2023年山东省青岛市局属四区中考一模数学试题（附答案详解）

绝密★启用前

2023年山东省青岛市局属四区中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.数据显示，电影张津湖》在全国上映74天时•，国内累计票房突破57.56亿.这一数字用科

学记数法表示为（）

A.57.56×IO8B.57.56×IO9C.5.756×IO9D.5.756×IO10

2.剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱,下列

剪纸图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

3.下列运算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.（o3）2=a5

C.（ɑ+3）2=α2+9D.—2a2-a=-2a3

4.如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（）

正面

A.B.C.D.

5.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形,BE平分〃BC,点4是弧BE的中点，若ND=110°,

则N4BE的度数是（）

A.30oB.35°C.50oD.55°

6.如图的四个三角形中，不能由AABC经过旋转或平移得到的是（）

7.如图,正方形ABCD的顶点均在坐标轴上,且点B的坐标为（1,0）,以ZB为边构造菱形ABEF,

将菱形ZBEF与正方形ABCD组成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转90。，则第2023次旋转结

束时，点F的对应点尸2023的坐标为（）

A.(―V^^2,-1)B.(1,—∙√r^2)c.(√^,-i)D.(―1,口

8.已知二次函数y=α∕+bx+c（xκθ）的图象如图所示，则正比例函数

y=（b+C）X的图象与反比例函数y=（的图象在同一坐标系中可能是（）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.计算：（3-τr）°—（一；）-2-cos30。=.

10.一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每

次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球

试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中红球的个数为.

11.青岛市11月份30天的最高气温变化情况如图所示，将1日一一15日气温的方差记为Sj,

15日一一30日气温的方差记为宜.观察统计图，比较*,S∕的大小：S工S九填">、=、

12.小明坐滴滴打车前去火车高铁站,小明可以选择两条不同路线:路线A的全程是25千米，

但交通比较拥堵,路线B的全程比路线4的全程多7千米,但平均车速比走路线A时能提高60%,

若走路线B的全程能比走路线4少用15分钟，若设走路线4时的平均速度为X千米/小时，根据

题意，可列分式方程.

13.如图，在扇形ZoB中，NAoB=I20。，OB=>∏,OC1OB

于点。，交卷于点C,连接AB,则图中阴影部分的面积为一.

OB

14.如图，在△4BC中，∆BAC=90°,分别以4C和BC为边向外作

A

正方形ACFG和正方形BCDE,过点。作FC的延长线的垂线，垂足为

点H.连接尸D,交AC的延长线于点M.下列说法：①△ABC=ΔHDC-.

②若尸G=1,DE=2,则CN=^<3；③鬻彳=④FM=DM；

⑤若AG=/?，tan乙4BC=∣,则△FCM的面积为4,正确的有

.(填序号)

三、解答题(本大题共U小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题4.0分)

如图，在RtAABC中，∆ABC=90o,D是斜边4C上一点，在射线BD上用尺规作一点E,使

NBEe=乙4(不写作法，保留作图痕迹).

16.(本小题6.0分)

(1)≡:(2-⅛÷⅛

(3(X—2)—X≥—8

(2)解不等式组：2x-lx+1.

I5<~

17.(本小题6.0分)

已知关于％的一元二次方程。/+b%+c=0

(I)C=2b-1时，求证：方程一定有两个实数根.

(2)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1,

2,3,乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,从甲袋中随机

抽取一个小球，记录标有的数字为

b,从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为C,利用列表法或者树状图，求b、C的值

使方程Jχ2+bx+c=O两个相等的实数根的概率.

4

18.(本小题6.0分)

为认真做好新冠疫情防控，增强学生新冠疫情防控与传染病预防意识，培养学生的健康意识

与公共卫生意识，青岛市某校数学兴趣小组的同学设计了“新冠疫情防控知识”问卷，并在

本校随机抽取着千名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分

成A,B,C,C四组，绘制了如下统计图表：

“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表

其中被抽取的学生的问卷测试成绩中，将8组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75,

76,76,76,78,78,78,78,78,78,78,79,79,79,80,80.

