2023年上海市16区数学中考二模汇编9 解答题第23题（几何证明）含详解

专题09解答题第23题（几何证明）（16区）

1.（2023•上海杨浦•二模）已知：在直角梯形ABCQ中，AD/∕BC,ZA=90o,z∖AB3沿直线3。翻折，点A恰

好落在腰Cz）上的点E处.

⑴如图，当点E是腰的中点时，求证：45CD是等边三角形；

⑵延长BE交线段AZ）的延长线于点F,连接CF,如果CE2=DE∙Z）C,求证：四边形ABCF是矩形.

2.（2023•上海浦东新•统考二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,过点8作BEi.4）,垂足为点E,

点G在边AO上，连接BG、CG,对角线AC与8E、BG分别交于点尸、H,且A£8G=AF∙BE.

⑴求证：BGLAC,

（2）如果NZ）GC=2NDCG,且OC是。G与D4的比例中项，求证：四边形45CG是菱形.

3.（2023•上海松江・统考二模）如图，已知正方形ABCZ）,E、尸分别为边CD、AZ）的中点，AE与8尸交于点

M,DNLAE,垂足为点N.

⑴求证：AM=MN；

⑵连接BE,求NMeE正弦值.

4.（2023•上海金山・统考二模）如图，已知JIBC是等边三角形，过点A作。E〃BCCDE<BC）,3,DA=EA,

联结30、CE.

⑴求证：四边形QBCE是等腰梯形；

⑵点F在腰CE上，联结跖交AC于点G,若CF?=GFBF,求证：CG=^DE.

5.（2023•上海嘉定•统考二模）如图，已知CE、CF分别是NAC5和它的邻补角NACO的角平分线，AEYCE,

垂足为点E,AF//EC,连接EF,分别交A3、AC于点G、H.

A

⑴求证：四边形AEC尸是矩形；

(2)试猜想GH与BC之间的数量关系，并证明你的结论.

6.(2023・上海宝山•统考二模)如图，四边形ABCO中，AD/∕BC,AC,BD交于点O,OB=OC.

⑴求证：AB=CD;

(2)E是边BC上一点，连接£>E交AC于点F,如果AO^=O尸∙OC,求证：四边形ABED是平行四边形.

7.(2023•上海徐汇•统考二模)如图，已知：。是「ABC的外接圆，连接Ao并延长交边BC于点。，连接OC,且

DC2=ODAD.

A

⑴求证：AC=BC；

⑵当Λβ=AL＞时∙，过点/作边BC的平行线，交O于点E,连接OE交AC于点E请画出相应的图形，并证

明：ADAE=BCEF.

8.（2023・上海静安•统考二模）如图，在矩形ABa）中，点P是边5C的中点，。是一期。的外接圆，。交边

AB于点E.

⑴求证：PA=PD-,

⑵当AE是以点。为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP-

9.（2023•上海闵行•统考二模）如图，在扇形AOB中，点C、。在AB上，AD=CB，点、F、E分别在半径。4、

OB上，OF=OE,连接DE、CF.

⑴求证：DE=CF;

⑵设点尸为CZ）的中点，连接C£＞、EF、PO,线段P。交S于点“、交EF于一点、N.如果尸O〃DE,求证：四

边形MNED是矩形.

10.（2023・上海黄浦・统考二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD的延长线上，作AFLAE,

且A尸=4E,连接BF.

⑴求证：BF=DE-,

RFAD

⑵延长AB交射线所于点G,求证：-ɪ-

11.（2023・上海崇明・统考二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E,M是边E）C延长

线上的一点，联结A”,与边BC交于F,与对角线8。交于点G.

D

M

⑴求证：AG2=GFGM；

⑵联结CG,如果NB4G=/3CG,求证：平行四边形ABCD是菱形.

12.（2023上海青浦二模）（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图7,在平行四边形ABCD中，已知8。平分/ABC,点E在边Be上,联结AE交BD于点F,且AB?=BF∙BD.

（1）求证：点F在边AB的垂直平分线上；

（2）求证：AD-AE=BE-BD.

