磁场的性质 带电粒子在磁场及复合场中的运动【讲解】【解析版】-2023年高考物理二轮复习（新教材新高考）

第三部分电场与磁场

专题09磁场的性质带电粒子在磁场及复合场中的运动【讲】

目录

讲高考真题——感悟核心素养....................................................................1

【考情研判】...................................................................................1

【考题分析】...................................................................................1

【题后总结］..................................................................................12

二.讲核心问题――提炼主干必备知识.............................................................13

核心问题一磁感应强度的叠加问题.............................................................13

核心问题二磁场对通电导体的作用力问题.......................................................14

核心问题三带电粒子在匀强磁场中的运动问题...................................................16

核心问题四带电粒子在组合场中的运动问题.....................................................22

核心问题五带电粒子在叠加场中的运动问题.....................................................27

三.讲重点模型——模型构建――动态圆模型.......................................................30

四.讲学科态度——磁与现代科技的应用...........................................................33

讲高考真题--感悟核心素养

【考情研判】

1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题是高考考查的重点和热点，可能以选择题单独命题，也可能结合

其它知识以计算题的形式考查.

2.纵观近几年高考，涉及磁场知识点的题目每年都有，对与洛伦兹力有关的带电粒子在有界匀强磁场中的运动

的考查最多，一般为匀强磁场中的临界、极值问题，其次是与安培力有关的通电导体在磁场中的加速或平衡问

题.

3.新高考命题仍会将带电粒子在匀强磁场中的运动作为重点，可能与电场相结合，也可能将对安培力的考查与

电磁感应相结合.

【考题分析】

【例1】（2022•全国高考真题）两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与。'Q在一条

直线上，PO，与。F在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流/,电流方向如图所示。若一根无限长直

导线通过电流/时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B,则图中与导线距离均为d的M、N

两点处的磁感应强度大小分别为（）

M-

11;

A.B、OB.0、26C.2B、2BD.B、B

【试题情境】本题以通电直导线周围磁场的分布为素材创设学习探索问题情境。

【考核要求】本题考核要求属于基础性。

【必备知识】本题考查的知识点为磁场的叠加。

【关键能力】（1）理解能力：要求能根据题设情境结合安培定则画出直导线周围磁场的分布图。

（2）推理论证能力：根据直导线周围磁场的分布图求解M、N两点处的磁感应强度。

（3）模型构建能力：根据问题情境，建立磁感线的理想化模型。

【学科素养】（1）考查物理观念：①物质观，磁场；②相互作用观，安培力。

（2）科学思维：建立磁感线的理想化模型之后，根据直导线周围磁场的分布的特点分析求解磁场的叠加。

【答案】B

【解析】两直角导线可以等效为如图所示的两宜导线，由安培定则可知，两宜导线分别在M处的磁感应强度方

向为垂直纸面向里、垂直纸面向外，故M处的磁感应强度为零；两直导线在Λ/处的磁感应强度方向均垂直纸面

向里，故M处的磁感应强度为28；综上分析B正确。

故选Bo

M„N

EO'Q

【例2】（2022•全国高考真题）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q（q>0）的

带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为匕，离开磁场时速度方

向偏转90。；若射入磁场时的速度大小为岭，离开磁场时速度方向偏转60。，不计重力，则+为（）

A.ɪB.在C.走D.√3

232

【试题情境】本题以带电粒子在圆形磁场中的运动为素材创设学习探索问题情境。

【考核要求】本题考核要求属于基础性。

【必备知识】本题考查的知识点为洛伦兹力、几何知识。

【关键能力】(1)理解能力：要求能根据题设情境结合圆形磁场径向对称的特点准确分析带电粒子的受力及运动

情况。

(2)推理论证能力：根据左右定则、圆形磁场径向对称的特点、洛伦兹力提供向心力、几何知识等综合推理分析。

(3)模型构建能力：根据问题情境构建匀速圆周运动模型模型。

【学科素养】(1)考查物理观念：①物质观，带电粒子、磁场；②相互作用观，洛伦兹力。

(2)科学思维：能利用运动和相互作用的观念对带电粒子的运动进行分析，根据牛顿第二定律和几何知识推导带

电粒子在运动过程中的速度表达式。

【答案】B

【解析】根据题意做出粒子的圆心如图所示

设圆形磁场区域的半径为R,根据几何关系有第一次的半径

A=R

第二次的半径

r1—y∕3R

根据洛伦兹力提供向心力有

qvB=-

可得

ɪLj=立

v2r23

故选B»

【例3】（2022•河北高考真题）如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为与，

一束速度大小为V的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的

匀强磁场中，磁感应强度大小为刍，导轨平面与水平面夹角为凡两导轨分别与P、Q相连，质量为m、电阻

为R的金属棒必垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为g,不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重

