂直D.秋千板与道路始终垂直

5.新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是

更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果

如图所示，则下列结论不正确的是（）

A.甲同学的体温的极差为0.5。C

B.甲同学的体温的众数为36.3。C

C.乙同学的体温的中位数与平均数不相等

D.乙同学的体温比甲同学的体温稳定

6.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量

值4（i=1,2,3,…』2）（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数.如果执行如图所示

的算法程序，那么输出的结果是（）

A.4B.5C.6D.7

则豆子落在图中阴影部分的概率为

c∙⅛D.i-ɪ

ππTr

8.己知点A(l,4)在直线二+3=l(α>0∕>0)上，若关于，的不等式"+8≥产+5f+3恒成立，则实数，

ab

的取值范围为()

A.[-6,1]B.[-1,6]

C(-∞,-l]u[6,+∞)D.(-∞,-6]U[1,+∞)

π

9.已知函数/(x)="si∏5+cos5(G>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为一，且

2

TT

/(0)+/(-)=3,为了得到函数g(x)=sins-αcos5的图象，只要把/3图象上所有的点

6

A.向左平移々TT个单位长度B.向右平移3TT个单位长度

44

C.向左平移一TT个单位长度D.向右平移差TT个单位长度

22

10.将正整数排列如下:

1

23

456

78910

1112131415

则图中数2022出现在()

A.第64行第5列B.第64行6列

C.第65行5列D.第65行6列

22

11.已知双曲线C:事一点∙=l(α>0/>0)的左、右焦点分别为£,F2,焦距为4,点〃在圆

E:l+y2+4x-8y+i6=0上，且C的一条渐近线上存在点M使得四边形OMN6为平行四边形，。

为坐标原点，则C的离心率的取值范围为()

A.[2,+∞)B.[G,+∞)C.[4,÷w)D.(l,ʌ/ɜ]

12.设“X)是定义在R上的函数，若/(x)+f是奇函数，/(x)-X是偶函数，函数

/∖f∕(x),x∈[0,11,

g(x)=L/1∖Z1\,则下列说法正确的个数有()

2g(x-l),x∈(l,+∞),

(1)当x∈[2,3]时,g(%)=-2(x-2)(x-3)

⑵8代42”5)

7

(3)若g(m)22,则实数俄的最小值为彳

(4)若〃(X)=g(x)-A(x-2)有三个零点，则实数Z=-L

6

A.1个B.2个C.3个D.4个

第∏卷(非选择题共90分)

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

%>01

13.命题PM八，命题4：一>0,则〃是q的__________条件.

γ>0孙

(填”充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或”既不充分也不必要”)

14.设点P为抛物线无2=4y上到直线2x-丁-6=0距离最短的点，且在点P处的切线与X轴和Y轴的交

点分别是M和N,则过",N两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为.

15.某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(IIO,IO?),从中抽取一个同学

的数学成绩4,记该同学的成绩90<JVl10为事件A,记该同学的成绩80<《≤100为事件8,则在A

事件发生的条件下8事件发生的概率P（B∖A）=.（结果用分数表示）

附参考数据：P^μ-σ<X<χz+cr）=0.68；P"-2σ<XSμ+2cr）=0.95；

P（μ-3b<X≤χ∕÷3σ）=0.99.

b

16.当a>0时，若不等式InX≤数2+汝一l恒成立，则一的最小值是.

a

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.如图，在四棱锥尸-ABCD中，侧面PAZ）为等腰直角三角形，底面ABCQ为直角梯形，ABLAD,

BC//AD,PA=PD=PC=2√2>AD=2AB=2BC,。为AD的中点.

（1）求证：POLCD；

（2）求平面PAD与平面PC。所成锐角二面角的余弦值.

18.在①tanA+tanB+百=KtanAtanB;（2）（c+α-⅛）（sinC-sinA+sinB）=αsinδ；

③百CSin8=仇COSC+1）；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在一ABC中，

内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.

（1）求角C；

（2）若一45。的内切圆半径为且4=4,求α-c.