图7

13.（2023上海奉贤二模）（本题满分12分，每小题满分6分）

已知：如图8,在菱形/88中，AELBC,AFLCD,垂足分别为£、F,射线斯交的延长线于点G.

（1）求证：CE=CF;

（2）如果RG2=AG∙OG,求证：—.

AEBE

ADG

E

图8

14.（2023上海虹口二模）（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图9,在梯形ABcD中，AD∕∕BC,AB=CD,点E为8C延长线上一点，

ZADB=ZCDE,点F在8。上，联结CF.

（1）求证：ADDE=AC-DC-.

（2）⅛MADCE=DF-DB,求证：四边形DFCE为梯形.

图9

15.（2023上海普陀二模）（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

已知:如图9,四边形/8CZ）中，ABHCD,ZBAD=Wo,对角线/C、8。相交于点

O,点£•在边BC上，AELBD,垂足为点F,AB∙DC=BFBD.

（1）求证:四边形/8。为矩形；

⑵过点O作OG_LNC交AD于点G,求证:EC=IDG.

图9

16.（2023上海长宁二模）（本题满分12分，第（1）小题6分；第（2）小题6分）

如图1,点£、P分别在正方形ABCr）的边A。、ABh,

CE与DF交于点、G.已知AE+AF=A6∙

（1）求证：CE上DF；

（2）以点G为圆心，GO为半径的圆与线段交于点H,

点P为线段3”的中点，联结CP,如图2所示，求证：NBCP+NDCE=NECP.

（图1）（图2）

专题09解答题第23题（几何证明）（16区）

1.（2023•上海杨浦•二模）已知：在直角梯形ABCQ中，AD/∕BC,ZA=90o,z∖AB3沿直线3。翻折，点A恰

好落在腰Cz）上的点E处.

⑴如图，当点E是腰的中点时，求证：45CD是等边三角形；

⑵延长BE交线段AD的延长线于点F,连接CF,如果C炉=DE∙DC,求证：四边形ABCF是矩形.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）由垂直平分线的性质得到/汨=BC,通过折叠、等边对等角、平行线的性质得到

NBDE=ZC=ZADB=60°,从而证明八BCD是等边三角形；

（2）过点。作JDHJLBC于，，得到四边形Aβ∕"）是矩形，从而AD=BH,AB=DH,再由折叠得到角之间的关

系从而证明，8CE四QC”,得到。C=8C,CE=CH-,由4）〃BC得到/DESBC£,进而建=经，结合已

DEDF

知条件C£2=OEOC得到=CE=C77,进一步得到A尸二BC,所以四边形ABe厂是平行四边形，又

ZΛ=90o,所以证明得到四边形ABC厂是矩形.

【详解】（1）由折叠得：ZADB=ZBDE,ZA=/DEB=90。

团点E是腰C。的中点

团3E是。C的垂直平分线

.∖DB=BC

ZBDE=ZC

."BDE=ZC=ZADB

AD//BC

/.ZADC÷ZC=180°

:/BDE+NC+ZADB=180°

.∙./BDE=ZC=ZADB=60°

「.△88是等边三角形

（2）过点。作O""L8C’垂足为H,

D

.∙.ZDHB=ZDHC=90o,

o

AD//BCfZA=90,

ZABC=180°-ZA=90o,

团四边形48”。是矩形，

ΛAD=BH,AB=DH,

由折叠得：ZA=NDE8=90。，AB=BE,

ZBEC=1800-Z.DEB=90o,DH=BE,

/BEC=NDHC=90°,ZBCE=ZDCHf

.uBCEADCH(AAS),

.∖DC=BC1CE=CH,

AD//BC9

/.ZDFE=ZEBC9ZFDE=ZECB9

.；FDEs_BCE,

CCEBC

ι2J-,

DEDF

CE2=DE-DC,

CEDC

：.——=-----,

DECE

.BCDC

'~DF~'CEf

：.DF=CE,

..CH=DFf

AD+DF=BH+CH,

:.AF=BC9

团四边形ABC尸是平行四边形，

ZA=90o,

团四边形ABeF是矩形.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边三角形的判定，矩形的判定.相似三角形的判定与性质，图中角和线

段的转化是解题的关键.