依据以上统计信息解答下列问题：

(1)被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是：.

(2)若将“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表设计成扇形统计图，贝卜'D”组频数所占

扇形圆心角为°.

(3)若全青岛市改年级共有50000名初中生，请你估计成绩超过80分的人数.

(4)为了增强大家对新冠疫情防控知识的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时

间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现4组的同学平均成绩提高15分，

B组的同学平均成绩提高10分，C组的同学平均成绩提高5分，D组的同学平均成绩没有变化，

请估计学习后这些同学的平均成绩提高的分数.

19.(本小题6.0分)

如图，G)O是的外接圆，BC是。。的直径，点。是O。外一点，4C平分N8C。，过点4作

直线CD的垂线，垂足为点。，连接AD,点E是AB的中点，连接。£.

(1)求证：AD是。。的切线；

(2)若G)。的直径为10,OE=3,求CD的长.

20.（本小题6.0分）

如图是小明洗漱时的侧面示意图,洗漱台（矩形4BCD）靠墙摆放,高Az）=80cm,宽AB=48cm,

小明身高166cm,下半身FG=IOOCni,洗漱时下半身与地面的夹角为NFGK=80。，上半身

前倾与水平面的夹角为NEFM=45。，脚与洗漱台距离GC=15sn（点。，C,G,K在同一直

线上）.小明希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点。的正上方，他应向前或后退多少cm?

（sin80o≈0.98,cos80o≈0.18,/7≈1.41,结果精确到0.1）

21.（本小题6.0分）

问题1：如图①，在△>!BC中，AB=4,。是AB上一点（不与4B重合），DE//BC,交AC于

点E,连接CD.设△4BC的面积为S,ADEC的面积为S'.

（1）当4。=3时，ɪ=；

（2）设AD=m,请你用含字母m的代数式表示

问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4,AD∕∕BC,AD=^BC,E是AB上一点（不与4

B重合），EF//BC,交CD于点、F,连接CE.设AE=n,四边形ZBCD的面积为S,AEFC的面积

为S'.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示

如图，直线为=卜逐+人与双曲线)/2=g在第一象限内交于4、B两点,已知A(I,τn),B(2,l).

(1)求心的值及直线AB的解析式；

(2)根据函数图象，直接写出不等式'2>yι的解集；

(3)设点P是线段AB上的一个动点，过点P作POlX轴于点。，E是y轴上一点，当APEC的面

积最大时，请求出此时P点的坐标.

23.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形4BCD中，点E,尸，G,H分别在边4B,BC,CD,DAk,AE=CG,AH=CF,

且EG平分4HEF.

(1)求证：4AEH任CGF.

(2)若ZEFG=90。.求证：四边形EFGH是正方形.

24.(本小题10.0分)

某工厂计划投资生产4、8两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润yM万元)与投资量x(

万元)成正比例关系，如图①所示：产品B的利润丫2(万元)与投资量M万元)成顶点在原点的二

次函数关系，如图②所示.

(1)请直接写出利润yι与'2关于投资量X的函数关系式%=，y2=；

(2)如果工厂以9万元资金投入生产4、B两种产品，要求4产品的投资金额不超过B的2倍，且

不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？

(3)在(2)问的情况下，工厂要获得不低于18万的利润，工厂要如何投资？

25.(本小题8.0分)

如图，已知抛物线丫=。/+6刀+3(£1力0)经过4(-1,0),C(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，动点。从点。开始沿。8向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点。开始

沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GElOC,交CB于点、F,交抛物线y=

。/+以:+3于点。，连接BG,DF,点。，E从点。同时出发，当其中一点到达端点时，另一

点也随之停止运动.设运动时间为t秒(t20),在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的

值；

(3)将(2)中的正方形BnFG沿y轴翻折180。，得到正方形BDrG然后将正方形BDF'G'沿直线

BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF'G'与△BOC重合部分的面积为S,平移的距离

为m(0≤m≤3λ∕r2).请直接写出S与m之间的函数关系式.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解:57.56亿=5756000000=5.756XIO9.

