2023届高考前复习2-1 排列、组合 的十三种解题方法 （解析版）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用）

专题2.1排列、组合的十三种解题方法

方法一、捆绑法

1.（2023春•上海黄浦•高二上海市大同中学校考阶段练习）用0,L2,3,4这五个数字组成无

重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是

（）

A.28B.26C.24D.22

【答案】A

【分析】分别讨论夹在中间的偶数数字为O和不为。两种情况，结合捆绑法、特殊位置优先的

方式来求解即可.

【详解】当夹在中间的偶数数字为。时，满足题意的五位数个数为P；P：=12个；

当夹在中间的偶数数字不为O时，将其与1,3看作一个整体，则有P；P；=4种情况；

再将这个整体和另一个不为O的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有P；P；=4种

情况，

则满足题意的五位数有4x4=16个；

，满足题意的五位数共有12+16=28个.

故选：A.

2.（2022秋•上海浦东新∙高三上海市进才中学校考阶段练习）甲、乙、丙等五人在某景点

站成一排拍照留念，则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是____.

【答案】ɪ

【分析】利用排列知识可得甲不站两端且乙和丙相邻结果数，再利用古典概型概率公式即得.

【详解】甲、乙、丙等五人在某景点站成一排共有P；=120种结果，

把乙和丙捆绑在一起看作一个元素与甲之外的两个元素排列，又甲不站两端，把甲插入此三个

元素形成的空中，故共有P；P；P；=24种结果，

所以甲不站两端且乙和丙相邻的概率是奇74=，1

故答案为：ɪ.

3.（2023春•上海宝山•高二上海交大附中校考阶段练习）甲、乙、丙等6人排成一排，则甲

和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有种.（填数字）

【答案】144

【分析】根据相邻问题捆绑，不相邻问题插空，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有P；=6种方法，

第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有用=12种方法，

第三步：甲乙两个人之间全排列8=2,

由分步乘法计数原理可得总的排法有6x12x2=144.

故答案为：144

4.（2022秋•上海宝山•高二上海市行知中学校考期末）某学校组织学生参加劳动实践活

动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排

合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于（用数字作答）.

【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生相邻且农场

主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可.

【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有马=504（）种不同的站法，

2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：

第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；

第二步：相邻女生排在一起有4种；

第三步：4名男生排在剩下的位置有K种.

因此2名女生相邻且农场主站在中间共有4g2K=192种站法，

则2名女生相邻且农场主站在中间的概率P=W192=7471，

5040105

4

故答案为：.

5.（2023秋•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期末）有3位老师、4名学生排成一排照

相，其中老师必须排在一起的排法共有_______种.（用具体数字回答）

【答案】720

【分析】根据相邻问题捆绑法即可由分步乘法计数原理求解.

【详解】第一步：利用捆绑法把3名老师看做一个整体与学生全排列，则有H=120,

第二步：解绑，3位老师之间的顺序为耳=6,

由乘法计数原理可得66=120×6=720,

故答案为:720

6.（2023•上海•高二专题练习）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车

辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有种.

［答案］120

【5小】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这

两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中.

【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有号=6种方法；

另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位

中，有尸=20种，

因此共有用=120#.

故答案为：120

7.（2022春•上海浦东新•高二上海市进才中学期末）班级有六个同学排成一排照相，其中

甲乙两人必须相邻，则一共有种排法.（用数字作答）

【答案】240

【分析】用捆绑法即可

【详解】先把HJ乙两人捆绑在一起和其他4个同学全排列共有E=12。种排法.

再将甲乙松绑,共有片=2种排法.

所以总的排法数为120x2=240

故答案为：240

8.（2022春•上海闵行•高二上海市七宝中学校考期末）将5个人排成一排，若甲和乙须排在

一起，则有种不同的排法.（用数字作答）

【答案】48

【分析】利用捆绑法可求排法总数.

【详解】甲和乙须排在一起，共有2种排法，

将甲、乙看成一个元素，则考虑4个不同的人排成一排，共有K=24种不同的排法，

故共有48种不同的排法，

故答案为：48

9.（2022春•上海青浦•高二上海市青浦高级中学校考阶段练习）6个人排成一排，甲、乙两

人相邻的排法有种.

