2022-2023学年甘肃省兰州重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省兰州重点中学高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.在等差数列｛all｝中，a1=2,a5-a3=2,则S3=()

A.9B.6C.8D.10

2.若某群体中的成员用现金支付的概率为0.60,用非现金支付的概率为0.55,则既用现金支

付也用非现金支付的概率为()

A.0.10B,0.15C.0.40D,0.45

3.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.它主要由九个

圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一

端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上.九连环游戏按某种规则将九个

环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为/(n)5≤9且

neN*),已知/(1)=1,f(2)=l,且通过该规则可得/(n)=∕(n-l)+2f(n-2)+l,则

解下第4个圆环最少需要移动的次数为()

123456789

/O

~9~S~0~9~9~9~9~9~^

A.4B.6C.7D.11

4.已知a,b是两条不同的直线，ɑ,£是两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A.若Q〃访aLb,则b1Q

B.若αα,aLb,贝∣Jb∕∕α

C.若α1B,aΓ∖β=α,b1a,则b1β

D.若Qnb=4,a∕∕afb//a,a∕∕βfb∕∕β,则α〃/?

5.如图，四面体48C。中，CO=4,AB=2,E,F分别是4C,

BD的中点，若EFl.AB,则EF与CD所成的角的大小是()

6.图中小正方形的边长为1,粗线画出的是某平面多边形，现将

该图形绕对称轴旋转180。，则所得几何体的表面积为（）

A.15√-2π+37ττ

B.46π

C.15√2τr+21τr

D.37ττ

7.如图，已知圆锥的顶点为S,AB为底面圆的直径，点M,C为

底面圆周上的点，并将弧48三等分，过力C作平面ɑ,使SB〃a,

设α与SM交于点N,则罂的值为（）

4

3-

3

2-

2

3-

3

4-

8.已知一个圆锥的底面半径为1,母线长为3,在其中有一个内接圆柱，当

圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为（）

A2£24√2

B.√^7rD

,3，3∙Ψ

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记事

件M为“第一次向

下的数字为1或2"，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）

A.事件M与事件N互斥B.事件M发生的概率为T

C.事件M与事件N相互独立D.事件M+N发生的概率为1

2

10.数列｛azJ的前"项和为多，已知S=n-n+9n+l,则下列说法正确的是（）

A.数列｛arl｝是递减数列B.数列｛arι｝是等差数列

C.当n>5时，an<0D.数列敢有最大项，没有最小项

11.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高4。为折痕，把和AACD折成互相垂直的

两个平面后，则下列四个结论中正确的是（）

C.平面力Z）C1平面ZBCD.二面角4-BC-D的正切值为√N

12.如图，已知正方体ABCD-AlBIGDl的棱长为2,P为正

方形底面力BCD内的一动点，则下列结论正确的有（）

A.三棱锥殳-4。窗的体积为定值

B.存在点P,使得DiPJ.AD1

C.若DIPI81。，则P点在正方形底面ABCO内的运动轨迹长

度为2√^I

D.若点P是4。的中点，点Q是BBl的中点，过P,Q作平面α1平面aCC√lι,则平面α截正方

体ABCn-&BlGDI所得截面的面积为3仁

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.数列—|2,号,学,…的一个通项公式为%l=.

14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛

结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的

概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率

是.

15.若数列｛n（n+4）（1｝中的最大项是第k项，则Zc=.

16.如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体,

得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体,若该多面体的

表面积是14√^5,则该多面体外接球的表面积是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知等差数列｛an｝的前n项和为%,a4-a1=6,S4=-20.

(1)求｛αn｝的通项公式；

(2)求Sjl的最小值.

18.(本小题12.0分)

甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙

二人依次各抽一题.

(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

19.(本小题12.0分)

今年“双碳”再次成为全国两会的热点词汇.“双碳”即我国提出力争2030年前实现碳达峰,

2060年前实现碳中和.低碳生活引领生活时尚，新能源汽车成为当前购车的首选.某新能源汽

车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查,

根据统计情况，将他们的年龄按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分组,并绘制

出了部分频率分布直方图如图所示.

(1)请将频率分布直方图补充完整；

(2)估计样本中所有用户的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中间值作代表)；

(3)销售部从年龄在[20,30),[30,40)两组的样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取4人,

再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.

0.040

0.032

0.024

0.016

0.012

0.008

20.(本小题12.0分)

已知数列｛αn｝的前Ti项和为S”,a1=9,nSn+1-(n+I)SJI=-n(n+1),n∈∕V*.

⑴求证：数列於为等差数列；

(2)求数列｛∣αrJ｝的前n项和.

