1.1 空间向量及运算（精练）（解析版）

1.1空间向量及运算（精练）1．（2023山东）给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】对于①，，故①为真命题；对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题；对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题；对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题；对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题．故假命题的个数为4.故选：C2．（2023·安徽六安）在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】共线，所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量都共面，故②不正确；三个向量中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当不共面时，空间任意一向量总存在实数x，y，z使得，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选：A3．（2023春·高二课时练习）下列命题中，正确的是（

）.A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A;比如,不相等，但，故A错误；对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；对于D；若，，但不相等，故D错误；故选：C4．（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【答案】C【解析】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.故选：C.5．（2023春·江苏盐城·）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在平行四边形ABCD中，，在中，，，，，在中，．故选：B．6．（2023·广东广州）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为平行六面体中，点M在上，且故可得故选：D.7．（2023春·甘肃金昌）下列四个命题中为真命题的是（

）A．已知，，，，是空间任意五点，则B．若两个非零向量与满足，则四边形是菱形C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面【答案】C【解析】对于A，因为，故A项错误；对于B，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，不一定是菱形，故B项错误；对于C，因为空间向量可以平移，将空间任意两个向量平移到同一起点时，则这两个向量可以是共面向量，故C项正确；对于D，对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，当且仅当时，，，，四点共面，故D项错误.故选：C.8．（2023·山东菏泽）对于空间一点和不共线三点，，，且有，则（

）A．，，，四点共面 B．，，，四点共面C．，，，四点共面 D．，，，，五点共面【答案】B【解析】由，得，即，，，共面，又它们有公共点，，，，四点共面．故选：B．9．（2023春·四川绵阳）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【解析】因为，所以由得，即，因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，所以，故.故选：A.10．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为，点在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值2．故选：D11．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期中）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为满足任意三点不共线，但四点共面，所以，根据共面向量基本定理，存在，使得，因为，，，所以，即，因为，所以，，解得故选：B12．（2023春·湖北）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】四点共面的充要条件是，，整理可得，由，则，解得，故选：A.13（2023春·江苏淮安）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由与三点共面以及，可得，，所以.故选：C.14．（2023·重庆北）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为M是平面ABC上一点，即四点共面，所以，所以．故选：B.15．（2023春·江苏徐州）在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由图形可得，所以，由正方体性质可得，所以，所以，又，与方向相反，所以.故选：B.

16．（2023山西）在三棱锥中，为的中点，则等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【解析】因为，所以，，，因为，.故选：C.

17．（2023·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量；②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量；③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．【答案】①【解析】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量，故①正确；对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故②不正确；对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故③不正确；对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是与是共线向量，故④不正确；故答案为：①18（2023广西）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，．

(1)用，，表示；(2)求AC1的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，．（2）AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，．.AC1的长||.19．（2023春·高二课时练习）如图所示，在空间四边形中，，，两两成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．【答案】【解析】，所以因，，两两成角，且，所以，所以所以，即，间的距离为.20．（2023春·江苏淮安）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.(1)试用向量表示向量；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）因为点为的中点，所以，因为，所以，所以，所以；（2）由（1）得，因为，，所以.21．（2023·江西·高二统考期中）已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求的值.【答案】(1)，(2)14【解析】（1）连接，，如图：..（2）依题意，，，故.22（2023广东潮州）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值(3)判断与是否垂直．【答案】(1)(2)(3)垂直【解析】（1）正方体中，,故;（2）由题意知,,,，故，故，（3）由题意，,,故与垂直.23（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，(1)用，，表示；(2)求向量与向量所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，，，所以.（2）因为空间四边形的各边及对角线长为，所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，所以，，，所以，所以，所以向量与向量所成角的余弦值为.24（2022·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）连接，如图：因为，，在，根据向量减法法则可得：因为底面是平行四边形故因为且又为线段中点在中（2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是故由（1）可知故平行四边形中故：故（3）因为，又1．（2023·全国·高二专题练习）对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为A、B、C三点不共线，则不共线，若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，即，变形得，对于，，整理得，则，所以在平面内，故选项正确；对于，，可得：则，故不在平面内，故选项错误；对于C，，可得：，则，故不在平面内，故选项C错误；对于，，可得：则，故不在平面内，故选项错误；故选：2．（2023春·高二课时练习）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上【答案】BCD【解析】当时，，所以，则，即P在棱上，故A错误；同理当时，则，故P在棱上，故B正确；当时，，所以，即，故点P在线段上，故C正确；当时，，故点在线段上，故D正确．故选：BCD．3．（2023广西柳州）(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（

）A．P∈直线AB B．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线【答案】ACD【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．【详解】解:因为，所以，所以=，即=n()，即=n，所以共线.又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为=m+n，故O，A，B，P四点共面.故答案为：ACD4．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）（多选）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面【答案】BD【解析】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.若与不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直