2.(2023・上海浦东新•统考二模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,过点8作BELAD,垂足为点E,

点G在边AO上，连接BG、CG,对角线AC与BE、BG分别交于点RH,且AEBG=AFBE.

A

(1)求证：BG±AC;

(2)如果NZ)GC=2NDCG,且DC是DG与DA的比例中项，求证：四边形ABCG是菱形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据AE∙BG=AF∙BE,得出短=三三，根据勾股定理和比例的性质，得出短=M=证明

BEBGBEBGEG

AEFSBEG,得出NE4尸=NEBG,根据/E4尸+ZAFE=90。，得出NEBG+NB"/=90°,即可求证；

(2)根据OC是。G与ZM的比例中项，ʒ=-,推出,ADCsCQG,则NoCG=NZMCZDGC=N。CA,

DCDA

根据A£>〃BC,得出NZ>CA=N8CG,进而得出Nz)CG=N4CG=N5C4=/D4C,则AG=CG,由(1)可得

BGVAC,则BG垂直平分AC,AC垂直平分BG,即可求证.

【详解】（1）证明：^AEBG=AFBE,

CAEAFAE2AF2

13——=——,贝mιIlJ-------=--------,

BEBGBE2BG2

根据比例的性质可得："■="『AE：

BE2BG2-BE2

AD,

12NAfF=NBEG=90°,

22

mAEEF

?eF=EGy,

图里=七L空，则空="=空

BE2BG2EG2BEBGEG

团AEFSBEG,

ZEAF=ZEBG9

^BE-LAD,

0ZE4F+ZAFE=9Oo,

⑦ZBFH=ZAFE,

⑦NEBG+NBFH=90°,则NBH/=90。，

^BG1AC;

(2)证明：团。。是OG与ZM的比例中项，

DGDC

团----=-----,

DCDA

又回NAZ)C=NCDG,

机ADCScDG,

团ZDCG=ZDAC,ZDGC=ZDCA,

^AD//BC9

国ZDGC=/BCG,则NoC4=NBCG,

国/BCA=/DCG,

国NDGC=2NDCG,

⑦ZDCA=2ZDCG,

^ZDCG=ZACG=ZBCA=ZDACf

0AG=CG,

由(1)可得3G"LAC,

回BG垂直平分AC,

国ZACB=ACG,

回由内角和定理可得NCBG=ZCGB,

QCB=CG,

回AC垂直平分BG,

GI四边形ABCG是菱形.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质，解

题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质.

3.(2023・上海松江•统考二模)如图，已知正方形A8CD,E、尸分别为边C。、AO的中点，AE与BF交于点、

M,DNlAE,垂足为点N.

(2)连接BE,求NMBE正弦值.

【答案】⑴见解析

（2）1

【分析】（1）证明ABF"DAE,进而得出BFLAE,则FM〃口N,根据平行线分线段成比例即可得证;

（2）根据NNDE=NDAN得出NE=；DN,设NE=a,则DN=24,EC=DE=S,在Rt_BCE中，

BE=√5EC=5«,进而根据正弦的定义即可求解.

【详解】（1）证明：SI四边形ABa）是正方形，

SAB=CD=DA,NBAF=AADE,

ISE、E分别为边C。、AD的中点，

0AF=DE,

HlΔABF^∆DAE（SAS）,

ZDAE=ZABF,

o

^ADAE+AEAB=ADAB=^f

o

^ZABF+ZEAB=90f

团NAME=90。,

即AMJ_3/，

^DNIAEf

0FM〃DN,

AFAM

0----=

FD~MN

=MN；

（2）解：如图所示，连接BE,

又回AM=MV,

⑦DN=LAN=MN,

2

团ZNDE+ZADN=ZADE=90o,ZADN+ZDAN=90°,

自小DE=/DAN,

NF1

0tanZNDE=——=-,

DN2

团NE=LDN,

2

设NE=a,则OV=2α,

在RlDEN中,DE=&,

0ME=MN+NE=3a,

^EC=DE=-βa,

在RL.BCE中，BE=小EC=5a,

ME3。_3

回sinNMBE=-----

BE5^^5

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，正切的定义，求角的正弦值，熟练掌握是正方形

的性质以及三角函数的定义解题的关键.