21.(本小题12.0分)

如图，在直棱柱ABCD-4ιBιQ0ι中，底面4BeD是菱形，AB=2,NBaD=60。，AA1=a,

E,F分别是棱BC,DLll的中点.

(I)求证：BDIA1C;

(2)求证：EF〃平面AlBD.

22.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCO中，PC，底面ABC。，4BC。是直角梯形，4。1DC,AB//DC,AB=

24D=2CC=2,点E是PB的中点.

(1)证明：平面EZeI平面PBC；

(2)若直线PB与平面PaC所成角的正弦值为苧：

①求点P到平面ACE的距离；

②求二面角P-AC-E的平面角的余弦值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：设等差数列｛αn｝的公差为d,

则c⅛—α⅛=2d=2,解得d=1,

可得。2=%+d=3,

所以S3=3a2-9.

故选：A.

根据等差数列的定义与性质可得d=1,进而可得。2=3,结合等差数列下标和性质运算求解即可.

本题考查等差数列的性质和前n项和，解题中需要熟悉等差数列的性质，属于中档题.

2.【答案】B

【解析】解：根据题意，设成员用现金支付为事件4用非现金支付为事件8,贝》CB为既用现

金支付也用非现金支付，

而P(A)=0.60,P(B)=O.55,P(A+B)=1,

则P(4CB)=P(A)+P(B)-P｛A+B)=0.60+0.55-1=0.15.

故选：B.

根据题意，设成员用现金支付为事件4用非现金支付为事件B,由随机事件概率的性质可得PQln

B)=PG4)+P(B)-PG4+B),由此计算可得答案.

本题考查概率的性质，涉及随机事件的性质，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解:因为/(1)=1,/(2)=1,f(τi)=f(n-1)+2f(n-2)+1,

所以当n=3时，/(3)=/(2)+2/(1)+1=1+2+1=4,

当n=4时，/(4)=/(3)+2/(2)+1=4+2+1=7.

故选：C.

依题意，依次代入n=3与n=4求解即可.

本题主要考查了归纳推理，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：对于选项A：若a∣[a,alb,

则匕与α的位置关系有：平行、相交或直线b在平面α内，故A错误；

对于选项B：若ala,alb,贝肪〃a或bua,故2错误；

对于选项C：若a1β,aΓ∖β=a,b1a,

根据面面垂直的性质可知：当且仅当bua或b〃a时，则b_L£,

本选项无法确定b与a的位置关系，故b与0不一定垂直，故C错误；

对于选项。：设a,bu平面y,

因为anb=A,a∕∕a,b∕∕a,a∕∕β,b∕∕β,

由面面平行的判定定理可得：γ∕∕a,γ∕∕β,

所以a〃0,故。正确.

故选：D.

根据空间中平行垂直关系逐项分析判断.

本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题.

5.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了异面直线所成的角，解题的关键是寻找平行线，找到异面直线所成的角，属于基础题.

取BC的中点G,连结FG,EG,得到EF与CC所成的角也就是EF与FG所成的角，在三角形中求解

即可.

【解答】

解：取BC的中点G,连结尸G,EG,

则有力B〃EG,(L

因为E尸_LAB,则EF_LEG,/V∖<7

因为CD=4,AB=2,所以EG=1,FG=2,/\

D'B

则AEFG是一个斜边为2,一条直角边为1的直角三角形,

EF与CD所成的角也就是EF与FG所成的角，即NEFG,

所以EF与C。所成的角为3

o

故选A.

6.【答案】C

【解析】解：依题意，几何体是多边形绕线段CD的中垂线旋转180。得到的，它是以线段BE为底

面圆直径，高为3的圆锥，和以线段CD、BE分别为上下底直径，高为3的圆台组成，

又BE=8,CD=2,

则圆锥的母线长AB=√42+32=5，圆锥的侧面积Sl=TrX4X5=20π,

圆台的母线长Be=√32+32=3l∑,圆台的侧面积S2=Tr(I+4)×3√^2=15∖Γ2π,

2

所以所得几何体的表面积为Sl+S2+π×I=15√^π+21π∙

故选：C.

给定的图形绕线段CD的中垂线旋转180。，得到一个共底的圆锥和圆台，再计算表面积即可得解.

本题考查了圆锥及圆台的表面积，重点考查了计算能力，属中档题.

