2 高二数学选择性必修第一册期中模拟试卷（新高考题型提高卷1）解析版

高二数学期中模拟试卷（新高考版提高卷1）考试范围：人教A版2019选择性必修第一册（全册）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，又点N为BC中点，所以，所以.故选：B.2．（2023秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：如图所示：

，由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交，故的斜率的取值范围为.故选：D.3．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】B【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，所以，即双曲线方程为：.故选：B4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线AB，BC，不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由题意，知，，不共面，四边形为平行四边形，，为空间的一组基底.，又，，，，，.故选：D.5．（2023·全国·高二专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.6．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【详解】在椭圆中，，，，则，，设点，则，且，则，所以，，，所以，，所以当时，取最小值，故选：D7．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（

）A．30° B．45°C．60° D．75°【答案】A【详解】因为平面，平面，所以，，又是矩形，所以两两垂直，故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

又，，，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，而,设平面的法向量为，则，取，则，，所以30°，所以锐二面角的大小为30°，故选：A.8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（

）A． B．2C． D．【答案】C【详解】如图所示，连接，由双曲线的渐近线方程为，根据题意，点在第一象限，将代入，可得，可得由求根公式，可得，因为，且，所以，所以点由，可得，即，因为，所以，即，化简得，两边同除以，得，解得或（舍去）．故选：C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023秋·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知直线，其中，则（

）A．当时，直线与直线垂直B．若直线与直线平行，则C．直线过定点D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．10．（2023秋·重庆·高二校联考期末）在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（

）A．若点在平面内，则必存在实数，使得B．直线与所成角的余弦值为C．点到直线的距离为D．存在实数、使得【答案】BCD【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；对B：取的中点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为的中点，故可得//，在三角形中，分别为的中点，故可得//，则//，故直线所成的角即为或其补角；在三角形中，，，由余弦定理可得：，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；对C：连接如下图所示：在三角形中，，，，故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，则.故C正确；对D：记的中点为，连接，如下所示：由B选项所证，//，又面面，故//面；易知//，又面面，故//面，又面，故平面//面，又面，故可得//面，故存在实数、使得，D正确.故选：BCD.11．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．点到曲线C上任意点距离最大为7 B．的最大值是3C．的最小值是 D．的取值范围是【答案】ACD【详解】易知曲线的方程，如图所示，

设，圆心，半径，连接AC延长交圆C于B点，此时长为点到曲线C上任意点距离最大值，易得，故A正确；，即为圆上一点到原点距离的平方，延长OC交圆C于D点，则，故B错误；令，则的值为过圆上一点的直线在纵轴上的的截距，显然该直线与圆在相切时取得最值，即到直线的距离为半径时，，故C正确；，即为圆C上一点与点的斜率，易知与圆C相切时斜率取得端点值，可设该切线方程为，则有或，由图象可知，故D正确.故选：ACD.12．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（

）A．的最小值为 B．最小值为C．最小值为 D．最小值为【答案】BCD【详解】抛物线焦点坐标为，动点到距离为

设点为，则整理得，，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设点为，则点到距离时，最小为，最小值为，故A错误.点为，最小为最小值为1，最小为，故B正确.等于点到直线的距离，最小值为到直线的距离减去，即，故C正确.到的距离为最小值为到的距离与和的最小值，即到的距离最小值，设为则到距离为当时，最小值为2，最小值为2，得最小值为，故D正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，，若，则实数.【答案】【详解】因为，，所以，又，所以，解得.故答案为：14．（2023秋·高二课时练习）不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为．【答案】【详解】将直线整理为；直线过定点与无关，所以，且；联立解方程组可得；可得定点坐标为.故答案为：15．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为．【答案】12【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，如下图，，

因为，设，所以，所以，因为直线水平时显然不合题意，故可设，因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，联立，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12.故答案为：12.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形中，，，过点作交于点，，现将沿折起，使平面平面，连接、，则直线与平面所成角的正弦值为；当时，则二面角的余弦值为．【答案】．【详解】解：在等腰梯形中，，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又由在等腰梯形中，，所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，；所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以为平面的法向量，则，所以与平面所成角的正弦值为．因为，，所以，设平面的法向量为，则所以取，平面的法向量，因为二面角的余弦值为，所以二面角的余弦值为．故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）（1）求两条平行直线与间的距离；（2）若直线与直线垂直，求的值.【答案】（1）1;（2）【详解】（1）根据平行线间的距离公式,得.（2）由题意可知，因为两直线垂直，所以，解得或（舍去），经检验时，两直线垂直，满足题意.18．（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．

(1)求向量，的坐标；(2)求与所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，故．（2）由（1）可知，所以．．所以．故与所成角的余弦值为．19．（2023春·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）从抛物线上各点向x轴作垂线段.(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.【答案】(1)轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线(2)证明见解析【详解】（1）解：设抛物线上的点，过M作轴于Q，设线段MQ中点，于是有，而，即，从而得，

当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.（2）证明：由得，设，，则有，，，即，所以，

所以原点O在以AB为直径的圆上.20．（2023秋·江西宜春·高一江西省丰城中学校考期末）已知圆.(1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；(2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程；【答案】(1)或(2)最大值为1，或【详解】（1）圆，圆心，半径当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离，则相交弦长为，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为：，即此时圆心到直线的距离，则相交弦长为，解得：所以此时直线的方程为：，即.综上，直线的方程为或（2）在圆外，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，则圆心到直线的距离，所以弦长，所以，当时最大，即，即，解得或，的最大值为1，所以直线的方程为：或21．（2023春·福建龙岩·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．

(1)求证：；(2)若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【详解】（1）,E是的中点，又平面平面，平面平面，且平面．平面．又平面，．（2）在直三棱柱中，平面．又平面，．又，平面且，平面．又平面平面．平面，、从而可得两两垂直．所以如图以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

的面积为，且矩形中可得解得．则，．设，．又，设平面的法向量，则，不妨取，则，∴，由（1）平面，∴平面的一个法向量，．解得,又可知又由图可知