力，下列说法正确的是（）

mgRsinθ

A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，V=ð

tngRs↑nθ

B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，ð

ByB2Ld

__mgRtanθ

C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，

BxB2Ld

m父RtanΘ

D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，

D∣oɔLa

【试题情境】本题以磁流体发动机为背景创设科技探索问题情境。

【考核要求】本题考核要求属于基础性、应用性。

【必备知识】本题考查的知识点为安培力公式、电磁平衡。

【关键能力】（1）理解能力：要求能根据题设情境准确对等离子体进行受力分析和运动分析。

（2）推理论证能力：能正确根据题意建立带电粒子在复合场中的匀速直线运动模型并应用其规律推理分析。

（3）模型构建能力：根据问题情境，电磁平衡模型。

【学科素养】（1）考查物理观念：①物质观，磁场、等离子体；②相互作用观，电场力、洛伦兹力、安培力。

（2）科学思维：建立根据问题情境分析等离子体受力特点，能对等离子体进行准确的运动分析，根据平衡条件及

安培力公式求解得出结论。

【答案】B

【解析】等离子体垂直于磁场喷入板间时，根据左手定则可得金属板Q带正电荷，金属板P带负电荷，则电流

方向由金属棒a端流向b端。等离子体穿过金属板P、Q时产生的电动势U满足

q%=qB∖V

a

由欧姆定律/=与和安培力公式尸=8〃可得

R

再根据金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止，可得

F笠=rngsinθ

则

_mgRs∖nθ

BxB2Ld

金属棒ab受到的安培力方向沿斜面向上，由左手定则可判定导轨处磁场的方向垂直导轨平面向卜。

故选Bo

【例4】(2022•广东高考真题)图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、C围成的区域，

圆α内为无场区，圆。与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆C之间有三个圆心角均略小于90。的扇环形匀强

磁场区回、回和回。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能耳0从圆b上P点沿径向

进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆α与圆b之间电势差为U,圆b半径

为R,圆C半径为6R,电子质量为m,电荷量为e,忽略相对论效应，取tan22.5。=().4。

(1)当々。=0时•，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角。均为45。，最终

从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求回区的磁感应强度大小、电子在回区磁场中的运动时间及在Q

点出射时的动能；

(2)已知电子只要不与回区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当耳O=AeU时，要保证电子从出射区域出

射，求k的最大值。

【试题情境】本题以电子加速器简化示意图为背景创设学习探索问题情境.

【考核要求】本题考核要求属于综合性、应用性。

【必备知识】本题考查的知识点为动能定理、牛顿运动定律、几何知识等.

【关键能力】(1)理解能力：要求能根据题设情境准确对电子受力分析和运动分析。

(2)推理论证能力：能正确根据题意做出电子轨迹并依据动能定理求速度、几何知识求半径、牛顿定律求k。

(3)模型构建能力：根据问题情境，建立液滴的点电荷模型、等势面理想化模型.

【学科素养】(1)考查物理观念：①物质观，电子、加速器、磁场；②运动观，匀速圆周运动③相互作用观，静

电力、洛伦兹力④能量观，动能定理。

(2)科学思维：根据问题情境，磁场、电场的分布特点，能对电子进行准确的受力分析，根据动能定理、牛顿运

动定律、几何知识等求解相关问题。

【答案】(1)5师,亚亚，8“/；(2)ɪɜ

eR4eU6

【解析】(1)电子在电场中加速有

2eU—ɪnιv2

2

在磁场团中，由几何关系可得

∕∙=Rtan22.5=0.4/?

V2

BIeV=m—

r

联立解得

_5∖∣eUm

'eR

在磁场团中的运动周期为

T2兀r

1=---

V

由几何关系可得，电子在磁场网」运动的圆心角为

5

φ--π

4

在磁场回中的运动时间为

ɪr

联立解得

从Q点出来的动能为

Ek=SeU

（2）在磁场团中的做匀速圆周运动的最大半径为小，此时圆周的轨迹与回边界相切，山几何关系可得

22

=R+rm

2eU=-mv^-keU

2

联立解得

【例5】（2022•湖南）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子

的质量为用、电荷量为+4）以初速度V垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在XOy平面

内的粒子，求解以下问题。

（1）如图（a）,宽度为24的带电粒子流沿X轴正方向射入圆心为A（（）,4）、半径为4的圆形匀强磁场中，若带

电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点0,求该磁场磁感应强度4的大小；

（2）如图（a）,虚线框为边长等于"的正方形，其几何中心位于C（0,-乃）。在虚线框内设计一个区域面积最

小的匀强磁场，使汇聚到。点的带电粒子流经过该区域后宽度变为24,并沿X轴正方向射出。求该磁场磁感应

强度感的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；

（3）如图（b）,虚线框回和回均为边长等于4的正方形，虚线框团和回均为边长等于，:1的正方形。在回、回、回和13

中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为4的带电粒子流沿X轴正方向射入团和回后汇聚到坐标原点

0,再经过回和团后宽度变为"，并沿X轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求回和回中磁场磁感应

强度的大小，以及回和回中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。

2r2—H

图(a)

