天津市南开区2023届高三一模数学含解析

2022—2023学年度高三年级第二学期质量监测(一)

数学试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知全集U=R,集合A={1,2,3,4.5},5={X∣X<-∕X>2},则AC("B)=()

A.{1,2}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的补集和交集运算方法即可计算.

【详解】条B={x∣TWx≤2},A={1,2,3,4,5},

.∙.An(¾B)={1,2}.

故选：A

2.设α∈R,则"。(。-3)>0"是“4>3''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次不等式解法解出α(α-3)>0,再根据充分条件和必要条件的概念即可判断.

【详解】α(α-3)>O=α<O或a>3,

则”(α-3)>0；>3,α>3=α(α-3)>0,

所以“α(α-3)>0”是“α>3”的必要不充分条件.

故选：B.

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值，以及函数的变化趋向，即可判断选项.

【详解】函数的定义域为R,满足/(τ)=(-2x+sinx)"T=-f[x),

所以函数是奇函数，故排除B,

设g(x)=2x—sinx,(x>0),

g'(x)=2-cosx>0,所以g(x)在(0,+力)上单调递增，g(x)>g(0)=0,

2TM>0，所以当χ>0时，y=(2x-Sinx)-2刊>0，故排除D；

2YX

当x→+8时，^→-=--→0,故排除A

22

故选：C

4.某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：

[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),L85,90),L90,95],绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间

【答案】D

【解析】

【分析】运用所有频率之和为1求得。的值，再运用频率分布直方图中频数计算可得结果.

【详解】；(0∙05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)×5=l,

a=0.04)

Λl00X(0.06+0.04+0.03)×5=65(名)，

故选：D.

5.已知直线y=代-1与圆V+(y-i)2=i6相交于AB两点，则AB的长度可能为()

A.6B.7C.12D.14

【答案】B

【解析】

【分析】由直线过定点可知圆心到直线的最大距离，从而可判定相交弦的最小长度，而最大长度为直径,

可得结果.

【详解】由条件可知：直线丁="一1过定点圆心为(0,1),半径r=4,

如下图所示，则圆心到该直线的最大距离dmax=1-(-1)=2,而当该直线过圆心时，圆心到该直线的距

离最小为0：

由弦长公式可得：IA即=2√U一/式46同

故选：B

【点睛】本题考察直线与圆相交弦的取值范围，属于中档题.关键在于找出圆心到过定点直线的距离范

围，以及弦长公式要熟记.

6.已知e"=lg2,0=Ig(In2),C=Ing,则α,仇C的大小关系是()

A.c<h<aB.b<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

【答案】C

【解析】

［分析］先求出α=ɪn(Ig2),再根据对数函数的单调性结合中间量分别比较c和Ac的大小即可.

【详解】由e"=lg2,得α=ln(lg2),

因为ig2<igji6=;,

所以In(Ig2)<lng,即α<c,

因为J=lnʌ/e<ln2<1,所以一l<c=l∏L=-］n2<-L,

222

则Ig(In2)>lg；>lg2=一；,

乙√1V乙

所以Ig(In2)>ln^,即A>c,

所以α<cv∕>.

故选：C.

zr22

7.已知抛物线V=i6x上一点Am,“)到准线的距离为5,尸是双曲线、-会=1的左焦点，尸是双曲

线右支上的一动点，则IPFl+1PAl的最小值为()

【详解】将〃X)的图象向右平移ɪ个单位长度后得到g(x)=COS[⑺-等+(J的图象

16X2-24Λ+9,Λ≤1,

9.已知函数/(x)=<1,、则下列结论:

-/(%-l),x>l,

①/(")=9~,“wN*

②Vx∈(O,+Oo),/(尤)<L恒成立

③关于X的方程/(X)=加∈R)有三个不同的实根，则∣<m<l

④关于X的方程/(%)=9l^n(n∈N,)的所有根之和为1+；

其中正确结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知递推可判定①正确；根据函数的变换规律，只需证明0<龙≤1时，/(x)<g恒成立,

作差构造函数，求导结合g(；)=0,可判定②错误；作出函数的图形，结合图象，可判定③正确；结合每

个区间的对称轴，利用等差数列的求和公式，可判定④错误.

