1.1 集合的概念（七大题型）（解析版）

1．1集合的概念【题型归纳目录】题型一：集合的含义题型二：元素与集合的关系题型三：集合中元素的特性及应用题型四：用列举法表示集合题型五：用描述法表示集合题型六：集合表示法的综合应用题型七：集合含义的拓展【知识点梳理】知识点一：集合的有关概念1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．知识点诠释：（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．2、关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．知识点诠释：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．3、元素与集合的关系：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、常用数集及其表示非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R知识点二：集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…．2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．知识点诠释：（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．【典型例题】题型一：集合的含义例1．（2023·四川成都·高一校考开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数【答案】B【解析】根据集合中元素的确定性可知，“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合.故选：B例2．（2023·高一单元测试）下列各组对象不能构成集合的是（）A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员B．小于的正整数C．数学必修第一册课本上的难题D．所有有理数【答案】C【解析】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于B中，小于的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C.故选：C.例3．（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．中国所有直辖市 B．某校高三的聪明学生C．2020年参加强基计划招生的高校 D．中国的四大发明【答案】B【解析】根据集合的定义及集合中元素的特征，可得：A中，中国所有直辖市是确定的，所以可以构成一个集合；B中，某校高三的聪明学生是不确定的，所以不能构成一个集合；C中，2020年参加强基计划招生的高校时确定的，所以可以构成一个集合；D中，中国的四大发明时确定的，所以可以构成一个集合.故选：B.变式1．（2023·云南保山·高一校联考阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（

）A．著名的数学家 B．很大的数C．聪明的学生 D．年保山市参加高考的学生【答案】D【解析】对于A，对于“著名”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，A错误；对于B，对于“很大”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，B错误；对于C，对于“聪明”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，C错误；对于D，年保山市参加高考的学生具有确定性，能构成集合，D正确.故选：D.变式2．（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流C．方程的实数解 D．周长为的三角形【答案】B【解析】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B错误；方程的实数解是，可以构成一个集合，故C正确；周长为的所有三角形可以构成一个集合，故D正确；故选：B.【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准）判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．题型二：元素与集合的关系例4．（2023·高一课时练习）下列所给关系正确的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】①是实数，所以①正确；②是无理数，所以②正确；③0不是正整数，所以③错误；④为正整数，所以④错误．故选：B.例5．（2023·高一课时练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】是实数，①正确；是无理数，不是有理数，②错误；是整数，③错误；是无理数，不是自然数，④正确．正确的个数为2个，故选：B.例6．（2023·高一课时练习）已知，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得所以，故选：A变式3．（2023·高一课时练习）已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（