2

19.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的

机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量

逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：

年份20182019202020212022

编号X12345

企业总数量y（单位:千个）21563.7278.30524.27936.224

（1）根据表中数据判断，y=。+加与y=cetir（其中e=2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方

程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的结果，求y关于X的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）

Yjxiyi-rixy

附：线性回归方程9=5X+6中，BT------------.a=y-bx

2—2

Xi一招

ΣZ=I

55_]5_]5

参考数据：$=lny，ZXR.=40.457,Zxj=55,尤=WZXi=3,Z=WZz,.=2.196

（

=1I=I5,=|5i=|

（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三

家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与

未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，

该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为1,甲胜丙的概率为

3

|,乙胜丙的概率为请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最

大？

20.已知椭圆C:]+二=l（α>6>0）的左、右焦点分别为大，鸟，离心率为走，过左焦点耳的直线/

ah2

与椭圆C交于A,3两点（48不在工轴上），ZXAB"的周长为8√L

（1）求椭圆C的标准方程；

IOPl2

（2）若点P在椭圆C上，且OP_LAB（O为坐标原点），求亍曲取值范围.

21.已知函数/（x）=xlnx-∙^χ2-χ（αeR）.

（1）若/（x）<0恒成立，求“的取值范围；

（2）若函数/（x）存在两个极值点为,为，且4+恒成立，求兀的取值范围.

XIΛ2

选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作

答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系XOy中，以。为极点，X轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方

x=-2+^t

2

程为p1COS2+3p2sin2θ=∖2直线/的参数方程为〈（f为参数），直线/与曲线C分别交

√2

于M,N两点.

(1)若点P的极坐标为(2,乃)，求IPMHpM的值;

(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值.

选修4-5：不等式选讲

23..已知“，h,C是正实数，且α+b+c=2∙

1119

(1)证明：一+-+-≥-;

abc2

(2)求病+痴的最大值.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上)

1.复数Z在复平面内对应的点为(-2』)，贝IJl彳+3"=()

A8B.4C.2√2D.√2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的几何意义得复数z,求出N+3i,再求1彳+3”即可.

【详解】复数Z在复平面内对应的点为(-2,1),则复数z=-2+i,所以N+3i=—2+2i,

22

W∣JIz+3i∣ɪ∣-2+2i∣ɪλ∕(-2)+2=2√2.

故选：C.

2.已知集合A={0,l,2,3,4},B={x∣lnx<l},则AB=()

A.{1,2}B.{0,l,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数求解集合B,再求交集即可得结果.

【详解】由题意可得：B={x∣lnx<l}={x∣0<x<e},

故AnB={1,2}.

故选：A.

3.等比数列｛α,,｝的前〃项和为S“，且4q,Ia1,%成等差数列，若G=1，则$4=

A.7B.8C.15D.16

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由数列LJ为等比数列，且4"2%g成等差数列，所以4生=4苗-生，即

4qg=40「a：1，因为。工0,所以4g=4-/,解得：g=∙2,根据等比数列前n项和公式

aα-√）ι-24

O=-1-----------=--------=15.

i∖-q1-2

考点：1.等比数列通项公式及前n项和公式；2.等差中项.

4.苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣.《蝶恋花春景》是苏

轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道.墙外行

人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外

的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行.在佳人

荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（）

A.秋千绳与墙面始终平行B.秋千绳与道路始终垂直

C.秋千板与墙面始终垂直D.秋千板与道路始终垂直

【答案】B

【解析】

【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可

判断.

【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，

但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路的位置关系在发生变化，

而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直.

故选：B.

5.新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是

更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果

如图所示，则下列结论不正确的是（）

A.甲同学的体温的极差为0.5。C

B.甲同学的体温的众数为36.3。C

C.乙同学的体温的中位数与平均数不相等

D.乙同学体温比甲同学的体温稳定

【答案】C

【解析】

【分析】根据折线图，进行数据分析，直接计算极差判断A,由众数概念判断B,由中位数和平均数确定

C,由折线图直接判断D.