7.【答案】B

【解析】解：连接MB交AC于点D,连接ND,NA,NC,则平面NnC即为平面α,

因为SB〃a,平面SMBCa=DN,SBU平面SMB,

所以SB〃。/V,

因为AB为底面圆的直径，点M,C将弧AB三等分，

所以NaBM=/.BMC=Z.MBC=∆BAC=30o,MC=BC=⅛B,

1

A

所以M0/4B且MC2-

∣>l_1

所r∙r^以D而MMC

^AB~2,

又SBHDN,

所以3="一

SNDB2

所以瑞=今艮喘J

SM3SN2

故选：B.

连接MB交AC于点D,连接ND,NA,NC,则平面NAC即为平面α,由SB〃a,结合线面平行的性

质定理,可得SB〃DN,由AB为底面圆的直径，点M,C将弧AB三等分,推出Me〃AB且MC=^AB,

由平行线分线段成比例定理，即可得出答案.

本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意

8.【答案】B

【解析】解：作出圆锥的轴截面如下图所示:

记轴截面为^S4B,EFHG为内接矩形，尸在SB上.

hBF

设圆柱的高为九，圆柱的底面半径为r,则T『=可，τ=⅞cr,

2Z

Y∣3-113

则选+r=L「=1-方

圆柱的侧面积S网=2πrh=2τT(I—^-⅛=)h=—ɪjrh2+2πh∙

则当八=~2χ(¾)=。时，圆柱的侧面积最大•

故选：B.

设圆柱的高为从圆柱的底面半径为r,利用九表示r,代入圆柱的侧面积公式，再由二次函数求最

值求解.

本题考查圆柱侧面积的求法，训练了利用二次函数求最值，是基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：当两次抛掷的点数为(1,4)时，事件M与事件N同时发生，・•.事件M与事件N不互斥,

故A错误；

由题意得P(M)=I=标故B正确：

事件M与事件N同时发生的情况有：

(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),共4种,

41

P(MN)=-=-,

又P(N)=⅛=∣.

P(MN)=P(M)P(N),故事件M与事件N相互独立，故C正确；

P(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN)=T+g-*=［，故。错误.

故选：BC.

根据已知分别求出概率即可判断.

本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：当n≥2时∖Qn=Sn-SrI_1=—2九+10,又％=Si=9。-2X1+10,

I

所以即=｛2Dlon≥2,则｛α∏｝是递减数列,故A正确,B错误；

当九＞5时,Q72=10—2几＜0,故C正确；

&=—n+L+9是递减数列，故。正确.

nn

故选：ACD.

根据斯，Sn的关系可得通项公式，然后可以判断ABC；求出?，根据单调性，即可得出答案.

本题考查数列的单调性，最值，解题关键是由前n项和求出通项公式，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4设等腰直角三角形△4BC的腰为α,则斜边BC=，7a，

因为。为EC的中点，

所以ADIBC,

又平面ZBC1平面ACD,平面力BDn平面ACD=AD,BDLAD,8。U平面ABD,

所以BDJ_平面4DC,又ACU平面4DC,

所以BDIAC,故A正确;

对于8：由4知，BD1平面ADC,CDU平面ADC,

所以BD1CD,

又BD=CD=2a，

所以由勾股定理得：BC=J4犷+4a”。

又AB=AC=a,

所以aABC是等边三角形，故B正确；

对于C：因为A40C为等腰直角三角形，取斜边4C的中点F,则DF1.4C,

又△4BC为等边三角形，连接BF,则BFLAC,

所以ZBFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，

由BDJ■平面AnC可知，NBDF为直角，因此NBFD不是直角，

故平面4。C与平面4BC不垂直，故C错误；

对于。：由题意知，401平面BoC,过点。作OEJ.BC于点E,连接4E,贝必EJ.8C,

所以4AE。为二面角力-BC—D的平面角，设为。，

则tαn8=而=编甫=沟=。，故。正确；

~a

故选：ABD.

利用面面垂直的性质定理易证BD，平面ADC,从而可知BDl4C,可判断力；利用勾股定理可求

得BC=a,从而可判断8；作出平面40C与平面ABC的二面角的平面角，利用BD1平面4DC,可

知4BDF为直角，因此NBFD不是直角，从而可判断C；作出二面角A-BC-D的平面角乙4ED,

设为J，可求得Um9=q,从而可判断D.

本题考查直线与平面位置关系，二面角，解题中需要直观想象能力，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于4由题意及图形可知平面ABCn〃平面AlBlClD1，

所以点P到平面4BιGDι距离d为定值.

所以VBI-AmIP=UP-ADIBl="d∙SAADiBJ

又SAA∕81为定值，故三棱锥&一4。$的体积为定值.故A正确；

对于8,&A1DIAD1,则若DIPj.也,必有四。〃DlP.