【答案】240

【分析】利用捆绑法求解即可得解.

【详解】先将甲、乙两人捆绑，再将所得5个元素全排，有H∙K=240种.

故答案为：240.

10.（2022春•上海浦东新•高二华师大二附中校考期中）有6本互不相同的书，其中语文书2

本、数学书2本、英文书2本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起的种数为

【答案】240

【分析】可采用捆绑法进行排列.

【详解】将两本数学书“绑”在一起看成一本书和其余4本书全排列共N=120种排法，2本数

学书之间有P；=2种排法，故总共有120X2=240种排法.

故答案为：240.

11.（2022•上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）某学校组织学生参加劳动实践活动，其

中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留

念，贝吃名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于__________.（用数字作答）

【答案】裴

【分析】根据题意，由排列数公式计算”农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，

且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有P；=5040种不同的站法，

若农场主站在中间，有P；=720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有

4P；P：=192种站法，

则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有P：-4P；印=528种站法，

则其概率尸=gJ=U

5040105

故答案为：.

12.（2021•上海交大附中高三期末）某小区有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需

要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法共有种.

【答案】120

【分析】利用“捆绑法”，将剩余的4个车位看作一个整体，进而与4辆车全排列可得出答案.

【详解】将剩余的4个车位看作一个整体，与4辆不同型号的车全排列得P；=120.

故答案为：120.

13.（2020•上海•南汇县泥城中学高三阶段练习）把10本书随意地放在书架上，则其中指定

的3本书放在一起的概率为__________.

【答案】：

【分析】首先利用全排列求出基本事件总数，然后利用捆绑法求出指定的3本书放在一起的基

本事情数，最后利用古典概型的概率公式即可求解.

【详解】由排列可知，10本书随意地放在书架上共有P种情况，

其中指定的3本放在一起共有P；P；种情况，

P8P31

故其中指定的3本书放在一起的概率为P=M=记.

ʃɪoɪɔ

故答案为：—.

14.（2020•上海•高三专题练习）用0,1,2,3,4,5这六个数字可组成个无重复

数字且2、3相邻的四位数.

【答案】60

【分析】2,3捆绑在一起作为一个元素，再选其他两个数字，一起排列，可分类一类有0,一

类无0.

【详解】有0的四位数，0不能在首位，有p；c；c；p；个，无0的四位数有p；c；p；个，共有

P；C；C；P；+P；C；P；=60.

故答案为：60.

【点睛】本题考查排列组合的应用，在多位数问题要注意0不能作首位，有0时可优先安排，相

邻元素与不相邻元素在排列中的两种方法：相邻元素是捆绑法，不相邻元素插空法.

方法二、插空法

一、填空题

1.（2022秋•上海黄浦•高三格致中学校考期中）将4个1和2个O随机排成一行，贝个。不

相邻的概率为_____（结果用最简分数表示）

【答案】I

【分析】分别计算出4个1和2个。随机排成一行的种数以及2个0不相邻的种数，然后由古典概型

的概率公式即可求得答案.

【详解】6个空位选2两个放0,剩余4个放1,故总的排放方法有*=15种，

2个O不相邻的排法利用插空法，4个1之间包括两头有5个位置可以放0,

故排放方法有C；=IO种，

）

则2个O不相邻的概率为1三（=；2,

故选：C.

2.（2022春•上海虹口•高二校考期末）2名老师和5名学生站成一排，则2名老师恰好不相邻

的排法数为.

【答案】3600

【分析】使用插空法可得.

【详解】先将5名学生排成一排有P；=120种，再将2名老师插入到6个空位中有以=30,所以

满足条件的排法共有12O×3O=36∞种排法.

故答案为:3600.

3.（2022春•上海闵行•高二闵行中学校考期末）甲、乙等6人并排站成一行，如果甲、乙两

人不相邻，则不同的排法种数是.（用数字填写答案）

【答案】480

【分析】不相邻问题用插空法，先将其他4人全排列，再将甲、乙插到所形成的5个空中的2

个，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：∙.∙甲、乙两人不相邻，••.先排其他4个人，共有P：种排法，

再在4个人形成的5个空中选2个位置排甲乙，共有Y种排法，

.∙.不同的排法种数是6理=48（）；

故答案为：480

4.（2020•上海市中国中学高三期中）四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生

相邻，则不同排法的种数是

【答案】144

【分析】先选出相邻的两个男生，看作1个整体与剩余2名男生组成的3个元素,利用插空法插

入到2名女生所形成的3个空隙中即可.