【详解】由题意知，=《/[〃—(〃—1)]=9~,所以①正确；

又由上式知，要使得∀xw(0,+8)J(X)<：恒成立，

只需满足0<x≤l时，AX)<，恒成立，即16χ2-24x+9<',

XX

即16X3-24X2+9x—1<O恒成立,

令g(x)=16X3-24X2+9x-l,x∈(0,l],则g'(x)=48x2-48%+9,

13

令g'(x)=O,解得X=I或无=a，

当XW(O,；)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

13

当xe(1/时，g'(x)<O,g(x)单调递减；

当Xe(I,+oo)时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

1fO=0/ɪvɪ

当X=W时，函数g(x)取得极大值，极大值g1%r'ʃtz)L`所以②不正确；

4

作出函数/(x)的图象，如图所示，

由图象可知，要使得方程/(x)=m(m∈R)有三个不同的实根，

则满足/(2)<m<"l),即』<〃2<1,所以③正确；

由/(x)=Jf(XT)知，函数/(x)在(〃，〃+1)上的函数图象可以由(〃一1，〃)上的图象向右平移一个单

位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的1倍得到，

9

33

因为y=16Y-24x+9的对称轴为x=“故/(x)=9°的两根之和为万，

同理可得：/(x)=9∣的两个之和为］+2,∙,/(x)=9""的两个之和为耳+2(〃一1),

3333

故所有根之和为万+(]+2)++[-+2(n-l)]=n2+-n,所以④不正确.

故选：B.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.

2+4i

10.i是虚数单位，复数

3-P

【答案】l+i##i+l

【解析】

【分析】根据虚数的性质，先计算i3=j2.i=—i，然后代入原式，利用复数的四则运算法则计算求解.

【答案】也

2

【解析】

【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得gG的面积，从

而求体积.

【详解】如图所示，由题意知，球心在底面BCG4的中心。上，故BG为截面圆的直径，

则g=2,BC=母,

取的中点连接AM,A0,CQ,

易知：底面BCC4中。“〃8B"。M=LBA=也，AM1BlCt,

22

则QW，面ABlG，即，AMO为直角三角形，由勾股定理可得：AM=y∣AO2-OM2=—,故

2

SARC=-×B.C.×AM=ɪ

所以V=Sλ,∖β叱∖c∖×BBI.=ɔ-

故答案为：也

2

14.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率为90%,乙厂

产品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为；若

在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.

943

【答案】□.0.18##—□.0.86##—

5050

【解析】

【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可.

【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，

恰有一个是合格品的概率为C；X0.9×().1=().18,

若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.6χ0.9+0.4χ0.8=0.86.

故答案为：0.18；0.86.

11（6L2+√3

=-l×l×----+1=-------.

I2J2

故答案为：1；ι1JL

2

三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.在ABC中，角AB,C所对的边分别为α,4c,且4。=辰2=11,COSC=|.

（1）求SinA的值；

（2）求。的值；

（3）求COS（A—2C）的直

【答案】（1）亚

5

（2）5

⑶

25

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角及同角三角函数平方关系即可；

（2）由余弦定理即可解得；

（3）由条件及（1）根据余弦的差角及二倍角公式即可.

【小问1详解】

34

由于COSC=—,0<C<π,则sinC.

因为4。=JUc,由正弦定理知4sinA=J5sinC，

则sinA=-^-si∏C---

45

【小问2详解】

因为4a=&c，力=11，

2IIGi1621a

222a12β11

由余弦定理，得「a+b-c÷l-y^y3,

2ab22a2a5

即。2+6。—55=0,解得。=5（负值舍去）.

【小问3详解】

由（2）知所以0<A<二.

2

由(1)得cosA=Jl-sin?A=~~~

247

sin2C=2sinCcosC=—,cos2C=2cos~9C-1=-----

2525

所以CoS(A-2C)=cosAcos2C+sinAsin2C

√5242√5

____X____—_____

525^25

17.如图，四棱锥P-ABCD中，平面B45，平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,AB=3,AD=AP=CD=2,ZPAB=60,M是CO中点，N是PB

上一点.

(1)当PN=LPB时,

3

(i)证明：MN//平面PAD；

(ii)求直线PM与平面PA。所成角的正弦值；

4PN

(2)平面PAO与平面AMN夹角的余弦值为二，求一的值.

5PB

【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)也

4

(2)28+24倔

一487

【解析】

【分析】(l)(i)以A为坐标原点，AB为X轴，A。为N轴，过点A作面ABC。的垂线为Z轴，建立

空间直角坐标系，求平面24。的法向量加和直线MN的方向向量，证得MN_L〃z，即可证明MN//平

面PAD；(ii)求直线PM的方向向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.

(2)设PN=rPB=(2f,0,一©),fe[0,l],求平面%。与平面AMN的法向量，由二面角的向量公式

PN

可求出/,即可求出一的值.

PB

【小问ɪ详解】

取玉=同-1),则〃=(逐(t—1),1—f,2r+l)是平面AMN的一个法向量，

/∖|^-«|∣3-3∕+2∕+l∣4

则cos(m,n)=1⅛-f4=—/∣——=-,

'/MW2依-1)?+(IT)?+(2/+Ip5

解得”28+24屈或=28-24倔(舍去)

487487

所以PN28+24洞

PB-487

22

18.已知片，工是椭圆。：=+与=1仅＞。〉0)的两个焦点，过月(1,0)的直线/交C于P,Q两点，当/

Q-b"

3

垂直于X轴时，且△「片鸟的面积是∣∙∙

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆。的左顶点为A,当/不与X轴重合时，直线AP交直线加:x=2a于点M,若直线加上存

在另一点N,使用M∙6N=O,求证：AQ,N三点共线.