【详解】对于A：甲同学的体温的极差为36.6—36.1=0.5℃,故A选项正确；

对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1C,36.1℃,36.3℃,36.3℃,36.3C,36.5℃,36.6C,故众

数为36.3°C,故B选项正确；

对于C：乙同学的体温从低到高依次为36.2C,36.3℃,36.3°C,36.4°C,36.5°C,36.5℃,36.6°C,故中

位数为36.4°C,而平均数也是36.4°C,故C选项错误；

对于D：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D选项正确.

故选：C

6.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量

值q（i=l,2,3,…,12）（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数.如果执行如图所示

的算法程序，那么输出的结果是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，结合茎叶图判断可得；

【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可

知视力小于等于4.3的有5人，

故选：B

7.如图，若在矩形。钻C中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为

πππ~71`

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.

（详解】S矩形=TrxA=兀,

π

Xʃsin6Zx=-cosx∣θ=-(cosπ-cos0)=2,

o

∙"∙S阴影=»-2,

乃一22

.∙∙豆子落在图中阴影部分的概率为——二1--

ππ

故选A.

【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.

8.己知点A(l,4)在直线2+4=l(a>0,0>0)上，若关于，的不等式4+8≥户+5f+3恒成立，则实数，

ab

的取值范围为()

A.[-ð,1]B.[―1,6]

C.(-ɑo,—1]□[6,+oo)D.co,-6]u[l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得α+8的最小值，从而将问题转化92/+5/+3,解之

即可.

【详解】因为点A(l,4)在直线^+上=1(〃>0/>0)上,

ab

14

所以一十一=1,

ab

故a+)=(α+5)-b+—4a+5L≥c2b4a+5L=9c,

abλ∖ab

b4/714

当且仅当2=丝且一+—=1,即α=31=6时等号成立,

abab

因为关于，的不等式4+82/+5/+3恒成立，

所以92∕+5r+3,解得-6YW1,

所以rw[-6,l].

故选:A

TT

9.已知函数/(x)=αsi∏69x+COSs：3>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为一，且

2

/(θ)+∕(-)=3,为了得到函数g(x)=sin<yχ-&cos0>x的图象，只要把f(χ)图象上所有的点

6

πTT

A.向左平移一个单位长度B.向右平移一个单位长度

44

7171

C.向左平移一个单位长度D.向右平移一个单位长度

22

【答案】B

【解析】

T7ΓTIL

[分析]根据对称轴之间距离得到一=一，求出周期,然后得到。=2；代入X=O和X=-求解出α=百:

226

再把/(x)和g(x)都整理成ASinwX+0)的形式，确定平移的方向和单位.

7ΓTJT

【详解】相邻对称轴之间距离为一=>-=-=T=乃

222

Clr2n.

即—=兀=G=2

ω

.八C.71Tt^-a+-=3=>〃=石

∙∙∙∕(θ)÷∕^-QSIno+cos0+asm——FCOS-=1+

3322

/(x)=V5sin2x+cos2x=2sin(2x+=2sin

=2Sin2(x--

g(x)=sin2x-ʌ/ɜ∞s2x=2sin2x—ʒ-

l6J

则一看-^⅞=^^9=>∕(χ)向右平移5个单位长度得到g(χ)

本题正确选项：B

【点睛】本题考查已知三角函数图像求解析式、三角函数平移变换的问题，易错点在于最终平移时，忽略

了左右平移只针对X的变化量，导致求解错误.

10.将正整数排列如下：

1

23

456

78910

1112131415

则图中数2022出现在()

A.第64行第5列B.第64行6列

C.第65行5列D.第65行6列

【答案】B

【解析】

【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判2022出现在第几列，得到答案.

【详解】每行的首个数字为：1,2,4,7,11-

4=1,4一。“T=〃-1

利用累加法：

〃一1)

-a+a

%=(a“-fl,,-∣)+(ɑ,ɪ-«rt_2)-i----∣-(α2ι)ι=∏-1+n-2-ι-----Fl=------计算知：

α64=2017,

数2022出现在第64行6列

故选：B

ɪɪ.已知双曲线C:♦一斗=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为"，B，焦距为4,点M在圆

E:f+y2+4x_8y+16=0上，且C的一条渐近线上存在点M使得四边形OMN写为平行四边形，0

为坐标原点，则C的离心率的取值范围为()

A.[2,+∞)B.[百,+∞)C.[4,+∞)D.(1,百]

【答案】A

【解析】

b

【分析】设双曲线的一条渐渐近线方程y=-χ,设出M点坐标，求出M8中点坐标B,建立方程进行转

a

化求解即可.