【详解】分两步进行：

①、将2名女生全排列，有P；种情况，排好后有3个空位；

②、从4名男生中选2名，看成•个整体，考虑其顺序，有C[P；种情况，再将这个整体与剩余

的2名男生全排列，安排在女生的3个空位中，有P；种情况,则一共有

P；C；P；P；=2x6x2x6=144种情况.

故答案为：144

5.(2021•上海市大同中学高三阶段练习)将4个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概

率为.

【答案】§

【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，

再利用古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有C；=5种排法，若2个0不相邻，则有C；=IO种排法，

IO2

所以2个0不相邻的概率为κ二

10+53

故答案为：I

6.(2021•,上海市建平中学高三阶段练习)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概

率为.

【答案】0.6##|

【分析】先按要求计算3个1和2个0随机排成一行时的排法，再计算2个。不相邻时的排法，最后

利用古典概型的概率计算公式计算即可.

【详解】3个1和2个0随机排成一行，即五个确定的位置中选择3个放数字1,其他放数字0,故不

同排法有C=IO种，若再要求2个0不相邻，则需3个1放好，有4个空，2个数字0插空摆放即

可，即C：=6,所以2个0不相邻的概率为R=O.6.

故答案为：0.6.

7.(2021•上海嘉定•二模)将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不

相邻的概率为.

【答案】:

【分析】根据二项式定理确定二项展开式中有理项的项数以及总的项数，然后求出排列的个

数，再由概率公式计算概率.

【详解】1+亡)的展开式的通项为配产3Xj(XT)=q√÷,

当r=0,2,4,6时，为有理项，一共4项，

当r=1,3,5,7时，为无理项，，共4项，

要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，

再把有理项插到无理项的5个空档中，共有匕=2880种情况，

全部的情况有M=40320种，

故所求概率P=等=言=《•

故答案为：ɪ.

14

二、解答题

8.(2022春•上海长宁•高二上海市延安中学校考期末)有甲、乙等7名同学排成一列照相，

求下列排法种数：

(1)甲乙两人不相邻；

(2)甲在排头并且乙不在末尾.

【答案】(1)3600

(2)600

【分析】（I）利用插空法求解即可.

（2）利用特殊元素优先法即可得到答案.

【详解】（1）首先排其余的5人，共有P：=120种情况，

再把甲乙放入空出的6个空中，共有P：=30种情况.

所以共有120x30=3600种排法.

（2）首先排甲，有1种情况，排乙，有P；=5种情况，排其余有P；=120种情况，

所以共有5x120=600种排法.

9.（2022春•上海浦东新∙高二上海市实验学校校考期中）毕业季有6位好友欲合影留念，现

排成一排，如果：

（1）4晒人不排在一起，有几种排法？

（2）4晒人必须排在一起，有几种排法？

（3）4不在排头，环在排尾，有几种排法？

【答案】（1）480

（2）240

⑶504

【分析】（1）插空法进行求解；（2）捆绑法进行求解；（3）正难则反，从全排列中减去不

合要求的排列即可.

（1）先把除4晒人外的4人进行排列，再把4晒人放到4人排列的5个间隔中，有P；P：=480种

排法;

⑵采用捆绑法进行排列，有P；P；=240种排法；

（3）先将6人进行排列，再减去4在排头的排列，再减去庭排尾的排列，再加上4在排头且解排

尾的排列，即琛-2P；+P：=504种排法.

方法三、特殊元素法

1.（2021•上海•曹杨二中高三阶段练习）食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两

种，甲、乙两位同学各自随机选择种类，他们所选水果中恰有一种水果相同的概率为

（结果用最简分数表示）.

【答案】I

【分析】利用排列组合可求基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再利用公式

可得所求的概率.

【详解】设''甲、乙两位各自随机选择种类，他们所选水果中恰有一种水果相同”为事件A.

