必修五解三角形总结

章末整合提升知识梳理1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：〔1〕形式一：，，形式二：，，，〔角到边的转换〕△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△==Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.(1)两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==，可求出角C，再求b、c.(2)两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<ba>bsinA两解无解无解a=bsinA一解a<bsinA无解8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2．余弦定理有两方面的应用：(1)三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.〔2011江西卷17〕．〔本小题总分值12分〕在中，角所对应的边分别为，，，求及例2．.〔2009北京理〕在中，角的对边分别为，。〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的面积.△的三个内角满足，那么△〔A〕一定是锐角三角形.〔B〕一定是直角三角形.〔C〕一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2．〔2010天津理数〕〔7〕在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，假设，，那么A=〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.〔2011全国二17〕．〔本小题总分值10分〕在中，，．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕设的面积，求的长．专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用例3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设〔Ⅰ〕判断△ABC的形状；〔Ⅱ〕假设的值. 例4．〔2009浙江理〕〔此题总分值14分〕在中，角所对的边分别为，且满足，．〔I〕求的面积；〔II〕假设，求的值．4.〔2009岳阳一中第四次月考〕.△中，，，，，，那么 〔〕A.．B．C．D．或5．(2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)假设c－b＝1，求a的值．专题三：三角形面积例5．在中，，，,求的值和的面积。6.〔2011辽宁卷17〕．〔本小题总分值12分〕在中，内角对边的边长分别是，，．〔Ⅰ〕假设的面积等于，求；〔Ⅱ〕假设，求的面积．专题四：解三角形的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后将结果复原为实际问题．eq\x(实际问题)eq\o(→,\s\up7(抽象),\s\do5(概括))eq\x(解三角形问题)eq\o(→,\s\up7(推理),\s\do5(演算))eq\x(三角形问题的解)eq\o(→,\s\up7(复原),\s\do5(说明))eq\x(实际问题的解)例5：如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求．例6：〔2009辽宁卷理〕如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离〔计算结果精确到，，〕7.如图3，位于A处的信息中心得悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．图38．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．本章思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：〔1〕两角和一边〔如A、B、C〕，由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；〔2〕两边和夹角〔如a、b、c〕，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；〔3〕两边和其中一边的对角〔如a、b、A〕，应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；〔4〕三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角学中的射影定理：在△ABC中，，…3．两内角与其正弦值：在△ABC中，，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。答案：例题1解：由得∴∴∴，又∴由得即∴由正弦定理得例2．.【解析】此题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等根底知识，主要考查根本运算能力．解〔Ⅰ〕∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面积.1．解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C为钝角2．【答案】A【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的根本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA==，所以A=300【温馨提示】解三角形的根本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3.解：〔Ⅰ〕由，得，由，得．所以． 5分〔Ⅱ〕由得，由〔Ⅰ〕知，故， 8分又，故，．所以． 10分例3.解：〔I〕即为等腰三角形.〔II〕由〔I〕知例4．解〔1〕因为，，又由得，〔2〕对于，又，或，由余弦定理得，4. 答案C5．思维突破：(1)根据同角三角函数关系，由cosA＝eq\f(12,13)得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc＝156；直接求数量积eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，代入条件c－b＝1及bc＝156，求a的值．解：由cosA＝eq\f(12,13)，得sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).又eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝156.(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝156×eq\f(12,13)＝144.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2·156·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(12,13)))＝25.∴a＝5.例5．解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由计算它的对偶关系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得。=1\*GB3①－=2\*GB3②得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等根本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的根底试题。两种解法比拟起来，你认为哪一种解法比拟简单呢？6.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等根底知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．总分值12分．解：〔Ⅰ〕由余弦定理及条件得，，又因为的面积等于，所以，得． 4分联立方程组解得，． 6分〔Ⅱ〕由题意得，即， 8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积． 12分例5：解：〔Ⅰ〕因为所以，〔Ⅱ〕在中，，故由正弦定理得故例6解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为。。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握根本知识、概念，深刻理解其中根本的数量关系即可过关。图37．解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理知：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7).由正弦定理sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7)，由∠BAC＝120°，那么∠ACB为锐角，cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).又θ＝∠ACB＋30°，那么cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).8．【解】在中，．由正弦定理得．所以．在中，．第一章综合检测(时间：120分钟总分值：150分)一、选择题(每题5分，共50分)1．在△ABC中，a＝2eq\r(3)，b＝2eq\r(2)，B＝45°，那么角A等于()A．60°或120°B．60°C．30°或150°D．30°2．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，那么角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°3．△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，那么△ABC的面积为()A．9B．18C．9eq\r(3)D．18eq\r(3)4．在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，以下结论：①a∶b∶c＝4∶5∶6②a∶b∶c＝2∶eq\r(5)∶eq\r(6)③a＝2cm，b＝2.5cm，c＝3cm④A∶B∶C＝4∶5∶6其中成立的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个5．在△ABC中，BC＝2，B＝eq\f(π,3)，假设△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，那么tanC的值为()A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)6．在△ABC中，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，那么△ABC是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，那么三角形的另一边长为()A．52B．2eq\r(13)C．16D．48．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，那么cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)9．两座灯塔A和B与观察站C的距离都等于10km，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东20°，那么灯塔A与B的距离为()A．10kmB．10eq\r(2)kmC．10eq\r(3)kmD．15km10．假设△ABC的周长等于20，面积是10eq\r(3)，A＝60°，那么BC边的长是()A．5B．6C．7D．8二、填空题(每题5分，共20分)11．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，那么这只船行的速度为________海里/时．12．在△ABC中，假设b＝1，c＝eq\r(3)，∠C＝eq\f(2π,3)，那么a＝__________.13．等边△ABC的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________.14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，那么这个三角形的面积为________．