但AlDU平面4£）。Μ1，D1e平面ADDIAil,P&ADU平面ADnl&或PC平面ADnV

所以4。与。IP相交或4。与DIP异面.

所以不存在相应的点P，使DIPLADr故B错误；

对于C,如图有J_平面DIAC.

理由如下：连接DB,A1D.

由题可得ACIDB,AC1BB1,

又DBCBBI=B,DB,u平面。所以AeJ•平面DBB1.

因为。BlU平面DB8i，所以AC_LDB「

同理可证得1DB1,

XΛD1C∖AC=A,所以BlDJ_平面。IAC,得DIPU平面。IaC.

故点P轨迹为平面DiAC与底面ABCD交线，即为线段AC,AC=2λΓΣ,故C正确；

对于。，如图取4B中点为P「连接PP「

由题可得DBLAC,AA11平面ABCD.

连接BD,因为PP"∕DB,PPlU平面ABC0,

贝IJPPIJL4C,PPC.

又ACnAAI=4,AC,44ιU平面

则PPl工平面ACClA「

又取ODl中点为Qi，则QQi〃DB〃PPi，

有P,P1,Q,QI四点共面.

则平面PPlQQI即为平面α.

又由两平面平行性质可知，PPjlRR1，PQ1/∕QRl,PIQ〃(2小，

又P,Pi,Q,Ql都是中点，故R是DICl中点，Rl是BIG中点.

则平面α截正方体ABC。-4BιCιA所得截面为正六边形，

又正方体棱长为2,则PPι=√^7,

故截面面积为6X?X(√^2)2=3√~W故。正确.

故选:ACD.

根据空间几何体的结构特征，结合每个选项的条件计算即可判断每个选项的正确性.

本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查截面面积的求法，属中档题.

13.【答案】(-ɪrɪ

【解析】解：观察数列可知，数列｛αn｝的一个通项公式为册=(-1尸，T

故答案为：(―1尸磊・

观察数列规律可得答案.

本题考查数列的通项公式，解题中需要归纳推理能力，属于中档题.

14.【答案】0.18

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，是一般题.

甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第

二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，

另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率.

【解答】

解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.

甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，

甲队以4：1获胜，则第五场一定是甲胜，

甲队以4：1获胜包含的情况有：

①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036,

②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2=0.6×0,4×0,5×0.5×0.6=0.036,

③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3=0.6×0,6×0,5×0.5×0.6=0,054,

④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p4=0.6×0,6×0.5×0.5×0.6=0.054,

则甲队以4：1获胜的概率为：

P=P1+p2+P3+P4

=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18.

故答案为:0.18.

15.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查数列的最值问题，利用作差或作商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式.

求数列的最大值，可通过作差或作商比较法判断数列的单调性处理.

【解答】

解：令册=如+4)(扔则即＞0,

(n+l)(n+5)(∣)n+1

假设得

n(π+4)(∣)n

_2(n+l)(n+5)>

―3n(n+4)~,

则2(n+l)(n+5)≥3n(n+4),即？ι2≤10,所以几<4,

又n是整数，即Ti≤3时，Qn+ι>Q∏,

当H≥4时，αn+1<Qn,

所以。4最大.

故答案为：4.

16.【答案】IITr

【解析】解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的上设原正四面体的棱长为α,

则其表面积为4X华xα2=Cɑ2,由图易知该多面体与原正四面体相比较，

表面积少了8个边长为Wa的正三角形的面积，

所以该多面体的表面积为，？一8X?Xqa)2=等贮=14√3.所以ɑ=3√^∙

如图，％是下底面正六边形ABCDEF的中心，。2是上底面正三角形MNG的中心，

由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心。在原正四面体的高Pol上，

P∣2∣2宇

O2G=yΓ2×^-×l=^,O1O2=IOA=J(3√^)-(3√τ×^×)=

设球。的半径为R,在RtA。。M中，。42=0m2+。03所以R2=2+。。卜

在RtAOQG中，OG2=。0乡+3G2,所以R2=∕G2+(殍一。。］)2=|+(殍一。。。2,

所以。。£+2=∣+(殍一。Oι)2,解得O/=?,所以R=J。0/+2=子,

所以该多面体外接球的表面积S=4πfi2=llπ.

故答案为：llπ.

求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面面体的

棱长，即可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积.

本题主要考查球的表面积的求解，考查转化能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛arι｝的公差为d,

因为一%=6,可得d==|=2,

又因为S4=一20,可得4%+与X2=—20,

解得的=-8,

所以αn=ɑɪ+(n—l)d=-8+(n—1)×2=2n—10,

即数列｛arl｝的通项公式为a”=2n-10.