甲、乙两位各自随机选择种类，共有CG=36种选择方法；

他们所选水果中恰有一种水果相同，共有C：P；=24种，

故尸（A）=§.

故答案为：

2.（2021;上海∙格致中学高三阶段练习）从6双规格相同颜色不同的手套中任取4只，其中

恰有两只成双的概率是.

16

【答案】33

【分析】先求得基本事件的总数，然后结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

19×11×1∩XQ

【详解】基本事件总数为α=与=495,

4×O3×2×15

所以恰有两只成双的概率是c1（CGC）=2竺=3.

49549533

故答案为：

3.（2022「上海市莘庄中学高三期中）某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告

和2个不同的奥运宣传广告，则最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不连续播放的

概率是.

【答案】ɪ

【解析】本题是一个等可能事件的概率，满足条件的事件是首先从两个奥运广告中选一个放在

最后位置，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，余下的三个元素在三个位置全排

列，共有P；种结果，得到概率.

【详解】解：由题意知本题是等可能事件的概率，

所有事件数是P；=120

满足条件的首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，有G=2种结果，

两个奥运广告不能连放，第一个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，有3种结果，余下

的三个元素在三个位置全排列，共有P；种结果，共有2x3xP；=36种结果，

，要求的概率是奇亮,

3

故答案为：—

【点睛】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是做出符合题意的事件数，这里要应用

排列组合的原理来解出结果，属于中档题.

方法四、间接法

-*、填空题

1.（2023春•上海黄浦•高二上海市大同中学校考阶段练习）某教师一天上3个班级的课，每

班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不

算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有种.

【答案】474

【分析】利用间接法即可求解.

【详解】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节课，有P；=504种排法，

其中上午连排3节课的有3xP；=18种，下午连排3节课的有2*P；=12种，

则这位教师一天的课表的所有不同排法有504-18-12=474种.

故答案为：474.

2.（2021秋•上海奉贤•高二上海市奉贤中学校考阶段练习）从5个男生、4个女生中任取2人

参加校庆活动，至少有1名女生的选择种数为.

【答案】26

【分析】从9人中任取2人求出事件总数，再减去没有1名女生的情况，即可得解；

【详解】解：依题意，至少有1名女生的选择种数为C；-C；=26种.

故答案为：26

3.（2023春•上海闵行•高三闵行中学校考开学考试）儿B、C、硒人去参加数学、物理、

化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若4和B不参加同一科，且这三科都有人参加，

则不同的选择种数是.（用数字作答）.

【彳析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除4和B参

加同一科的情况即可得答案.

【详解】根据题意，若A、B、a。四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参

加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有C：p；=36种情况，

若4B、a。四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三

科都有人参加，力和B参加同一科的有C；P；=6种情况；

所以，满足题意的情况共有C；p；=30种.

故答案为：30.

4.(2021•上海奉贤•一模)从集合｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中任取3个不同元素分别作为直线方

程Ar+8y+C=0中的A,B,C,则经过坐标原点的不同直线有条(用数值表示)

【答案】54

【分析】根据给定条件可得C=O,再从｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝任取两个不同元素分别作为AB值的

种数中减去重合的直线条数即可作答.

【详解】依题意，C=O,从｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝任取两个不同元素分别作为48的值有P；=72

种，

其中重合的直线，按有序数对(AB),

A<B有:(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)重合，(1,3),(2,6),(3,9)重合，(1,4),(2,8)重合，(2,3),(4,6),(6,9)重

合，(3,4),(6,8)重合，

A>B有：(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)重合,(3,1),(6,2),(9,3)重合，(4,1),(8,2)重合，(3,2),(6,4),(9,6)重

合，(4,3),(8,6)重合，

所以经过坐标原点的不同直线条数是72-9x2=54.

故答案为：54

【点睛】思路点睛：涉及部分排列组合问题，用直接法求解，分类复杂，可以求出不考虑条件

的所有结果，再去掉不符合要求的结果，即运用逆向思维，间接求解.