）A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M【答案】D【解析】令，若全为正数，则；若全为负数，则，若中有2个正数一个负数，则，若中有2个负数，1个正数，则，；故选：D.变式4．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．0或3 D．【答案】B【解析】因为且，所以或，①若，此时，不满足互异性；②若，解得或3，当时不满足互异性，当时，符合题意.综上所述，.故选：B变式5．（2023·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）集合，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，故选:C.变式6．（2023·高一课时练习）已知集合是由，，三个元素组成的，且，求实数的值．【解析】∵，∴①当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去；②当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去；③当时，，由②得，舍去，则，此时，，符合题意．综上所述，.【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三：集合中元素的特性及应用例7．（2023·高一课时练习）下列说法中，正确的有（填序号）①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合；④集合与表示同一个集合．【答案】②【解析】①不正确．单词book中的字母o有重复，共有3个不同字母，因此单词book的所有字母组成的集合的元素个数是3．②正确．因为a，b，c是集合M中的3个元素，所以a，b，c互不相等，因此的三边长互不相等，故不可能是等腰三角形.③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的．④不正确．集合表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合表示点集，集合中有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．故答案为：②例8．（2023·高一课时练习）若，，1组成的集合与组成的集合为同一个含3个元素的集合，则的值为．【答案】1【解析】因为，，1组成的集合与组成的集合为同一个集合，所以，解得，或，当时，三个元素组成的集合为，符合题意，当时，集合中有相同的元素，所以不合题意，综上，，所以，故答案为：1例9．（2023·全国·高一专题练习）数集中的元素a不能取的值是.【答案】0，1，2，【解析】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且故答案为：0，1，2，变式7．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）若集合，则实数可取的值的全体所构成的集合为．【答案】且【解析】∵，∴且；所以，实数可取的值的全体所构成的集合为且；故答案为：且变式8．（2023·广东惠州·高一统考期中）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集．（写出一个即可）【答案】（或）【解析】不妨设，根据题意有，ab，所以，，中必有两个是相等的．若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或．故答案为：（或）变式9．（2023·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是.【答案】2【解析】当时，，此时元素个数为1；当时，，所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2.所以由构成的集合中，元素个数最多是2个.故答案为:2.【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤）题型四：用列举法表示集合例10．（2023·高一单元测试）已知集合，则集合B中有个元素．【答案】6【解析】因为，所以．当时，；当时，或；当时，．故集合，即集合B中有6个元素，故答案为：6例11．（2023·高一课时练习）集合中的元素为．【答案】【解析】∴该集合中的元素为．故答案为：例12．（2023·高一课时练习）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则.【答案】【解析】当都为正数时，可得；当都为负数时，可得；当两正一负时，可得；当一正两负时，可得，所以集合.故答案为：.变式10．（2023·全国·高一专题练习）设集合，则用列举法表示集合A为.【答案】【解析】要使，则可取，又，则可取，故答案为：.变式11．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）用列举法表示集合．【答案】【解析】由题意得，所以，所以.故答案为:.变式12．（2023·高一课时练习）用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程的实数根组成的集合C；(4)一次函数与的图象的交点组成的集合D．【解析】（1）不大于10的非负偶数有，所以；（2）小于8的质数有，所以；（3）方程的实数根为，所以．（4）由，得，所以一次函数与图象的交点为，所以．变式13．（2023·高一课时练习）用列举法表示下列集合：(1){x|x是14的正约数}；(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}；(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}；(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}.【解析】（1）{x|x是14的正约数}={1,2,7,14}.（2）{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.（3）{(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}=.（4）{x|x＝(－1)n,n∈N}={－1,1}.（5）{(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}={(0,8),(2,5),(4,2)}.【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤）1、求出集合的元素；2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3、用花括号括起来．题型五：用描述法表示集合例13．（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合．(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；(2)所有被3除余1的整数组成的集合；(3)使有意义的实数x组成的集合．(4)方程的解集．【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为．（2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为．（3）要使有意义．则．解得且．∴使有意义的实数x组成的集合为且．（4）由，解得．∴方程的解集为．例14．（2023·全国·高一课堂例题）用描述法表示下列集合：(1)；(2)偶数集；(3)被3除余2的正整数组成的集合；(4)．【解析】（1）原集合为，则描述法表示为：且.（2）偶数集，用描述法表示为：.（3）被3除余2的正整数组成的集合，用描述法表示为：.（4）原集合为，用描述法表示为.例15．（2023·上海·高一专题练习）下面三个集合：请说说它们各自代表的含义．【解析】是数集，是以函数的定义域构成集合，且；是数集，是由函数的值域构成，且；为点集，是由抛物线上的点构成．变式14．（2023·全国·高一专题练习）用描述法表示下列集合：(1)奇数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．【解析】（1）奇数组成的集合为；（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为.【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤）题型六：集合表示法的综合应用例16．（2023·陕西榆林·高一校考期中）已知集合，则集合中元素的个数是（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】根据题意，所以集合B中共有6个元素，故选：C.例17．（2023·高一单元测试）当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】D【解析】对于①，当且时，由数域定义知：，是任何数域的元素，①正确；对于②，当且时，由数域定义知：，，，，…，，②正确；对于③，当，时，，③错误；对于④，若，则，且当时，，则有理数集是一个数域，④正确；对于⑤，，若且，则，则这个数不为则必成对出现，数域的元素个数必为奇数，⑤正确.故选：D.例18．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）已知集合，且，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，，再利用，可得解.由，，设，，所以，且，所以，故选：C.变式15．（2023·高一课时练习）若集合A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0，a∈R}，且A中只有一个元素，求a的值．【解析】当Δ＝a2－4＝0，即a＝±2时，方程x2＋ax＋1＝0有两个相同解，即A中只有一个元素，所以a＝±2．变式16．（2023·高一课时练习）如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围.【解析】若，此时，符合题意；若，要使集合至多有一个元素，则，故，综上，.变式17．（2023·高一课时练习）已知集合，判断是否是集合中的元素，请说明理由．【解析】由题意，可得，，因为，所以，不存在，使得，即．变式18．（2023·江苏·高一假期作业）方程的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．【解析】A中有且只有一个元素，即有且只有一个根或有两个相等的实根．①当时，方程的根为，符合题意；②当时，由，得，此时方程有两个相等的根为.综上，当时，集合A中的元素为；当时，集合A中的元素为.变式19．（2023·全国·高一校联考阶段练习）已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．(1)当；(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；(3)当M是两个元素的集合.【解析】（1），，，所以的范围是；（2）时，，满足题意，，，此时，满足题意，（3）由题意方程有两个不等实根，且，解得且，所以的范围是，．变式20．（2023·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围．【解析】由题意得且，解得且.故实数k的取值范围为且．【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系）1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键；2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；题型七：集合含义的拓展例19．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合．(1)若，则是否存在，使成立？(2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论．【解析】（1）设，令，，则.故若，则存在，使成立．（2）不一定存在，使，证明如下：设，则，当时，，此时存在，使；当时，，此时不存在，使成立．故对于任意，不一定存在，使.例20．（2023·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：(1)A中至少有几个元素？(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【解析】（1）因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少有3个元素.（2）因为，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的元素是.（3）令，由①知，，而，则，而，则，所以集合A中至少含有的其它元素是.例21．（2023·全国·高一专题练习）集合M满足：若，则（且）已知，试求集合M中一定含有的元素.【解析】，，，，，∴在M中还有元素，，.故集合M一定含有的元素有.变式21．（2023·全国·高一专题练习）（1）如果集合，，证明：．（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．【解析】解:（1）证明：因为，所以可设，，其中，，，，则．由，，，，可知，，因此．（2）设，则（整数m，n互素），所以．若，则与是互素的整数．又m与n互素，所以，所以当m，n互素，且时，且．如取，，得，．综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）【方法技巧与总结】（认识集合含义的2个步骤）一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】显然，，当时，集合中有1个元素0；当时，，集合中有2个元素，；当时，，集合中有2个元素，，所以集合中最多含2个元素.故选：A2．（2023·全国·高一假期作业）下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①集合中最小数为，故①错误；②取，则，故②错误；③若，，则的最小值为2，错误，当时，，故③错误；④所有的正数组成一个集合，故④正确；故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（）A．3 B．2C．1 D．0【答案】D【解析】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确．联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），∴所求集合为且，故③不正确．故选：D.4．（2023·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合，因为，所以．故选：B．5．（2023·全国·高一随堂练习）下列语句中，正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然数，故，（1）正确；是无理数，故，（2）错误；由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误；数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；方程的解为，可以构成集合，（5）正确；故选：A6．（2023·全国·高一专题练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（