故选：C.

科学记数法的表示形式为αX10"的形式，其中l≤∣α∣<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成α时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，

n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

ri

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIO的形式，其中1≤∣α∣<io,H

为整数，表示时关键要正确确定ɑ的值以及Ti的值.

2.【答案】B

【解析】解：4既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

员既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

。.是轴对•称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选：B.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.【答案】D

【解析】解：4、a2,a3不是同类项，无法计算，故该选项不符合题意；

B、(α3)2=«6,故此选项错误，故该选项不符合题意；

C、(α+3)2=α2+9+6α,故此选项错误，故该选项不符合题意；

D、—2a2-a=-2a3,正确，故该选项符合题意.

故选：D.

直接利用合并同类项法则以及幕的乘方运算法则和完全平方公式、单项式乘以单项式分别计算得

出答案.

此题主要考查了合并同类项以及基的乘方运算和完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确

掌握相关运算法则是解题关键.

4.【答案】A

【解析】解：该几何体的主视图为:

故选：A.

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

根据圆内接四边形的性质得到NaBC=1800-ZD=70°,根据角平分线的定义计算即可.

【解答】

解：♦.・四边形ABCD是。。的内接四边形，

.∙.∆ABC=180o-∆D=70°,

VBE平分"8C,

.∙.∆ABE=^∆ABC=35°,

故选8.

6.【答案】B

【解析】解：由题意，选项A,C,。可以通过平移，旋转得到，选项8可以通过翻折，平移，旋

转得到.

故选：B.

本题考查旋转，平移的相关概念，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7.【答案】B

【解析】解：360°+90°=4,

•••每旋转4次为一个循环，

2023÷4=505……3.即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点尸3的坐标

相同.尸3的位置如图所示，

过点尸3作F3MIy轴于点M,连接。F,OF3.

由旋转得，440F三AMF3。.

•••点B（l,0）,

.∙.OB=1.

•••四边形4BCC为正方形，

∙∙.。4=OB=1.

.∙.AB=y∏OA=yΓZ.

•••四边形ZBEF是菱形，

∙,.AF=AB=V^^2∙

•・•△AOF=Δ,MF3O,

.∙.MF3=OA=I,OM=AF=C.

•・•点F3的坐标为（1,一，2）.则点F2023的坐标为（1,一，ν）・

故选:B.

先求出点尸3的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点尸2023的坐标与第3次旋转结束时点尸3的

坐标相同，即可得出答案.

本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：由二次函数图象开口向下，得α<0,

由对称轴在y轴的右侧，得b>0,

由二次函数图象与y轴的交点，得c>0.

A、由(b+c)>O,得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；α<0,y=(的图象位于二四

象限，故A正确；

B、由(b+c)>O,得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；α<0,y=?的图象位于二四

象限，故8错误；

C、由(b+c)>O,得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；α<0,y=?的图象位于二四

象限，故C错误；

D、由(b+c)>O,得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；α<0,y=?的图象位于二四

象限，故。错误:

故选：A.

根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误.

本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌

握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

9.【答案】一3—三

【解析】解：原式=1—4—?，

直接利用负指数幕的性质以及零指数幕的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

10.【答案】21

【解析】解：设盒子中红球的个数为m个.

根据题意得上=30%,

9+m

解得：m=21,

经检验，m=21是分式方程的解，

所以这个不透明的盒子中红球的个数为21个.

故答案为：21.

设盒子中红球的个数为nɪ个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%,然后根据概率

公式计算Tn的值.

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固

定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可

能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.

IL【答案】＜

【解析】解：根据折线图可以看出，1日-15日气温的比15日一30日气温的波动小，

Sf＜S1■

故答案为：＜.