/\

aiiai2a!3

5.(2022•上海•高三专题练习)已知三行三列的方阵a2la22a23中有9个数(/=1,2,

(。31〃32%3)

3;J=I,2,3),从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列(注意：不能同时出

现既有两数同行、又有两数同列的情况)的概率是____.(结果用分数表示)

3

【答案】y

【分析】从9个数中任取3个，共有C；种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当

3个数中都位于不同行或不同列时•，共有CXGXl种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数

同列时共有C；C种选法；然后利用间接法即可得出结论.

【详解】解：从9个数中任取3个，共有仁=84种选法；

当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；

当3个数中都位于不同行或不同列时，共有C；XGXI=6种选法；

当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有G∙G£=36种选法；

从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列(注意：不能同时出现既有两数同行、

又有两数同列的情况)的概率=84-616-36=1,

æ+/

3

故答案为：—.

【点睛】关键点点睛：分3个数中位于同行或同列、3个数中都位于不同行或不同列和3个数中

既有两数同行、又有两数同列三种情况进行讨论，然后利用间接法求解.

6.(2020•上海普陀•高三阶段练习)从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，则至少有

一名女生的概率是.

【答案】y

【解析】利用古典概型的概率公式求解.

【详解】从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，共有=21种方法：

从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，没有女生的共有C：=6种；

所以至少有一名女生的概率是个吟

故答案为：y

【点睛】方法点睛：排列组合问题常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻

问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数

问题列举法.

7.（2020•上海•高三专题练习）6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完

成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有种.

【答案】100

【分析】先由题意，确定从10个人中抽取3人所包含的基本事件个数，再求出从6个男生中抽取

3人所包含的基本事件个数，作差，即可得出结果.

【详解】由题意，从10个人中抽取3人所包含的基本事件个数为C2=∙!^W=120,

3×2×1

从6个男生中抽取3人所包含的基本事件个数为=誓，=20,

3×2×1

所以这3人中至少要有1个女生所包含的基本事件个数为：Gl-C:=120-20=100.

故答案为：100.

【点睛】本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.

二、双空题

8.（2022春•上海静安•高二校考期末）有8名学生排成一排，甲、乙相邻的排法种数为

,甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为.（用数字作答）

【答案】1008030960

【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；

（2）可采用间接法得到；

【详解】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有

2P；=10080种情况：

（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙

在排尾的情况，故有P：-2P；+P；=30960种情况

故答案为：10080；30960

三、解答题

9.（2022春•上海静安•高二校考期末）一个罐子中有同样大小及重量的20个玻璃球，其中4

个是红色的，6个是黑色的，10个是白色的.经充分混合后，从罐子中同时取出2个球，求下列

事件的概率：

（1）两个球都是黑色的；

（2）两个球的颜色不同.

【答案】⑴三3

【分析】（1）根据组合数公式即可求解，

（2）先算出摸出的两个球是同色的概率，再用排除法即可求解.

（1）两个球都是黑色的概率为P=导=W

G38

⑵两个球的颜色不同的概率为P=I-与-S-乐=电

1C；o（⅛95

方法五、隔板法

1.（2022秋•上海浦东新•高二上海市实验学校校考期末）10个相同的小球放到6个不同的盒

子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有种.

【答案】126

【分析】由隔板法，将10个小球排成•排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法.

【详解】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中

选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有C；=126

种.

故答案为：126.

2.(2022春•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习)把20个相同的小球放到三个

编号为1、2、3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有种放

法.

［答案】78

【彳析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则

原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分

析可得答案.

【详解】解：根据题意，20个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的

小球数要多于盒子的编号数，

先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，

则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，

将剩下的14个球排成一排，有13个空位，在13个空位中任选2个，插入挡板，有Cz=誓=78

种不同的放法，

即有78个不同的符合题意的放法；

故答案为：78.

3.(2022•上海民办南模中学高三阶段练习)对于定义域为脑函数F(x),若对任意的

xl,%∈O,当％<xz时都有∕α)≤"%),则称函数/(x)为“不严格单调增函数”，若函数

的定义域O={l,2,3,4,5},值域为A={6,7,8},则函数"X)为"不严格单调增函数”的概

率是.

【答案】ɪttsθ.04

【分析】考虑把D中的5个数分成三堆：①1,1,3②1,2,2,计算概率得到答案.