）A．N B．Z C．Q D．【答案】C【解析】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；对于集合，，，故不是数域，D选项错误.故选：C7．（2023·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，当时，的解有且仅有一个：，符合题意，所以；当时，要使的方程的解集中有且仅有一个元素，则有：，则.所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2.故选：B.8．（2023·全国·高一专题练习）定义若则中元素个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】因为且，当时，可能为，此时的取值为：；当时，可能为，此时的取值为：；当时，可能为，此时的取值为：；综上可知：，所以集合中元素个数为5，故选：D.二、多选题9．（2023·高一课时练习）下列结论中，不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【解析】在A中，当时，显然不成立．对于B，当，其平方数仍为整数,显然不成立；对于C,当，其绝对值仍为有理数,正确；对于D项,当，其立方仍为实数，正确.故选：AB.10．（2023·高一课时练习）（多选）给出下列说法，其中不正确的是（

）A．集合用列举法表示为B．实数集可以表示为为所有实数或C．方程组的解组成的集合为D．方程的所有解组成的集合为【答案】ABC【解析】对于A中，由，即，解得或或，因为，所以集合用列举法表示应为，所以A错误；对于B中，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为为实数或，所以B错误；对于C中，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为，所以C错误；对于D中，由，可得且，解得，所以组成的集合为，所以D正确．故选：ABC.11．（2023·全国·高一课堂例题）若，则实数m的可能取值为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】ABD【解析】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论．当时，，此时，，故符合题意；当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，，经检验符合题意．综上可知，或．故选：ABD12．（2023·全国·高一课堂例题）在整数集中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．则以下结论正确的是（

）A．B．C．D．若整数a，b属于同一“类”，则，反之也成立【答案】CD【解析】表示被5除所得余数为k的所有整数．∵，∴，故A不正确．∵，∴，故B不正确．∵任一整数被5除所得余数可能为0，1，2，3，4，∴，故C正确．∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除所得余数相同，∴被5除所得余数为0，∴；反之也成立．故D正确．故选：CD.三、填空题13．（2023·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值．【答案】【解析】由题意可知：，，令，解得；令，解得或，不符合题意.故答案为：.14．（2023·高一课时练习）集合表示的是.【答案】第三象限内点的集合【解析】由，解得，则集合表示的是第三象限内点的集合.故答案为：第三象限内点的集合15．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则集合中的元素个数为．【答案】【解析】由题意得：，中元素个数为.故答案为：.16．（2023·全国·高一假期作业）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为.【答案】，且【解析】由题意知有两个不等实根，所以且，解得，且.故答案为：，且四、解答题17．（2023·全国·高一课堂例题