4.（2023•上海金山•统考二模）如图，己知一A8C是等边三角形，过点A作。E〃3C（£>E<BC）,且ZM=E4,

联结80、CE.

⑴求证：四边形OBCE是等腰梯形；

（2）点F在腰CE上，联结M交AC于点G,若CF?=GFBF,求证：CG=DE.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到-AB虑JlCE,继而得到BD=CE进行证明即可；

（2）将等积式化为比例式，利用两边成比例且夹角相等的三角形相似得到_CFGS_5尸。，即/用C=NAeE,进

而得到°CBG经一ACE进行证明.

【详解】（1）解：SABC是等边三角形，

SZAfiC=ZACB=60o,AB=AC=BC,

又回Q£〃8C,

0ZZMB=ZABC=ZACB≈ZC4E≈60°,

^DA=EA

团ABD^ACE

⑦BD=CE

⑦DE〃BC(DEvBC)

团四边形03CE是等腰梯形；

2

(2)证明：^CF=GFBFf

CFBF

团---=---，

GFCF

又团NBFC=NCFG,

国一CFGSBFC

团NFBC=NACE,

o

又团AC=BC,ZACB=ZCAE=60f

⑦OG-ACE

^CG=AE

又ZM=E4

^CG=-DE

2

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌

握全等三角形的判定定理是解题的关键.

5.（2023・上海嘉定・统考二模）如图，已知CE、C尸分别是NACB和它的邻补角/ACD的角平分线，AELCE,

垂足为点E，AF//EC,连接£7L分别交A3、AC于点G、H.

⑴求证：四边形AEC尸是矩形；

⑵试猜想G”与BC之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】⑴见解析

{2}GH=^BC,理由见解析

【分析】（1）由CE、CF分别是胡CB和它的邻补角EWCD的角平分线可得/ECF=90。，由A尸〃EC可得

NAFC=90。，再由于AE_LCE,根据有三个角是直角的四边形是矩形可得证；

（2）根据矩形的对角线相等且互相平分可得点H是AC的中点，HF=HC,得到NEFC=NAe户，由于

Z-ACF—/.DCF,故/EFC=NFCD,所以E尸〃BD,得到一AG”s_ABC,进而得到>=A>=7∙

BCAC2

【详解】（1）,CE,CQ分别是NACB和NAa）的角平分线，

ΛZECA=-ZACBZACF=-ZACD,

212

o

ZACB+ZACD=ISOf

:.ZECA+ZACF=-（ΛACB+ZACD）=90°,

2

/.ZECF=90°,

,AF//CE9

:.ZAFC=NECF=90。,

AELCEf

/.ZΛEC=90o,

••・四边形AEC/是矩形.

（2）,四边形AEb是矩形，

HC=HF,

..ZHCF=ZHFCf

：.CF是ZACD的角平分线，

.∙.ZHCF=ZFCD,

..ZHFC=ZFCD9

:.EF〃BD,

.∖∆AGH^∕∖ABCf

GHAH

*BC^AC,

四边形AEb是矩形，

.∙.AH=-AC

2f

GH=-BC.

2

【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形相似的证明与性质.熟练运

用矩形的判定与性质是解题的关键.

6.（2023・上海宝山•统考二模）如图，四边形43CO中，AD/∕BC,AC、BD交于点O,OB=OC.

⑴求证：AB=CDi

⑵E是边3C上一点，连接OE交AC于点凡如果AO?=OF∙OC,求证：四边形ABEr)是平行四边形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)由平行线的性质证明ND40=NAZ)O,推出AC=3。，再证明AACB四ADBC(SAS),即可证明

AB=CD;

（2）由AO?=。尸∙OC推出坐=算，等量代换得¥=笑，利用相似三角形的判定定理推出

OFAOOFOD

△AOBSNOD,证明NABO=NOD/，据此即可证明结论.