根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小.

本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键.

12【答案】交——25+7=-

14.X(i+60%)x4

【解析】解：设走路线4时的平均速度为X千米/小时，则走路线B时的平均速度为(1+60%)X千米

/小时，

依题意，得：τ-(≡⅛=z∙

故答案为：τ-(≡⅛4∙

设走路线4时的平均速度为X千米/小时，则走路线B时的平均速度为(1+60%)X千米/小时，根据

时间=路程+速度结合走路线B的全程能比走路线4少用15分钟(即刻、时)，即可得出关于X的分式

方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

13.【答案】B+?

44

【解析】解：如图，设AB交OC于点R,过点R作RT1。4于点T.

•・,OC10B,

・・・乙BOC=90°,

V/-AOB=120o,OA=OB,

：•Z-OAB=∆OBA=Z-AOR=30°,

ʌRA=RO,

•・•RT1OA9

.・.AT=TO=三，

：.RT=OT∙tαn30o=ɪ,

∙∙∙OR=2RT=1,

・•・S阴=S扇形AOC_sLAOR

SAROB+

1/一ɔ30TΓ×(√~^3)21/一ɔ1

二弓XlλX√3+—=，-5X√3X-

LJbUnZL

π>[~3

=z+τ∙

故答案为：Ξ+±l.

44

如图，设ZB交OC于点R,过点R作Rr1。4于点7.求出R7,OR,根据S阳=SAROB+S乃-SfOR,

求解即可.

本题考查扇形的面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积.

14.【答案】①②③④

【解析】解：•：四边形BCDE是正方形，

.∙.BC=CD,乙BCD=90°,

四边形ACFG是正方形，

.∙.CF=AG=AC,∆ACF=^ACH=90°,

・・・乙ACB=乙HCD,

VDH1CF,

・・・4”=90。=NBAC,

^∆ABC^∆HDC^f

∆CAB=乙H

乙BCA=乙DCH,

CB=DC

・•.△ABC三八”0C(44S),故①正确;

•・•FG=1,DE=2,

ʌAC—1,BC=2,

・•・s∖nA∆”ABC=4C—=1

oCL

・•.∆ABC=30°,

・・・乙BCN=30°,

・•,CN==g√^3,故②正确;

cos308：3J

,

∙.ΔABC=LHDC9

^AC=HC9

X-AC=FC,

・•.HC=FC,

又•・•CM//DHf

・・・CM为aDFH的中位线，

ʌFM=DM,CM：DH=1：2,

.S^cFM_ɪ故③④正确;

SACDH2

-AG=C，

：•AC-yf~3f

在Rt△48C中，tan∆ABC=4⅛=

ABAD3

AJ3,,3V-3

：•ABr=-AyCz=—^―，

19

∙,∙SAABC二万"8XAC—W，

ABC=LHDC,

,

SKHDC=SAABC=4AC=CH,

ʌCH=CF,

9

∙'∙SADHF—2SACDH~2f

・・・Z.FCM=Z,H=90°,

ʌCM//HD1

.MFCMfFHD,

.S“CM_rCF)2-I

“S.HD—'HF)^4,

**,SAFCM=WSMHD=g»故⑤错误,

故答案为：①②③④.

由“44S"可证BC三ZkHDC,由锐角三角函数可求448。=30。，由三角形可求CN的长，通过

证明CM为ADFH的中位线，可得FM=CM,CM：DH=1：2,可求沁羽=：；先求出AABC的

面积，通过证明FHD,可求AFCM的面积，即可求解.

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

15.【答案】解：如图，点E为所作.

【解析】先作AC的垂直平分线得到AC的中点。，再作△4BC为外接圆。。，则。。与射线4D的交

点为E,利用圆周角定理可确定E点满足条件.

本题考查了作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了圆周角定理.

