【高考大赢家·夺冠】举一反三常考卷（押题卷）（解析版）

绝密★启用前【高考冲刺满分】2022年高考数学名师押题预测全真模拟卷（全国乙卷）理科数学【高考大赢家·夺冠】举一反三常考卷（押题卷）（本卷共6页，22小题，试卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必填写好自己的姓名、准考证考号等信息。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．在复平面内，虚部为-1的复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据，利用复数相等求解.【详解】解：设，由题意可得，即，所以，解得，∴故选：A．2．设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由集合的补集和交集的运算可得.【详解】解：由题可得或，所以．故选：A．3．用反证法证明命题：“若，则，，，都为0”.下列假设中正确的是（

）A．假设，，，都不为0 B．假设，，，至多有一个为0C．假设，，，不都为0 D．假设，，，至少有两个为0【答案】C【分析】利用反证法的定义直接求解.【详解】解：反证法是指证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结果．故需假设，，，不都为0,故选：C4．已知，若对任意，关于x的方程无实根，则实数a的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函数的值域，依题意列不等式组，即可求出实数a的范围.【详解】解：当时；当时.若对任意，方程无实根，则，解得：.故选：A．5．在长方体中，，，点，分别为，的中点，则与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平移法，构造出异面直线所成的角，解三角形可得.【详解】解：如图，分别取，的中点，，连接，，，∵，且，故四边形是平行四边形，故，同理可证：，所以为所求的角（或其补角），又因为，，所以，故，所以.故选：C.6．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（

）A．60 B．120 C．150 D．240【答案】C【分析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【详解】解：当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C7．设，则在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用导数的单调性研究函数函数的性质，以及一元二次方程根的情况，结合选项逐项分析即可求出结果.【详解】解：A选项：设函数的极小值点为，极大值点为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而，所以，符合，则经过一、二、四象限；故A正确；B选项：设函数的极小值点为，极大值点为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而，所以，符合，则经过一、二、四象限；故B错误；C选项：因为函数在上单调递增，而，则恒成立，所以，则，不符合，故C错误；D选项：设函数的极大值点为，极小值点为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，所以，不符合；故D错误；故选：A.8．已知，在中任取一点，则事件“”发生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用几何概型的面积类型即可求出答案.【详解】解：如图，表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部的区域，其面积为，事件“”表示点，落在为顶点得正方形及其内部，其面积为，故概率为：.故选：C.9．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（

）A．60米 B．61米 C．62米 D．63米【答案】D【分析】根据已知条件，利用与、与相似即可求出的值．【详解】解：根据题意，，，所以，解得．故选：D.10．已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设切点为，切线方程为，求出函数的导函数，即可得到，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，则，所以，令，则，因为，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，依题意有三个零点，所以且，即；故选：B11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆定义利用余弦定理得出的等式，变形后可求得离心率．【详解】解：由题意，，，在中，由余弦定理得，所以．故选：B．12．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知阴影部分所表示的集合为，利用交集的定义可求得结果.【详解】解：因为或，则，由题意可知，阴影部分所表示的集合为.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过作圆的两条切线，切点为，则过两点的直线方程为________．【答案】【分析】求出以点、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程.【详解】解：圆的圆心为：，半径为，以点、为直径的圆的方程为：，将两圆的方程相减得公共弦的方程为：；故答案为：14．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则______；【答案】2【分析】将向量平移至相同的起点位置，利用向量加法得到对应向量，再根据向量数量积的几何意义求即可.【详解】解：如下图示，将平移至与相同起点的位置，则，所以，而，所以.故答案为：2.15．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，边BC上的高为，则___________．【答案】【分析】由，利用余弦定理求得，再由，得到c，b的关系，然后由求解．【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，所以，所以．故答案为：16．已知一个三棱柱被一个平面所截留下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．【答案】【分析】根据三视图可知，该几何体是三棱柱被一个平面所截去一个三棱锥留下的部分，是一个四棱锥，如图所示，分别求出各个面的面积，从而可得出答案.【详解】解：根据三视图可知，该几何体是三棱柱被一个平面所截去一个三棱锥留下的部分，是一个四棱锥，如图所示，，则，，，在中，边上的高，则，所以该几何体的表面积为.故答案为：.三、解答题：本题共7小题，共70分。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选答题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本题满分12分）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．【答案】(1)；(2)90.【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．(1)解：由题意得；(2)解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，由题得Y可以取0，100，200，300，则，，，，所以Y的分布列为：Y0100200300P则Y的数学期望为．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．（1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角．（注：当所成角为90°时，两直线垂直．）求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．异面直线所成角的步骤一般是①平移其中一条或两条使其相交．②连接端点，使角在一个三角形中．③计算三条边长，用余弦定理计算余弦值．④若余弦值为负，则取其相反数．试题解析：证明：∵ABCD是菱形∴∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABDPAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC∴BD平面PAC（2）延长DA到E，使AE=DA，连接BE，PE，则AEBC∴四边形AEBC为平行四边形∴BE//AC，∴BE与BP所成的角就是两异面直线所成的角即在中，PA=2,AE=2,PAAE,∴PE=,BE=AC=,PB=∴考点：直线与平面垂直的判断及异面直线所成的角19．（本题满分12分）设数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)令，记数列的前n项和为，若实数使得对任意的恒成立，求的取值范围．【答案】(1)证明见详解；(2)【分析】（1）由的关系得，两边同除以得证.（2）由（1）知数列为等差数列，求出的通项公式，即数列的通项公式，证明为等差数列并求出，代入，化简得，根据数列的单调性求解.【详解】(1)解：由题知，当时，，所以，，，所以数列为等差数列.(2)由，当时，，化简得，由（1）知数列为等差数列，首项为，公差是1，所以，，由，得是等差数列，首项为2，公差为1，所以数列的前n项和，实数使得对任意的恒成立，，化简得，的最小值为9，所以，所以.20．（本题满分12分）已知函数．(1)若，求证：；(2)若对任意正数x恒成立，求a的值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）求导，由，得到在上单调递增，且证明；（2）由（1）知时，不成立；将，转化为时，，时，恒成立求解．【详解】(1)解：证明：因为，所以．当时，在上单调递增，且，当时，；当时，，所以在上单调递减；所以在上单调递增．因此．(2)当时，由（1）知不合题意，因为，所以当时，，当时，．当时，，令，则，显然在上单调递减．又因为，综合，所以，所以，，解得．所以存在唯一实数，使得，即，所以．因为在上单调递减，所以在上，；在上，，所以在上，（即）单调递增，在上（即）单调递减．又因为，若，在上，，在上，，所以在上，单调递增，，所以在上，，不合题意；若，在上，，所以在上单调递增，又，所以在上，，与题意不符；若时，在上，，在上，，所以在上，单调递减，在上，单调递减，又，所以在上，，在上，，符合题意．所以，所以．【点睛】恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21．（本题满分12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆上的点到两焦点，的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点作直线交抛物线于点M，N，直线交抛物线于点Q，以Q为切点作抛物线的切线，且，求面积S的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据椭圆的定义，结合代入法进行求解即可；（2）根据抛物线焦点和椭圆焦点的定义求出抛物线的标准方程，设直线的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、平行线的性质、三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】(1)解：因为椭圆上的点到两焦点，的距离之和为4，所以有，即，将点代入椭圆的方程，得，从而，所以椭圆的标准方程为；(2)由（1）知椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以，即，从而抛物线的方程为.设，，设直线为：，联立，消去x得，所以①，直线与抛物线联立，消去x得，所以得Q点的纵坐标为，所以，因为，所以直线为