(2)由(1)知的=—8,d=2,

所以Sn=Sn+DX2=n2-9n=(n—1)2—^∙>

所以当n=4或n=5时Sn最小，Sn的最小值为S4=S5=-20.

【解析】(1)设等差数列｛即｝的公差为d，根据已知条件求出d、的的值，即可得出等差数列｛arι｝的

通项公式.

(2)求出Sn的表达式，利用二次函数的基本性质即可求得Sn的最小值.

本题考查等差数列的性质，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，

甲从选择题中抽到一题的可能结果有心个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有盘个，

故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有出Cl个；

试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为GloC甘个，

•••甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为碧=白，

CloC9ɪɔ

所求概率为福.

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，

•••甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为雪，

CloC9

甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1-碧=等，

ClOC9ɪɔ

.∙.所求概率为亮

【解析】(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一

题，满足条件的事件是甲从选择题中抽到一题，乙依次从判断题中抽到一题根据分步计数原理知

故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果，根据概率公式得到结果.

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和

乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果.

本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率，本

题第二问也可以这样解霜+斜+普="2+2=总

CloC9CIOC9CloC9°ɪɔɪɔɪɔ

19.【答案】解：⑴年龄在［30,40)的频率为1-(0.008+0.040+0.016+0.012)×10=0.24,补

充完整的频率分布直方图如下图：

(2)所有用户的平均年龄的估计值为10X(0.008×25+0.024×35+0.040×45+0.016×55+

0.012X65)=45,故估计样本中所有用户的平均年龄为45岁；

(3)由分层随机抽样的方法可知，抽取的4人中，年龄在［20,30)内的有1人，记为4

年龄在［30,40)内的有3人，分别记为当,B2,B3,

则从这4人中随机抽取2人的所有基本事件有(4BQ,(A1B2),(AB3),(B11B2),(九%),(B2,B3)

共6种;

记这2人取自不同年龄区间为事件M,其基本事件有(ABJ,(A1B2),(AB3),共3种，

故这2人取自不同年龄区间的概率为P(M)=I

【解析】(1)根据频率分布直方图计算缺少的部分的频率，再补充频率分布直方图即可：

(2)利用频率分布直方图中平均数估计的计算公式计算即可；

(3)根据分层抽样，计算年龄在［20,30)内的有1人，记为4；年龄在［30,40)内的有3人，分别记为当，

B2,B3,由列举法及古典概型的计算公式计算可得答案.

本题考查频率分布直方图的性质和古典概率模型，属于基础题.

20.【答案】解：(1)证明：因为nSn+ι-(n+l)Sn=-n(n+l),所以鬻一个=一1，

所以榭｝是首项为牛=?=9,公差为-1的等差数列.

(2)由⑴得知=f+10,贝IJSn=f2+10"，

所以即=Sn-Sn-I=-2n+ll(n≥2,n∈∕V*),

又—9符合上式，所以Q71=-2n+ll(n∈N*),

设〃表示数列｛∣Qn∣｝的前几项和，

由%l≥0,解得n≤5^,

2

①当几≤5时，Tn=∣α1∣+∖a2∖H----F∖an∖=ɑ1+α2------1-αn=Sn=-n+10n；

②当葭≥6时'Tn=∣α1∣+∣α2H----HIanl=ɑɪ÷ɑz------1-α5—a6—α7--------ɑn=2S5—Sn-

2×(-52÷10×5)-(-n2+10n)=n2-IOn+50,

故T_(-∏2+10n,n≤5,nEN*

,nIn?-IOn+50,九≥6,n∈N-

【解析】⑴由咻+1-何+1咻=一仆+1)可得鬻一知=一1,从而可证明.

⑵由⑴得∙=-n+10,则Srι=-∏2+IOn,利用和与项的关系可得即=一2n+ll(n∈N*),

由即N0,解得n≤52,设〃表示数列｛∣αrt∣｝的前n项和，当n≤5时，Tn=Sn,当n≥6时，Tn

2S5-Sn,从而得到结果.

本题考查等差数列的通项公式，前n项和，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

21.【答案】证明：(1)连接4C.

在直棱柱ABCZ)—A/iGDi中，Ml平面ABeD,

因为BDU平面ABCD,所以BDIA4,

在菱形ABCD中，AC1BD,

^AA1∏AC=A,AA1,ACa^A1AC,

所以。平面

8_L4v4C.

又5所以AC.

4CCFIU1TlC,BDɪ1

(2)取XlZ)的中点G,连接FG,GB.

因为F是DDI的中点，所以FG〃&Dι,FG=2