【详解】（1）证明：ΞOB=OC,

⑦NoBC=NOCB,

^AD//BC9

团NDAO=NOCB,ZADO=NOBC,

ZDAO=ZADO,

^OA=OD9

0AC=BD,

AC=BD

在AACB和AOBC中，＜/ACB=/DBC,

BC=CB

△ACS丝ZXOBC（SAS）,

国AB=CD；

（2）证明：由（1）知，OA=ODfOB=OC,

2

^^AO=OFOC9

AOOCAOOB

0——=——，BππP——=——,

OFAOOFOD

又团/AOB=NDOF,

团AAOBs公FoD,

0ZABO=ZODF,

^DE∕∕AB,

^AD∕/BC,

图四边形ABE。是平行四边形.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性

质，证明aAOBs△尸OD是解题的关键.

7.（2023•上海徐汇•统考二模）如图，已知：。是一45C的外接圆，连接A。并延长交边BC于点。，连接0C,且

DC2=OD-AD.

⑴求证：AC=BC;

⑵当AB=A。时，过点/作边BC的平行线，交。于点E,连接。E交AC于点E请画出相应的图形，并证

明：AD-AE=BC-EF.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）先证明LDoCS_Dc4,再证明NACO=NZ）C0,如图，延长CO交AB于”，结合垂径定理与等腰三

角形的判定可得结论；

（2）如图，补全图形如下：结合（1）^ZACO=ZDCO=ZOAC=x,再证明NE4尸=ZAe8=2x,

NEAo=ZADB,ZAEF=ZABC,可得..AEFsCfiA,结合相似三角形的性质可得结论.

【详解】⑴证明：SDC2^OD-AD,

DCAD

团---=---，

ODDC

0/0DC=NCDA,

"DOCsDCA,

国NDoC=ZACD,ZDCO=ZDACf

I?）ZDOC=ZOAC+ZOCA,OA=OCf

团NOAC=NOc4,

回NACo=NOCO,

如图，延长C。交AB于“，

A

AH=BH

^CHYABt

团结合三角形的内角和定理可得：ZCBA=ZCABf

如图，补全图形如下：结合（1）设NACO=/OCO=NaIC=',

^AE//BC,

ZEAF=ZACB=2χfNEAo=ZADB,

AC=BCfAB=ADf

o

^ZCAB=ZCBA=90-x=ZADB=ZEAOf

IDQA=OE,

o

ZOAE=ZAEO=90-X9

0ZAEF=ZABC,IfijZEAF=ZACBf

⑦AEFS..CBA,

AEEF

β⅛=君’而止皿

AE.AD=BC-EF.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，垂径

定理的应用，熟练的证明三角形相似是解本题的关键.

8.（2023・上海静安・统考二模）如图，在矩形ABCO中，点P是边BC的中点，，。是二期。的外接圆，。交边

AB于点E.

⑴求证：PA=PD-,

⑵当AE是以点。为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP-

【答案】⑴证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则一AfiP=_DCP,根据"全等三角形的对

应边相等"得到PA=PD

（2）连接OE,OD,OP,并延长尸。交49于点"，先证明OP〃AB,再根据"有一个角是60的等腰三角形

是等边三角形"得到ZXAOE为等边三角形，然后根据"两直线平行，内错角相等”得到/EOP=NAEO=60,则

NAOE=/EOP=6。，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”得到AE=EP.

