数学-专项3.19 完全平方公式（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题3.19完全平方公式（知识讲解）【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点二、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点三、补充公式；；；.【典型例题】类型一、完全平方公式➽➼运算✭✭化简求值1．（2021春·八年级课时练习）运用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）

；（4）．【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案；（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案．解：（1）原式＝[（3x−5）＋（2x＋7）][（3x−5）−（2x＋7）]＝（3x−5＋2x＋7）（3x−5−2x−7）＝（5x＋2）（x−12）＝；（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）−1]＝−1＝；（3）原式＝＝−6（2x−y）＋9＝；（4）原式＝＝．【点拨】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键．举一反三：【变式1】（2022春·八年级课时练习）利用平方差公式或完全平方公式计算：；(2)【答案】(1)9801(2)【分析】（1）应用完全平方公式进行计算即可得出答案；（2）应用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得出答案．解：（1）原式；

（2）原式．【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式进行求解是解决本题的关键．【变式2】（2022春·八年级课时练习）利用平方差公式、完全平方公式计算：;(2)【答案】(1)9960.04；(2)【分析】（1）将原式变形为完全平方公式求解即可；（2）将原式变形为平方差公式的形式，然后利用平方差公式及完全平方公式求解即可．（1）解：；（2）．【点拨】题目主要考查利用完全平方公式与平方差公式进行计算，熟练掌握各个运算公式是解题关键．类型二、完全平方公式➽➼完全平方公式的变形公式➽➼运算✭✭化简求值2．（2022春·八年级课时练习）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值．解：图为，

所以，所以．所以．得．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值；若，求的值．【答案】(1)12(2)4046【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算求解；（2）设2022-x=a，x-2020=b，然后利用完全平方公式的变形计算求解．（1）解：∵x-y=4，∴（x-y）2=16，即x2-2xy+y2=16．又∵x2+y2=40，∴40-2xy=16，解得xy=12，答：xy的值是12；（2）解：设2022-x=a，x-2020=b，则a+b=2．∵（2022-x）（x-2020）=-2021，∴ab=-2021，把2022-x=a，x-2020=b，a+b=2代入得，（2022-x）2+（x-2020）2=（a+b）2-2ab=22-2×（-2021）=4+4042=4046．【点拨】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．举一反三：【变式1】（2022春·八年级课时练习）已知m﹣n＝6，mn＝4．

求m2+n2的值．求（m+2）（n﹣2）的值．【答案】(1)44(2)-12【分析】（1）利用完全平方公式变形计算可得；（2）根据多项式乘以多项式法则去括号，再代入计算．（1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4．∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44；（2）∵m﹣n＝6，mn＝4．∴（m+2）（n﹣2）=mn-2m+2n-4=mn-2（m-n）-4=4-2×6-4=-12．【点拨】此题考查了利用完全平方公式的变形计算，多项式乘以多项式计算法则，正确掌握各计算法则和公式是解题的关键．【变式2】（2022春·八年级课时练习）已知，．求下列式子的值：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将化为，再代入求值即可；（2）先求的值，再将化简，代入求值即可．（1）解：．（2）由，可得．即

．＝．【点拨】本题考查了完全平方公式的变形的逆用，解题的关键是不求a，b的值，利用完全平方公式的整体变换求值．类型三、完全平方公式➽➼完全平方公式参数➼运算✭✭求值3．（2021春·八年级课时练习）已知是完全平方式，求m的值．【答案】【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．解：∵4x2+mx+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12，【点拨】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．举一反三：【变式1】（2019秋·七年级课时练习）①已知a2-8a+k是完全平方式，试问k的值.②已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值.【答案】①k=16；②m=±6.【分析】①设m2=k，由a2-8a+k是完全平方式，即可得m=4，进而得到k的值；②先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．解：①设m2=k；因为a2-8a+k是完全平方式，所以a2-8a+m2=(a-m)2=a2-2ma+m2,

所以8a=2ma,解得m=4,所以k=16；②因为x2+mx+9是完全平方式，所以x2+mx+9=(x±3)2,所以m=±6.【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．【变式2】（2018秋·七年级单元测试）如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.【答案】M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.【分析】先分完全平方式是单项式还是多项式，再分9x2是平方项与乘积二倍项分情况讨论，根据完全平方公式解答即可．解：①当这个完全平方式是一个单项式的平方时，则9x2＋1＋M是一个单项式，所以M＝－1或M＝－9x2.②当这个完全平方式是一个二项式的平方时,a.

当这个完全平方式形如M＋9x2＋1时，即9x2为两数乘积为2倍，因为9x2＝2·x2·1，所以M＝＝x4,b.

当这个完全平方式形如9x2＋M＋1时，即M为两数乘积的2倍，因为9x2＝(3x)2，所以M＝±2·3x·1＝±6x,c.

当这个完全平方式形如9x2＋1＋M时，即1为两数乘积的2倍，此时M不是一个整式，所以这种情况不存在．综上所述，M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.【点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是要分情况讨论求解．类型三、完全平方公式➽➼图形问题➼运算✭✭化简求值4．（2022春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期末）图1是一个长为

，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．图2中阴影部分的正方形的边长是______；（用含a、b的式子表示）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：、、ab之间的等量关系；根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)4或【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、ab的等式；（3）根据（2）中结论即可解题．解：（1）图中阴影部分边长为，故答案为：；（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积；方法二：阴影部分面积为边长的正方形面积四个以为长、b为宽的个长方形面积；∴；（3）∵；∴，∴，∴或．【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得

是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020春·江苏扬州·七年级校联考期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形．请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法：；方法：．观察图写出，，三个代数式之间的等量关系：．根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；（2），，三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系；（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果．解：（1）根据图形可得：方法：；方法：．

故答案为：，．（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，可得：．故答案为：．（3）∵，，．【点拨】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片________张；根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)；(2)3；(3)①7；②．

【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；（2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，，代入计算即可．（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；；（2）解：，需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，故答案为：3；（3）解：①，，，，，即的值为7；②令，，，，，，，．【点拨】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．中考真题专练

【1】（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．当时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)(2)36【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．（1）解：∵直角三角形较短的直角边，较长的直角边，∴小正方形的边长；（2）解：，当时，．【点拨】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．【2】（2018·浙江衢州·统考中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【答案】见分析【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．解：由题意可得：方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，解