三．解答题(共80分)15．(本小题总分值12分)在△ABC中，AB＝10eq\r(2)，A＝45°，在BC边的长分别为20，eq\f(20,3)eq\r(3)，5的情况下，求相应角C.16．(本小题总分值12分)在△ABC中，A＝45°，a＝2cm，c＝eq\r(6)cm，求角B、C及边b.

17.(本小题总分值14分)在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，求taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值．18．(本小题总分值14分)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求sinA；(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．

19.(本小题总分值14分)如图1，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，∠ABC的平分线交BC的平行线AD于D，求△ABD的面积．图120．(本小题总分值14分)如图2，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？图2第一章综合检测1．3．C解析：∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°，∴BA＝BC＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BA×BC×sinB＝eq\f(1,2)×6×6×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).4．C5．C解析：由面积公式可得BA＝1，由余弦定理可得AC＝eq\r(3)，∴A为直角．∴C＝30°，tanC＝eq\f(\r(3),3).6．C解析：∵sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)＝cos2eq\f(180°－B＋C,2)＝sin2eq\f(B＋C,2)＝eq\f(1－cosB＋C,2)，即sinBsinC＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cosBcosC＋eq\f(1,2)sinB·sinC，∴cos(B－C)＝1.∴B－C＝0，即B＝C.7．B解析：∵三角形两边a、b的夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，∴cosC＝－eq\f(3,5).由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25＋9＋2×5×3×eq\f(3,5)＝52，∴c＝eq\r(52)＝2eq\r(13).8．D解析：根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可得eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)解得sinB＝eq\f(\r(3),3)，又因为b＜a，那么B＜A，故B为锐角，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(6),3)，故D正确．11.eq\f(17\r(6),2)解析：利用正弦定理可得eq\f(68,sin45°)＝eq\f(MN,sin75°＋45°)，即MN＝34eq\r(6).∴速度为eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)海里/时．12．113．－eq\f(3,2)解析：∵在等边△ABC中，A＝B＝C＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2).∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(3,2).14．40eq\r(3)解析：∵三角形的两条边之比为8∶5，∴可设这两条边为8k,5k.∴(8k)2＋(5k)2－142＝2×8k×5k×cos60°，即49k2＝196.∴k＝2.故三角形的另两条边长为16,10.∴三角形的面积为eq\f(1,2)×16×10×sin60°＝40eq\r(3).15．解：由正弦定理得sinC＝eq\f(ABsinA,BC)＝eq\f(10,BC).(1)当BC＝20时，sinC＝eq\f(1,2)；∵BC>AB∴A>C∴C＝30°.(2)当BC＝eq\f(20,3)eq\r(3)时，sinC＝eq\f(\r(3),2)；∵AB·sin45°<BC<AB.∴C有两解．∴C＝60°或120°.(3)当BC＝5时，sinC＝2>1；∴C不存在．16．解：由正弦定理得：sinC＝eq\f(c,a)sinA＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝180°－(A＋C)＝75°，b＝eq\f(a,sinA)·sinB＝eq\f(2,sin45°)×sin75°≈2.7(cm)；当C＝120°时，B＝180°－(A＋C)＝15°，b＝eq\f(a,sinA)·sinB＝eq\f(2,sin45°)×sin15°≈0.7(cm)．∴b≈2.7cm，C＝60°，B＝75°，或b≈0.7cm，C＝120°，B＝15°.17．解：∵A＋C＝180°－B＝120°，从而eq\f(A＋C,2)＝60°，故taneq\f(A＋C,2)＝eq\r(3).由两角和的正切公式得：taneq\f(A＋C,2)＝eq\f(tan\f(A,2)＋tan\f(C,2),1－tan\f(A,2)tan\f(C,2))＝eq\r(3)，∴taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＝eq\r(3)－eq\r(3)taneq\f(A,2)·taneq\f(C,2).∴taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝eq\r(3).18．解：(1)由cosC＝eq\f(2\r(5),5)，C是三角形内角，得sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(5),5).∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2,5)eq\r(5)＋eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),