16.【答案】解：(1)(2-号)÷f⅛

'八a-raz-2a+l

_20-2-α(a-lp

-a-1'(α+2)(α-2)

_a-2(a-l)2

a—1(α+2)(α-2)

a-1

-

=Q+2

3(%—2)—x≥—8(T)

⑵2x-lx+1小，

②

解不等式①，得：x≥-l,

解不等式②，得：%>-7,

故原不等式组的解集是x≥-l.

【解析】(1)先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可;

(2)先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集.

本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法

是解答本题的关键.

17.【答案】(I)证明：<△=ð2-4∙ɪe=ð2-c=0,

∙∙∙Wc=2b-1代入得：△=/一(2b—1)=炉—2b+1=(匕一I)2≥0,

•••方程一定有两个实数根；

(2)解：画树状图得：

开始

123

z√Vχ/w×√v

123412341234

22

•••共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，∆=6-4∙ic=h-c=0,

b2=C,满足条件的结果有(Ll)和(2,4),共2种，

•••P(b、C的值使方程32+bx+c=0两个相等的实数根的概率)=ɪ

【解析】(1)直接利用根的判别式以及完全平方公式进而分析得出答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；可得2x+y=6的情况，再

利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概

率=所求情况数与总情况数之比.

18.【答案】7754

【解析】解：⑴抽取学生的总数为36+74+60+30=200,

4组频数为36,将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75,76,76,76,76,78,78,

78,78,78,79,79,79,80,80.

・•・被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是勺尹=77,

故答案为：77；

(2)组频数所占扇形圆心角为：360。X温=54。；

故答案为：54；

(3)50000X毛需=22500(人)，

答：估计成绩超过80分的人数为22500人;

(4)依题意得:15×36+10×74+5×60+0×30=7.9（分）.

200

答：估计学习后这些同学的平均成绩提高的分数为7.9分.

(1)根据中位数的定义即可求解；

(2)用360。乘以“D”组所占的百分比即可求解；

(3)用50000乘以成绩超过80分的百分比计算可得；

(4)根据平均数的定义计算可得.

本题主要考查中位数、加权平均数，频数(率)分布表，解题的关键是根据频数分布表得出解题所

需数据，并掌握平均数的计算方法.

19.【答案】(1)证明：如图所示，连接04

∙∙∙4C平分4BCD,

：,Z-OCA=Z-DCA,

vOA=OC,

ʌ∆OAC—Z-OCA=∆DCAf

・•・OAIlCD,

vAD1CD,

・•・OA1AD,

又•・,OA是O。的半径，

・・.4。是。。的切线；

(2)解：•・・BC是直径，

・・・∆BAC=90°,

・・・点E是AB的中点，点。是BC的中点，

・・・0E是BC的中位线，

：,AC=20E=6,

o

・・•∆CDA=∆CAB=90,Z-ACD=∆BCA9

CAB^CDA,

CDCAHΠCD6

ACBC610

・•.CD=3.6.

【解析】(1)如图所示，连接。4由角平分线的定义得到NoCa=NDC4,再由等边对等角推出

∆0AC=LOCA=∆DCA,则。A〃CD,即可证明。A1AD,则AD是G)。的切线；

(2)先由直径所对的圆周角是直角得到NBAC=90。，再证明OE是△4BC的中位线，得到AC=

2OE=6,进一步证明ACZBsACZM,利用相似三角形的性质即可求出CD=3.6.

本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，平行线的性

质与判定，等边对等角，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键.

20.【答案】解：过点F作FN1OK于N,过点E作EQ1FN于Q.过点E作

EPIAB于点P,延长OB交QN于点H,

---AB=48,。为48的中点，

・•・OA—OB=24,

在RtAEQ尸中，Sin“FE=监，

Er

则QE=EF-SinzQFE=(166-100)X?=33。≈46.53，

•：EQI.FN,EPIAB,PH1QF,

.∙.∆EQH=乙QHP=∆EPH=90°,

••・四边形EQHP为矩形，

ʌPH=EQ≈46.53,

同理可证四边形BHNC为矩形，

在RtAFGN中，CoSNEGN=空，

Gr

：•NG=100XCOS80°≈18,

ʌHB=NC=18+15=33,

・•・OH=OB+HB=24+33=57,

・・•OP=OH-HP=57-46.53≈10.47≈10.5,

答：他应该向前约10.5cτn.