【详解】由题意，设双曲线一条渐近线方程为y=2χ,因为E:/+y2+4x-8y+i6=0,

a

所以点M在圆E:(x+2『+(y—4)2=4上，设"(x0,九)，则2≤%≤6,四边形OMNG为平行四边

形，令ONCMF2=B,

则”中点坐标为5(空代入渐近线方吟宇音，即/恭,

,・./_]=(为)2_%_)'o______3⅛_____

XO+2(%o+2)~4-(%-4)——yj+8y0-12

1

211

设f==1，贝IIfeɪ,ɪe~l=

，则-⑵FiT2(TW

No62

ɪɪ

，-12(，-])~+]∈0,—,则e2—1∈[3,+8),解得e∈[2,+8),

6,2

故选：A

12.设/(x)是定义在R上的函数，若/(x)+f是奇函数，/(x)-X是偶函数，函数

/∖f∕(χ),χ∈[o,ιl,

g(x)=C/7、，则下列说法正确的个数有()

[2g(x-l),x∈(l1,+05),

⑴当x∈[2,3]时，^(x)=-2(x-2)(x-3)

⑵gP⅛T=2i(壮M)

7

(3)若g(m)≥2,则实数”的最小值为5

(4)若〃(x)=g(x)-MX-2)有三个零点，则实数4=-，

6

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】由f(x)+x2是奇函数，/(x)-x是偶函数，得/(幻=x—χ2,再依据

/(x),x∈[0,11,/、

g(x)=Y/Z、作出函数g(χ)的图像，再逐项判断即可

[2g(x-1lλ),x∈(1l,+e),

【详解】因为/(x)+X2是奇函数，/(x)-X是偶函数，

f(-x)+X2=-/(%)—X2,

所以*j,解得/(X)=Aχ2,

./(-%)+%=/(%)-X

由g(x)=["/:叫

[2^(x-l),x∈(l,+∞),

当x∈(l,2)时，g(x)=2g(x-l),贝∣Jx-l∈(O,l),所以g(x)=2g(x-l)=2∕(%-l),

同理:当x∈(2,3)时,g(x)=2g(%—l)=4g(x-2)=4∕(%-2),

以此类推，我们可以得到如下g(x)的图象：

对于⑴：根据上述规律，当x∈(2,3)时，g(x)=4∕(x-2)=4[x-2—(x—2)2]=—4(x—2)(x—3),

故(1)错误；

对于(2)：根据图象，—^-(⅛∈N+)刚好是相邻两个自然数中间的数，

则g(C)∕eN+)刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得gK1∙)=2*τ∕∈Z),故

(2)正确;

对于⑶：根据图象，当xe(3,4)时g(x)=8(—V+7x_i2),gg)=2由图像可得⑶正确；

对于(4):〃(X)=g(x)-M%-2)有三个零点，

等价于函数g(x)与函数y=%(x-2)有三个不同的交点，设A(2,0),则函数y=Z(x-2)的

图象为恒过点A的直线，如图所示.

当函数y=Z(x-2)与g(x),Xe(0,1)相切的时候，有三个交点，

ɪ-θɪ

相切时斜率左小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为4-=

1-26

2

故MX)=g(x)-左(％-2)有三个零点，％<-，，故(4)错误.

6

说法正确的个数为2.

故选：B.

【点睛】思路点睛：根据函数奇偶性的定义，解出/(x),再依据g(x)的函数特征，作出函数g(x)的图

像，由图像研究相关性质.

第∏卷(非选择题共90分)

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

x>01

13.命题八，命题4：一>0,则"是q的__________条件.

y>0孙

(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)

【答案】充分不必要

【解析】

【分析】先解」->0,然后根据条件判断即可.

孙

【详解】因为：x>0x<0

ql>>0=><C或.