,

【详解】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1,1,3：C5=10,②1,2,2：

CG=15

P；

则总共有(10+15)E=150种，

求函数/(x)是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1,2,3,4,5中间有4个空，插入2块

板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有C：=6种情况，

，函数/(χ)是“不严格单调增函数”的概率是急=(

故答案为：ɪ.

4.(2022•上海•高三专题练习)小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份

都是1分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率

为.

【答案】I

【分析】将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；

【详解】题干情景可以转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为

空；

将10个小球排好，有9个空隙，从这9个空隙中选出2个放入挡板可将小球分为3份；

所以，分类方法共有Cj=36种；

甲盒有1个小球的情况有：(1,1,8)(1,2,7)(1,3,6)(1,4,5)(1,8,1)(1,7,2)(1,6,3)(1,5,4)共8种;

Q7

所以，概率为:⅛=x∙

369

故答案为：I.

方法六、倍缩法解决部分定序问题

一、单选题

1.（2020•上海•高三专题练习）A,B,C,D,E五个字母排成一排，字母/1排在字母酹］左边

（但不一定相邻）的排法种数为（）.

A.24B.12C.60D.120

［答案］C

【分加】利用定序相除法求解：即先求5个字母全排列，再除顺序数.

【详解】先5个字母全排列，由于字母月不是排在字母用的左边，就是排在字母琬右边两种情

况，且这两种情况排列数相等，所以所求排列数为以=60.

2

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查带有限制条件的元素的排列问题，考查运算求解

能力，是基础题.

二、填空题

2.（2022春•上海徐汇•高二上海中学校考期中）用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、

“容”、“融”这六个字可以组成一种不同的六字短语（不考虑短语的含义）.

［答案］360

析】先将六个字全排列，再除以2即可.

【详解】先将六个字进行排列，有［6=720种选择，

由于六个字中有两个相同的“墩”，故均重复计算了一次，所以共有720÷2=360种不同的六

字短语.

故答案为：360

3.（2021•上海交大附中高三开学考试）如图，微店销售某产品，该产品共剩A、B、C三种颜

色的相同款式7盒，销售员随机抽取货架上的产品进行贴条投递，她总是取每堆中的最上面的

一盒（全部拿完），则不同的取法有种（用数字作答）

B

Aɪ

^B

［答案】210

【分析】利用定序法，转化为将7盒产品排成一列，其中4B,C三种颜色的顺序是确定的，问

题得以解决

【详解】解：由题意可得将问题转化为将7盒产品排成一列，其中4B,C三种颜色的顺序是确

定的，

所以共有一‰

=210种,

P2P3P;

故答案为：210

方法七、不平均分组问题

一、单选题

1.（2022秋•上海黄浦•高二格致中学校考阶段练习）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿

者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排

方法共有（)

A.60种B.90种C.120种D.360种

【答案】A

【分析】这是一个组合问题，从6同学中选出1人安排到甲场馆是C：,再安排2人到乙场馆是

C;,最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可.

【详解】依题意从6同学中选出1人安排到甲场馆是C〉再从剩余5人安排2人到乙场馆是C；,

最后剩余3人安排到丙场馆，

根据分步乘法原理，不同的安排方法共有C；C；C；=60种.

故选：A.

二、填空题

2.（2022春•上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）安排4名志愿者完成5项不同的工

作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人单独完成，则不同的安排方式共有.种

【答案】240

【分析】根据题意，分2步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组全排列，对应4名

志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，先将5项工作分成4组，则有2项工作为1组，有C；=IO种分组方法，

将分好的4组全排列，对应4名志愿者，有舄4=24种情况，

则有24x10=240种不同的安排方式.

故答案为：240.

3.（2022春•上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考期中）3个男生和3个女生排成一排，

要求男生互不相邻，女生不全相邻，则不同的排列方法有种.

【答案】144

【分析】考虑三男三女均不相邻，与3男不相邻且3女中有2女相邻两种情况，进而根据排列组

合方法求得答案.

【详解】若施3女均不相邻，则先排男生，出现4个空位，进而将女生排入前3个或后3个空

位，有耳（2耳）=72种情况；

若3男不相邻，3女中有2女相邻，出现4个空位，进而将女生排入中间2个空位，有

N（C区迫）=72种情况.