【详解】（1）四边形A8CZ）是矩形，且点P是边BC的中点，

.-.AB=DC,NB=NC,BP=CP,

在,.ABP和一E）CP中，

BP=CP

，NB=NC,

AB=DC

0ABPmDCP(SAS),

.-.PA=PD-

（2）证明：如图，连接。4,OE,OD,OP,并延长P。交A。于点M,

四边形ABCZ）是矩形,

12/840=90°

^OA=OD,PA=PD,

12点尸、。都在线段Ao的垂直平分线上,

5）尸。垂直平分A。，

ENDMP=90°=ZBAD,

：.OP//AB,

AE是以点O为中心的正六边形的一边，

二由正六边形性质可得∣3NA0E=60,

^OA=OE,

：.AOE是等边三角形，

.∙.4EO=60

又OP//AB

:.ZEOP=ZAEO=6Q,

.∙.ZAOE=ZEOP=ω,

.∙.AE=EP-

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的

判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键.

9.（2023・上海闵行•统考二模）如图，在扇形AOB中，点C、。在AB上，AD=C8，点尸、E分别在半径。4、

OB上，OF=OE,连接。E、CF.

⑴求证：DE=CF;

⑵设点尸为CO的中点，连接C。、EF,PO,线段P。交C。于点”、交EF于点、N.如果PO〃£>E,求证：四边

形MVED是矩形.

【答案】⑴见详解

⑵见详解

【分析】（1）由题意易得AC=BD,则有/FOC=NEOD,然后可证AROCg,.EOD,进而问题可求证；

（2）由（1）可知：AC=BD,DE=CF,然后可得扇形AOB关于OP对称，则有EFCD,进而问题可求证.

【详解】（1）证明：0AD=CB-C。是公共弧，

∣≡AC=BO,

QNFOC=NEOD,

00F=OE,OC=OD,

0FO(WEOD(SAS),

SlDE=CF；

(2)解：如图所示：

由（1）可知：AC=BD,DE=CF,

囱点尸为C。的中点，

同PC=PD,0PLCD,

圈扇形AoB关于。尸对称，

回ZONE=ZOMD=90°,

⑦EFCD,

PO//DE,

回四边形MNfD是平行四边形，

0ZOMD=90°,

回平行四边形MVEo是矩形.

【点睛】本题主要考查垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定，熟练掌握垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定

是解题的关键.

10.（2023・上海黄浦・统考二模）已知：如图，在正方形ABC£＞中，点E在对角线5。的延长线上，作AF_LAE,

且AF=AE,连接BF.

(1)求证：BF=DE;

RFAD

⑵延长AB交射线EF于点G,求证：

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)由正方形的性质可得N84D=90°,AB^AD,再由AZEAF=90°,可得

ZBAF=NEAD,则'4拔/4)E(SAS),根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质及补角的性质可得ZAQE=ZAFG=I35,再由NEAD=NBA尸,

r)pΔΠ

推出ADE^AFG根据相似三角形的性质可得)=大，由八43ZXAD石，等量代换，即可得出结论；

fFGAF

【详解】(1)证明：四边形ABCQ是正方形，

o

ZBAD=90,AB=AD9

AFLAE9

二.ZE4F=90o,

ZBAD-ZFAD=ΛEAF-ZFAD,

ZBAF=ZEADf

又AF=AE,

:.ABF^t.ADE(SAS)

BF=DE.

(2)证明：如图，延长AB交射线放于点G,

o

AF=AEfZE4F=90,

∙∙∙ZAFE=ZAEF=45°9

四边形ABC。是正方形，

∙∙ZADB=NBDC=45°,

••ZADE=ZAFG=135,

由（1）知ZEAD=NS4F,

.∙.ADESAFG,

DEAD

.∖----=-----,

FGAF

又∆ABF^∕∖ADE

DE=BF,AF^AE,

,BFAD

''~FG~~AE'

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键.

IL（2023∙上海崇明•统考二模）已知：如图，在平行四边形ABCo中，对角线AC、BD交于E,"是边OC延长

线上的一点，联结AM,与边BC交于F,与对角线BO交于点G.

⑴求证：AG2=GFGM；

（2）联结CG,如果Nβ4G=N8CG,求证：平行四边形ABc。是菱形.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）证明.AGBS一〃G。，得到空=笠，证明.AGX∕G8,得到g=当，进而得到

GMGDGAGD

学=*,即可得证;

GAGM

（2）证明一CGFS,MGC,推出AG=CG,进而得到BOLAC,即可得证.