【解析】过点尸作FNIOK于N,过点E作EQ工尸N于Q.过点E作EP_L48于点P,延长OB交QN于

点H,根据正弦的定义求出QM根据余弦的定义求出NG,进而求出OP,判断即可.

本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义

是解题的关键.

21.【答案】⑴令

Io

(2)解法一：∙∙∙∕B=4,AD=m9

.・.BD=4—171,

VDE∕∕BC1

.∙.——CE=—BD=-4--m--,

EAADm

.S&DEC_CE_4-τn

S4ADEm'

VDEUBC,

A

Λ%≡=（勺2=位，

S&ABC年16

.S>DEC_SXDECS.DE_m2_-m2-V4m

..--------------------------------------------------------------,

SAABCSAADESAABCmɪ616

∏咚=一嚷47

解法二：如图1,过点B作BH,AC于H,过。作。尸，AC于F,则DF〃BH,

.∙,△ADF〜AABH,

DFADm

：♦—∙~^•

BHAB4

O

—7∏2+4τ∏

-16-

问题2：如图②，

解法一：如图2,分别延长8。、CE交于点。,

∙∙AD//BC1

・•・△OAD^ΔOBCf

,_O_A_—__A_D——1

"OB~BC~2

MOA=AB=4,

ʌOB=8,

vAE=n,

ʌOE=4+九，

•・•EFIlBJ

由问题1的解法可知：沁=2•件=FX(⅛2=i⅞≠,

SAOBCSAOEFSAOBC4+n'8'64

..S40AD_(0A}2-1

.SAoBC~5B)-4,

...SABCD=ɜ

S40BC4'

解法二：如图3,连接AC交EF于M,

■：AD/∕BC,∩,AD=^BC,

...SAADC_1

S&ABC2'

∙'∙SAADC=2^ΔABC9

12

JS"DC=§S，SAABC=§S，

由问题1的结论可知：=

\&ABC16

•・•MF//AD,

・•・△CFM〜ACDA,

.SACFM=SACFM=RXSACFM_r4~n∖2

shCDA∣SS4，

∙∙∙SACFM=ɪ⅛XS,

••SAEFC=SAEMC+SACFM=-IS+XS=等XS-

S,16-n2

Λ­=--------.

S48

【解析】

解：问题1：

(1)VAB=4,AD=3,

BD=4-3=1,

DEIlBC,

CF_£2_1

乱一而一§

S>DECEC_1_3

==

sLADEAE39

DElIBC,

△ADE^Δ,ABC,

SAADE_

SAABC

SXDEC=3

SAABC16

故答案为：ɪ;

(2)

问题1：见答案

问题2：见答案

【分析】

(1)先根据平行线分线段成比例定理可得:晋=黑=3由同高三角形面积的比等于对应底边的比,

Hn∕∖UJ

则沁=⅛=l=l根据相似三角形面积比等于相似比的平方得:沁=(款=⅛,可得结论；

SRADE人七S?ZABC416

(2)解法一：同理根据(1)可得结论；

解法二：作高线DF、BH,根据三角形面积公式可得：沁£=注竺，分别表示等和黑的值，代

SAABC^CABHCABH

入可得结论；

问题2:

解法一：如图2,作辅助线，构建AOBC,证明AOZDSAOBC,得OB=8,由问题1的解法可知：

P=P.2=3χ(等)2=野，根据相似三角形的性质得：件丝=也可得结论；

v7

SAoBCSA0EFSXoBC4+九864ShOBC4

解法二：如图3,连接"交EF于M,根据4D=∖BC,可得部区=ɪ,得：SMDC=白，SAABC=∣S,

由问题1的结论可知：W=二学，证明ACFMsACZM,根据相似三角形面积比等于相似比

ɔʌ4se16

的平方，根据面积和可得结论.