22

【答案】(1)工+匕=1

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据已知条件及椭圆的定义求得。、6的值即可.

(2)设直线尸。方程，联立其与椭圆方程可得y+%,Xy2,联立直线AP的方程与直线机方程可得点

M坐标，求出F2M的斜率，得到直线用N的斜率，求出直线F^N的方程，得到点N坐标，再证明心。=(w

即可.

【小问1详解】

依题意知，c=l,所以4="+1.

3I33

因为耳耳的面积是5,即/x2x∣P6∣=/,解得IPgI=万，

所以附I=J(Ij+4=(

从而2a=∣尸周+1尸闾=4,解得α=2,

22

所以从=3,椭圆的标准方程为土+二=1.

43

【小问2详解】

由(1)知，A(-2,0).

依题意，设直线/方程为X=冲+1,P(xl,X),Q(Λ2,%)，

由’3Λ2+4)'2-12消去X得(3"+4)_/+6冲-9=0,

illʌ?—I6ʌ/»篦—______∙—¾,9ʌ,—______

则M十%一勺2，X%~ɔɔ

3m+4z13m^+4Zl

直线AP的斜率％M=-¾,直线AP的方程：＞=-J(X+2),

xl+2x1+2

(6、

而直线机：x=4,所以M4,旦τ.

I玉+2)

6-

直线F,M的斜率_%1+2_2J1,

MM=TT=/

而6M∙EN=O,即KMJ∙KN,

.X+2

所以直线8N的斜率々居N=-U一•

2y∣

因此直线五2N的方程：y=-缶2(χ-i),则点N∣4,—墨

3xl+6

所以直线AN的斜率心2乂%+2.

KAN

4-(-2)4y

又直线AQ的斜率G=音

%+2]_%+世+3_(/〃2+4).%+3/〃()'|+%)+9

则怎。-L=

4yl)my2+34y,4,y1(mj2+3)

-9(7√+4)-6m∙3m

而(nr+4½y+3m(y+y)+9=++9=0,即&°

12l22>ιri1+43m2+4

所以A,。,N三点共线.

19.已知等差数列｛4｝的首项为1,前〃项和为S,,,单调递增的等比数列｛〃,｝的首项为2,且满足

b2+S2=7也+53=14.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

(2)证明：3S,,=allSn+,-(an-1)S,,(n∈N*)；

〃TS1

⑶记也｝的前〃项和为证明：Zj-L<£〃(〃+1)(〃+2).

z=ι½3

【答案】(1)an=n,bll=T

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据条件，列出关于4,d的方程组，即可求解；

(2)根据数列的前〃项和S“与4的关系，集合等差数列的通项公式，即可证明;

(3)首先化简并放缩不等式，4L<i(i+l)=g[i(i+l)(i+2)-(i—l)i(i+l)],再利用裂项相消求和,

½3u

即可证明.

【小问1详解】

由题意，设等差数列｛%｝的公差为d，等比数列出｝的公比为夕(q≠l),

因为4+S?=7也+53=14,

2q+d+2=7,2q+d=5,

所以，即12

所以[2∕+3d+3=14,[2√+3t∕=ll.

解得q仁=(1,舍去)，或q="2,

所以=∏,bn=T.

【小问2详解】

由(1)知S,=J——L,

n2

所以a“S"+「(an-T)S“=an(Sll+a,,+l)-⅛-l)ξ,

s+aa

=nnn+l=S"+"(〃+1)=3S..

【小问3详解】

由(1)知骞=2∙(l-2)=2"+|—9

所以独="上空L空心3<班+])

,,+,

bi22''

=l[i∙(∕+l)(∕∙+2)-(Z-l)Z(∕+l)]

所以L<1[l∙(l+l)(l+2)-(l-l)i(l+l)]+:[2∙(2+l)(2+2)-(27)∙2∙(2+l)]

/=1Di33

+«+1)]

»Ts1

即Σ^V^L<£〃(〃+1)(〃+2)

)=1bj3

20.已知函数/(x)=炉—2(α+l)x+24lnx(a∈R),

(1)当。=2时，求曲线y=∕(x)在点(1,/(1))处切线方程;

(2)若函数/(x)有极大值，试确定。的取值范围；

ɔ31121

(3)若存在%使得/(Xo)+(l∏Λo-2α)≤-x^-—6Z+2jx0+-47+g成立，求。的值.

045

【答案】(I)y+5=0

(2)(0,1)(l,+∞)

(3)a=-

5

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，求曲线的切线方程;

(2)首先求函数的导数，/(x)=2(工一旭心),再讨论α,判断函数的单调性，讨论函数的极值;

X

(3)不等式转化为(∕-⑵叫-2α)2≤g,利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距

离,求”的值