孙[y>0y<0'

%>0

而P：,

y>o

所以"是《的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

14.设点P为抛物线无2=4y上到直线2x-y-6=0距离最短的点，且在点P处的切线与X轴和y轴的交

点分别是M和N，则过M,N两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为.

【答案】4

【解析】

【分析】在P处的切线与直线2x-y-6=0平行，利用导数求出P点坐标和切线方程，得",N两点坐标,

以MN为直径的圆为所求最小圆，利用垂径定理求弦长.

【详解】设切点为P(∕,为)，根据题意可知在尸处的切线与直线2x-y-6=。平行,

则/=ɪʃ,所以2=gx0,得Xo=4,所以y0=4,因此P(4,4),

可得切线方程为2x-y-4=0,从而"(2,0),N(0,4),

则过M,N两点的最小圆，以MN为直径,方程为(x-l)2+(y+2)2=5,

抛物线的准线方程为N=-1,利用垂径定理可得圆截抛物线的准线所得的弦长为2j==4.

故答案为：4

15.某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(IlO,IO?),从中抽取一个同学

的数学成绩4,记该同学的成绩90<JWl10为事件A,记该同学的成绩80<q≤100为事件8,则在A

事件发生的条件下8事件发生的概率尸(Ba)=.(结果用分数表示)

附参考数据：P^μ-σ<X<χ∕+cr)=0.68；P(μ-2σ<X<∕z+2cr)=0.95；

P(μ-3σ<X≤χ∕+3σ)=0.99.

【答案】—

【解析】

/、/、ZIXP(AB)

【分析】计算出P(AB)和P(A),然后利用条件概率公式可得出P(BlA)=-^帚的值.

【详解】由题意可知〃=HO,。=10,事件Aβ90<g≤100,Q90=χ∕-2σ,100=χ∕-σ,

所以，P(AB)=P(90<J≤100)=

_P{μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤χ∕+σ)_0.95-0.68_27

~2—2-200，

P(A)=P(90<4≤110)=P(〃-2y≤")=q---------------------z=->

由条件概率公式得P(3∣A)=?得ɪ=爵•答=!|，故答案为京∙

【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布3cr原则计算概率，解题时要将相应的事件转

化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.

b

16.当〃>0时，若不等式lnx<^χ2+灰一1恒成立，则一的最小值是.

【答案】—

e

【解析】

【分析】先将不等式转化为生出《办+8,进而转化为/(X)=@上ɪ图像恒在g(x)=以+2图像

XX

b1

的下方，求出两个函数的零点，比较两个函数的零点得到一≥~,

ae

且当g(x)=αr+人恰为/(χ)在Xj处的切线时取得最小值，即可求解.

e

【详解】由题意知：X>O,由InX≤α√+汰一1可得见匕l<αt+b,即不等式风匚口≤*+匕恒成

XX

、A/»/、InX+1..

乂，令/(x)=--------,g(x)=0r+0,

X

易得g(x)为斜率大于0的一条直线，g(-2)=0;二-(InX+1)_Tn%,当χ∈(0,ι)时,

a∑2―^~^2~

/(x)>0"(X)单增,

当Xe(I,”)时，f(x)<O,∕(x)单减，又/(1)=0,要使不等式犯二tl≤αx+。恒成立，必有g(χ)

的零点与/(X)的零点重合

或者在/(X)的零点左侧，如图所示：

故有一2≤!,解得2N-J∙,当且仅当g(x)=or+力恰为F(X)在X=J处的切线时取等，此时

Qeaee

/(X)=里出•的图像恒在g(x)=ax+h图像的下方，

X

即满足生土口<以+力恒成立，即InX≤依2+区—1恒成立.又/(1)=e?,故/O)在X=L处的切线方程

Xee

为y=e2(x-1)=e2%-e,

e

即〃=，,/?=—e时，2取得最小值一！.

ae

故答案为：.

e

三、解答题：(本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.如图，在四棱锥P—ABC。中，侧面PAQ为等腰直角三角形，底面ABa)为直角梯形，ABYAD,

BCHAD,PA=PD=PC=26，AD=2ABɪ2BC,。为AO的中点.

P

（1）求证：PO±CD;

（2）求平面PAr）与平面PcD所成的锐角二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵立.