所以，一共有144种情况.

故答案为：144.

4.（2022•上海民办南模中学高三阶段练习）对于定义域为幽函数F（x）,若对任意的

西,々e。，当占时都有/（xj4"xj,则称函数"x）为''不严格单调增函数”，若函数

的定义域D={l,2,3,4,5},值域为A={6,7,8},则函数“力为“不严格单调增函数”的概

率是_____.

【答案】±##0.04

【分析1考虑把D中的5个数分成三堆：①1,1,3②1,2,2,计算概率得到答案.

【详解】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1,1,3：C=IO,②1,2,2：

C'C；=15

则总共有（10+15>A；=150种,

求函数/（x）是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1,2,3,4,5中间有4个空，插入2块

板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有C：=6种情况，

，函数”χ）是"不严格单调增函数”的概率是备=（

故答案为：ɪ.

5.（2021•上海市控江中学高三阶段练习）甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一

天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是.

ɜ

【答案】7

【分析】求出不加限制条件的参加方法，再按分组分配方法求得两天都有人参加活动的方法

数，然后计算概率.

【详解】甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的所有方法数为

23=8,

周六、周日都有同学参加公益活动的方法娄得C；P；=6,

所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率是P=J==.

o4

3

故答案为：~.

4

6.（2021•上海•格致中学高三阶段练习）今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同

学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种.

【答案】1800.

【分析】根据题意，先把学生分成两组，然后从25所学校中选出两所，进而将学生分配到两所

学生中，最后得到答案.

【详解】将3个学生分为两组，有C；种情况，从25所学校选出两所，有种情况，于是，共有

C；xC；sxA；=1800种.

故答案为：1800.

7.（2020•上海•高三专题练习）某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位

乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1,2,3的概率为

45

【答案】128

【分析】根据分步计数原理得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数，根据等可能

事件的概率公式得到结果.

【详解】6位乘客进入4节车厢的方案共有46种.6位乘客按各节车厢人数恰好为0,1,2,3进入

共有

VaG'=1440种方法.

二这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1,2,3的概率为三表=翔.

41Zo

45

故答案为.

12o

【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概

率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体.

方法八、平均分组问题

1.（2023秋•上海闵行•高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠

军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确

定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮

比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成

制定（与具体每场比赛的胜者是谁无关）.则赛程表有种.

［答案］315

【分析】分别确定第一轮比赛，第二轮比赛，第三轮比赛安排方案数，再由分步乘法计数原理

确定总的方法数.

【详解】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为,即即5种安排方法,

P：

C2C2

第二轮比赛的安排方法数为一¥，即3种安排方法,

^2

第三轮比赛的安排方法数为1,

由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；

故答案为：315.

2.（2022•上海奉贤•统考模拟预测）某校高二年级共有6个班级，现有4名交流生要安排到

该年级的2个班级，H

每班安排2名，则不同的安排方案种数为

［答案］90

【彳析】先把4名学生平均分成两组，组和组无差别，再把这两组分到6个班级中的两个班

级，根据分步乘法原理即可求得答案.

【详解】先把4名学生均分两组有3种方法,

然后再把这两组分给这6个班中的两个班有P；=30种方法,

根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有3X30=90种.

故答案为：90.

3.（2022•上海•二模）某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远

农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又

有英语系学生的概率是.

【答案】⅜

【分析】先计算总共有《种选法，再计算满足条件的p：-p：,最后按照古典概型计算

概率即可.

【详解】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语

系学生共有种分法，故概率为=..

故答案为：ɪ.

方法九、分羹分步

1.（2020•上海市中国中学高三期中）四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生

相邻，则不同排法的种数是

［答案］144

【分析】先选出相邻的两个男生，看作1个整体与剩余2名男生组成的3个元素,利用插空法插

入到2名女生所形成的3个空隙中即可.

【详解】分两步进行：

①、将2名女生全排列，有P；种情况，排好后有3个空位；

②、从4名男生中选2名，看成一个整体，考虑其顺序，有C；P；种情况，再将这个整体与剩余

的2名男生全排列，安排在女生的3个空位中，有P；种情况,则一共有

P；C；P；P；=2x6x2x6=144种情况.