本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：

相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度.

22.【答案】解：(I)・；点B(2,l)在双曲线上，

・•・攵2=2X1=2,

•••双曲线的解析式为'2=3

∙∙∙4(1,Tn)在双曲线丫2=|，

ʌm=2,

・•・4(1,2).

・•・直线2B：月=七%+6过4(1,2)、8(2,1)两点，则解得｛忆3T'

••・直线AB的解析式为y=-x+3;

(2)根据函数图象得，不等式儿>乃的解集为O<X<1或X>2；

(3)设点P(X,-X+3),且l≤x≤2,

1112QQ

△PED的面积=-PD∙OD=ɔx(—X+3)=——(x--)2+-≥z,

ZZZZoo

当X=手寸，APED的面积取得最大值，

此时点P的坐标为(|4).

【解析】(1)依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到小和的的值，再根据待定系数法即可

得出直线AB的解析式；

(2)依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式及>%的解集；

(3)设点PQ,-X+3),用含X的代数式表示出APED的面积，即可求解.

本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，二次函数的最值以

及三角形的面积公式，求出直线ZB的解析式是解本题的关键.

23.【答案】证明：(I)；四边形ABCD是平行四边形，

:∙Z-A=Z-C.

在△4EH与ACGF中,

(AE=CG

∖∆A=ZC,

(AH=CF

ZEHwaCGF(SAS);

(2)・.・四边形ABG)是平行四边形，

：,AD=BC,AB=CD,乙B=乙D.

•・•AE=CG,AH=CF,

・•・EB=DG,HD=BF.

・・・△BEF任DGH(SAS),

^EF=HG.

又YAAEH毛ACGF,

・・・EH=GF.

・•・四边形HEFG为平行四边形.

・•・EH//FG,

：•乙HEG=Z.FGE.

•・•EG平分NHEF,

・・・乙HEG=乙FEG,

：•Z-FGE=∆FEG,

・・.EF=GF,

又•・•Z.EFG=90°,

•••平行四边形EFGH是正方形.

••・四边形EFGH是菱形.

【解析】(1)根据全等三角形的判定定理SaS证得结论；

(2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合乙EFG=90。，即可证得

该平行四边形是正方形.

本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有:

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中.

3

4-

【解析】解：(1)由题意设%=kx,

・・•点P(2,4)在该函数的图象上，

ʌ4=2fc,

k=2,

・•・y1=2x；

设为=Q.,

・・・点Q(2,3),

:•3=4Q,

32

••y2=4x-

32

-X

故答案为：2X4

(2)设投资4产品汇万元，则投资B产品(9-乃万元，由题意得：

(X≤2(9-x)

tχ≥3,

ʌ3≤X≤6,

，该工厂能获得的利润为：

2

yi+y2=2x+-(9-x)

323.243

=~TXΔ2

42—~XH—4—

3/23、？50

=Wa—9)+至，

.•・当％=3时，%+丫2取得最大值，最大值是沁一第2+苧=33(万元).

二投资4产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元;

(3)由(2)知，3≤x≤6,

2

yι+y2=∣(x-y)+y≥185

.∙.(x-y)2≥18-^=φ2,

∙∙.(x-y)2≥φ2,

23、4十23«4

・•.X一彳≥§或χ一yw_5,

・•・X≥9或X≤y,

,∙,3≤x≤6,

∙∙.当投资4产品不少于3万元且不超过6万元时，工厂获得的利润不低于18万元.

(1)由题意设为=kx,设y?=α/,分别用待定系数法求得解析式即可;

(2)设投资A产品X万元,则投资B产品(9-X)万元，由题意得关于X的不等式组,解得X的取值范围,

根据