3

【解析】

分析】（1）由勾股定理证明POLOC,再由PoIAQ得出Pol平面ABCQ,进而证明POj_8；

（2）以点。为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出平面E4。与平面PCo所成的锐角二面角的余弦值.

【小问1详解】

连接。C,由Q4=PD,。为AD中点，得PoIAr>,

又•••四边形ABa）为直角梯形，BCHAD,AD=2BC,

所以AO//BC,AO=BC,则四边形AoCB是平行四边形，

OC=AB,

在Z∖P0C中，pc=2√∑,PO=^AD=2,OC=AB=[AO=2,

则PC2=PO2+OC2,则POlOC,

又ADU平面ABC。，OCU平面ABCr）,ADOC=O,

：.Pol平面ABCO,

又C£>U平面ABCO,PO_Lcr>.

【小问2详解】

由（1）可得。C,OD,QP两两垂直，以点。为坐标原点，分别以OC，OD，OP

方向为％Xz轴正方向，建立如图空间直角坐标系.

ZJ

B

A(0,-2,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0),P((),0,2),

易知平面PAr)的法向量为加=(i,o,o),

设平面PCO的法向量为〃=(X,y,z),OC=(2,-2,0),OP=(O,-2,2),

n∙DC=O2x-2y=O

则即4取X=1,H=(1,1,1),

n∙DP=O-2γ+2z=0

m∙n_l×l+O+O_ʌ/ɜ

.*.cos(∕n,n)=

∖m∖∙∖n∖IxJl+1+13

故平面24。与平面PC。所成的锐角二面角的余弦值为立

3

18.在①tanA+tan8+G=GtanAtanB;@(c+a-⅛)(sinC-sinA+sinB)=αsinβ；

③GCSinB=6(CoSC+1)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在,ABC中,

内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_______.

(1)求角C;

(2)若的内切圆半径为且,6=4,求a—c.

2

【答案】(1)-

3

(2)-I

【解析】

【分析】(1)选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解,

选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；

(2)由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.

【小问1详解】

选择①：由已知得tanA+tan区=J)(tanAtanjB-I)，

SrCtanA+tanBr∑

所以tanC=-tan(zΛ4+B)=--------------------=√3,

1—tanAtanB

TT

在一ABC中，C∈(O,π),所以C=".

3

选择②：由已知及正弦定理得(c+a-⅛)(c-a+b)=ab,

所以"+/一/=。"所以COSC=巴」』~~-=

2ab2

TT

因为O<Cvπ,所以C=一.

3

选择③：由正弦定理可得J5sinBsinC=sinB(cosC+l),

又Be(O,兀)，所以SinB>0,则GSinC-COSC=1，

则2sin(c-2]=l,故Sin(C-∙^)=g.

ILrTt「.兀5πll∙.C兀兀

又因I为一二<C一二<——,所以C—二=:，

66666

π

解得。=7.

3

【小问2详解】

由余弦定理得C?=/+〃2一必=16+4一4〃，①

由等面积公式得g(α+h+c)r=SinC.

1√31.√3

即hπ一(zα+bf+c)xX——=-×4ya×——•

2222

整理得34=4+c,②

57

联立①②，解得a==,。=：,

22

所以Q-C=-I.

19.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的

机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量

逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：

年份20182019202020212022

编号K12345

企业总数量y(单位:千个)2.1563.7278.30524.27936.224

(1)根据表中数据判断，y=。+法与y=ce^(其中e=2.71828…为自然对数的底数)，哪一个回归方

程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？(给出结果即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的结果，求y关于X的回归方程；(结果精确到小数点后第三位)

∑jχiyi-^y

附：线性回归方程a=晟+4中，b=-^ι---------,a=y-bx

V"19—2

工石一〃X-

Z=I

.5_1__1

参考数据：$=lny，ZXiZj=40.457,ZXj=55,X=WZx；=3,Z=WZZj=2.196

∕=ιz=ι5i=ι5i=i

(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三

家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与

未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，

该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为g,甲胜丙的概率为

|,乙胜丙的概率为g,请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最

大？

［答案］(1)y=ce也