行列式的计算技巧和方法总结

./计算技巧及方法总结一、一般来说,对于二阶、三阶行列式,可以根据定义来做1、二阶行列式2、三阶行列式=例1计算三阶行列式解但是对于四阶或者以上的行列式,不建议采用定义,最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式下三角形行列式对角行列式二、用行列式的性质计算1、记住性质,这是计算行列式的前提将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若则.性质1行列式与它的转置行列式相等,即注由性质1知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2交换行列式的两行<列>,行列式变号.推论若行列式中有两行<列>的对应元素相同,则此行列式为零.性质3用数乘行列式的某一行<列>,等于用数乘此行列式,即第行<列>乘以,记为<或>.推论1行列式的某一行<列>中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2行列式中若有两行<列>元素成比例,则此行列式为零.性质4若行列式的某一行<列>的元素都是两数之和,例如,.则.性质5将行列式的某一行<列>的所有元素都乘以数后加到另一行<列>对应位置的元素上,行列式不变.注:以数乘第行加到第行上,记作;以数乘第列加到第列上,记作.2、利用"三角化"计算行列式计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若,则例3〔1〔第一、二行互换.〔2〔第二、三列互换〔3〔第一、二两行相等〔4〔第二、三列相等例4〔1因为第三行是第一行的倍.〔2因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若,则又.例6设求解利用行列式性质,有例7〔1〔2.例8因为而.因此.注:一般来说下式是不成立的.例9〔1,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.〔2,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.例10计算行列式.解先将第一行的公因子3提出来：再计算例11计算解例12计算解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2,3,4行同时加到第1行,可提出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的结果:例13计算解根据行列式的特点,可将第1列加至第2列,然后将第2列加至第3列,再将第3列加至第4列,目的是使中的零元素增多.例14计算解从第4行开始,后一行减前一行：三、行列式按行<列>展开〔降阶法1、行列式按一行<列>展开定义1在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式,记为,再记称为元素的代数余子式.引理〔常用一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除外都为零,则该行列式等于与它的代数余子式的乘积,即定理1行列式等于它的任一行<列>的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或推论行列式某一行<列>的元素与另一行<列>的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即或2、用降价法计算行列式〔常用直接应用按行<列>展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时,一般可先用行列式的性质将行列式中某一行<列>化为仅含有一个非零元素,再按此行<列>展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理〔一般少用定义2在阶行列式中,任意选定行列,位于这些行和列交叉处的个元素,按原来顺序构成一个阶行列式,称为的一个阶子式,划去这行列,余下的元素按原来的顺序构成阶行列式,在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标.注：行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行〔列展开的性质.定理2<拉普拉斯定理>在阶行列式中,任意取定行<列>,由这行<列>组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.例15求下列行列式的值:〔1〔2解<1><2>例16计算行列式解例17计算行列式解