故答案为：144

2.（2021•上海闵行•一模）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学

生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，

不同的选课方案共种.

周一周二周三周四周K

演讲、绘画、舞蹈编程、绘画、舞蹈编程、书法、舞蹈书法、演讲、舞蹈书法、演讲、舞蹈

、足球、足球、足球、足球、足球

注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次

［答案］15

析］应用分类分步计算方法，首先考虑编程选在周二或周三，再确定书法的时间，最后确

定足球的时间，即可得到总的选课方案.

【详解】I、周二选编程，则选课方案有CC=9种；

2、周三选编程，则选课方案有C；C；=6利」；

综上，不同的选课方案共15种.

故答案为：15.

3.（2022•上海♦高三专题练习）安排5个党员（含小吴）去3个不同小区（含M小区）做宣

传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M

小区，但是小吴不去M小区，则不同的安排方法数为.

【答案】44

【分析】先分类讨论为“小区安排人，再按照“3+1+1”和“2+2+1”两种情况安排其他小区

即可.

【详解】首先人数分配可以是“3+1+1”和“2+2+1”两种情况，至少安排2个党员去M小区，

故〃小区安排3人或2人，小吴不去M小区，故：

若"小区安排3人，除小吴外还有4人，按照“3+1+1”分配，则有C：P；=8种；

若M小区安排2人，除小吴外还有4人，按照“2+2+1”分配，则有C：C；P；=36种.

故不同的方法数为8+36=44种.

故答案为:44.

4.（2021•上海•高三专题练习）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样

本，则学生甲被抽到的概率__.

【答案】ɪ

【解析】基本事件总数〃=。黑，学生甲被抽到包含的基本事件个数m=G短C，由此能求出学

生甲被抽到的概率.

【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，

基本事件总数〃=C之，

学生甲被抽到包含的基本事件个数，〃=c.‰c,',

.∙.学生中被抽到的概率P='=∙⅞G=L∙

nC∣20O1ɔ

故答案为：—.

【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的

概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率），再定量.

方法十、部分平均分组问题

1.（2021•上海崇明•一模）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，

北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的末来进

发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场

馆至少分配一名志愿者），不同的分配方案有种.

［答案］36

【赢斤】把4名志愿者分为3组，选出2人作为一组，然后将3组全排列即可.

【详解】首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有C：种分法，

再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有P；种分法，

所以共有C：P；=36种分法.

故答案为：36.

2.（2020•上海•格致中学高三阶段练习）为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，

捐款捐物，某企业出资购买了两种不同型号的新型呼吸机各两台（同种型号呼吸机不加区

分），将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不

给同一医院，则不同分配方案有种

［答案］6

［⅛ff］两种型号呼吸机的各挑一台为一组，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，将三

组呼吸机分到三所医院即可.

【详解】两种型号呼吸机的各挑一台为一组，因为同种型号呼吸机不加区分，所以只有1种组

合，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，将三组呼吸机分到三所医院共有Pf=6种不同

的分法，所以将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼

吸机不给同一医院，不同分配方案仃1x6=6种.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了分组分配问题，属于基础题.

方法十一、特殊位置法

一、填空题

1.（2023春•上海浦东新•高二上海师大附中校考阶段练习）六位同学站成一排，若甲不站

两端，则不同的排法种数是.

【答案】480

【分析】根据特殊元素优先安排的原则，即可分步求解.

【详解】甲不站两端，则从中间4个位置中选一个位置给甲，然后剩下5个人全排列，故全部排

法有C［Pj=480,

故答案为：480

2.（2021秋•上海浦东新•高二上海师大附中校考期中）袋中装有标号为1、2、3、4的四只球，

四人从中各取一只球，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为

【答案】I

【分析】需进行分类讨论，分甲取2号，3号，4号，结合古典概型公式即可求解

【详解】若甲取2号，则分为：（乙3号，丙4号，丁1号）、（乙4号，丙1号，丁3号）、（乙1

号，丙4号，丁3号）3种情况，因为甲取3号，4号情况与取2号情况完全等价，故符合题意的情

况共9种，总方法数为p：=24种，故符合题意的取法对应概率为：P=A=r

故答案为：I

3.（2015•上海杨浦•一模）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中

爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在