【详解】（1）证明：回平行四边形AB8,

^AD//BC,AB//CD,

⑦AGBSMGD,一AGD^一FGB,

AGBGFGBG

团---=---9----=-----

GMGDGAGD

FGAG

0—=

GAGM

^AG2=GFGM；

(2)证明：^∖AB∕∕DM,

团NBAG=NCMG,

⑦NBAG=/BCG,

⑦/CMG=NBCG,

回NMGC=NCGF,

机CGFS一MGC,

CCGFG

回---=---，

MGCG

^CG2=MG-FG,

^AG2=GFGM,

SAG=CG,

圈平行四边形ABC。中，对角线AC、BD交于E,

SlAE=EC,

S1GE1AC,即：BD±AC,

回平行四边形43C3是菱形.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定.本题

的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似.

12.（2023上海青浦二模）（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图7,在平行四边形ABCD中，已知BD平分NABC,点E在边BC上,联结AE交BD于点F,且=叱.8。.

（1）求证：点F在边AB的垂直平分线上；

（2）求证：AD-AE=BEBD.

图7

证明：（1）在平行四边形A8CD中，AD//BC.：.ZADB=ZCBD.......................................（1分）

：8D平分NABC.ΛZABD=ZCBD.：.ZADB=ZABD.........................（1分）

VAB2=BFBD,：.包=尤...............................................................（1分）

BDAB

又「NABD=NFBA（公共角），Λ∕∖ABF^∕^DBA...................................（1分）

ΛZFAB=ZADB.............................................................................................（1分）

.".ZFAB=ZABD.

.∙.AF=8F..........................................................................................................（1分）

•••即点F在边AB的垂直平分线上.

（2）由上题可知/∕¾8=NCBD,...........................................................................（1分）

又NBEA=NFEB（公共角），Λ∕∖BEASAFEB.....................................（1分）

・BEBF

••-----=（1分）

AE~AB

..ABBF・ABBE

•------••-----=（1分）

BD布.BD~AET

VZADB=ZABD.:.AB=AD.（1分）

ʌ=gpADAE=BE∙BD.（1分）

BDAE

13.（2023上海奉贤二模）（本题满分12分，每小题满分6分）

已知：如图8,在菱形/8CD中，AELBC,AFLCD,垂足分别为E、F,射线瓦■交的延长线于点G.

（1）求证：CE=CF;

（2）如果尸G2=AG∙OG,求证：—=—

AEBE

图8

解：（1）：四边形ABCD是菱形，；.AB=AD,ZB=ZADF.

'.,AE±BC,AF±CD,垂足分别为E、F,：.ZAEB=ZAFD=90°.

：.ΔABE=MDF.（3分）

BE=DF.（1分）

：四边形A8CD是菱形，.∙.BC=DC.

：.BC-BE=DC-DF,BPCE=CF.（2分）

DG

（2）•：FG=AGDG,：.—

AGFG

；NG=NG,Λ∆GDf^∆GM.：.NGFD=NGAF.（1分）

YAD//B3：.—=—

CFCE

：CE=CF,；.DF=DG..".ZGFD=ZG.（1分）

.'.ZG=ZGAF.

•：ΔABE^MDF,.".ZBAE=ZGAF.

.".ZBAE=ZG.

,:AD/∕BC,：.ZAEB=ZGAE.

∕∖AEGS^EBA.（2分）

,AGAE

AEBE

.AGAF

'：AE=AF,(2分)

"∑ε^BE

14.（2023上海虹口二模）（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图9,在梯形ABCD中，AD//BC,A8=CD,点E为BC延长线上一点,

ZADB=ZCDE,点F在8。上，联结CF.

(1)求证：ADDE=ACDC;

（2）AD-CE=DF-DB,求证：四边形DFCE为梯形.

解：（1）；在梯形A8CD中，AD//BC,AB=CD

.".^ADC^DAB

又：AD=AD,Λ∆4SD^∆DCA（2分）

.∙.EIDAC=MDB

"：ZADB=ZC