【试题情境】本题以带电粒子流的磁聚焦和磁控束技术为背景创设探索问题情境。

【考核要求】本题考核要求属于应用性、创造性。

【必备知识】本题考查的知识点洛伦兹力、牛顿运动定律、几何知识。

【关键能力】（1）理解能力：要求能根据题设情境抽象、简化出带电粒子流的运动情况并能做出轨迹图。

（2）推理论证能力：能正确洛伦兹力、牛顿运动定律、几何知识分析问题解决问题。

（3）模型构建能力：根据问题情境，建立带电粒子流匀速圆周运动模型。

【学科素养】①物质观，带电粒子流；②运动观，匀速圆周运动③相互作用观，洛伦兹力

（2）科学思维：根据问题情境，磁场的分布特点，能对带电粒子流进行准确的受力分析，根据牛顿运动定律、几

何知识等求解相关问题。

mvmv一.mv„mv1,1,

22

【答案】（I）一;（2）一,垂旦与纸面向里，5,=π/;；（3）BI=—,B111=一，5ll=（-τr-1）^,SlV=（彳万一1）4

"Sqri*"2'"2

【解析】（1）粒子垂直龙进入圆形磁场，在坐标原点O汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径

等于圆形磁场的半径4,粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力

（2）粒子从。点进入下方虚线区域，若要从聚焦的。点飞入然后平行X轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下

方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场

区域

磁场半径为4，根据《田=/nɪ-可知磁感应强度为

B,=—

'qr1

根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为

2

S2=π/;

(3)粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周

2

根据q田="?上可知1I和Ill中的磁感应强度为

r

图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图

图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周枭。8与三角形SAOZf之差，所以阴影部分的面积为

Sl=2(SAClB-SAoB)==(/乃—1)4

类似地可知IV区域的阴影部分面积为

根据对称性可知Il中的匀强磁场面积为

S“=(g%T)W

【例6】(2022•全国高考真题)如图，长度均为/的两块挡板竖直相对放置，间距也为/,两挡板上边缘P和M

处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E;两挡板间有垂直

纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为

VO的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与

挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60。，不计重力。

(1)求粒子发射位置到P点的距离；

(2)求磁感应强度大小的取值范围；

(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。

［试题情境】本题以带电粒子在组合场中运动为背景创设探索问题情境。

【考核要求】本题考核要求属于综合性、创造性。

【必备知识】本题考查的知识点为运动合成与分解、类平抛规律、牛顿运动定律、几何知识。

【关键能力】(1)理解能力：要求能准确获取题目信息画出粒子运动轨迹并能联想相关知识求解问题。

(2)推理论证能力：能正确根据运动合成与分解、类平抛规律、牛顿运动定律、几何知识等分析问题解决问题。

(3)模型构建能力：根据问题情境，建立匀强电场中类平抛模型及磁场中匀速圆周运动模型。

【学科素养】(1)考查物理观念：①物质观，带电粒子、电场、磁场；②运动观，匀速圆周运动③相互作用观,

洛伦兹力、电场力。

(2)科学思维：根据问题情境，电磁场的分布特点，能对带电粒子进行准确的受力分析和运动分析，根据牛顿运

动定律、几何知识等求解相关问题。

雷；⑵缶≤B≤繁；⑶粒子运动轨迹见解析,39-10√3

【答案】(1)z

-74-

【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知

X=%f①

ET②

粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60。，有

tan30°=—=—③

匕%

粒子发射位置到P点的距离

s=^x2÷y2@

由①②③④式得

S号⑤

(2)带电粒子在磁场运动在速度

V=J=j⅛⑥

COS30°3

带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹(分别从Q、N点射出)如图所示

%”合W⑦

最大半径

√2,

带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，山向心力公式可知

"B=对⑨

r

由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围

2ffl½)^B<2mv0

(3+阮/—ql

(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒了运动轨迹如图所示。

由几何关系可知

Sine=

带电粒子的运动半径为

%

L丁⑪

3cos(30o+(9)

粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离

"mM=(4Sin30。+/)-4⑫

山⑩⑪⑫式解得

【题后总结】

1.安培力大小的计算公式：F=8〃SinW其中9为B与I之间的夹角).

(1)若磁场方向和电流方向垂直：F=BIL.

(2)若磁场方向和电流方向平行：F=O.

2.用准“两个定则”

(I)对电流的磁场用安培定则.

(2)对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用左手定则.

3.画好“两个图”

(1)对安培力作用下的静止、运动问题画好受力分析图.

(2)对带电粒子的匀速圆周运动问题画好与圆有关的几何图.

4.记住“两个注意”

(1)洛伦兹力永不做功.

(2)安培力可以做正功，也可以做负功.

5.灵活应用带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的关系式

二.讲核心问题提炼主干必备知识

核心问题一磁感应强度的叠加问题

磁场的叠加

磁感应强度为矢量，遵循平行四边形定则，如图所示.

［例1］如图所示，两根无限长导线，均通以恒定电流/.两根导线的直线部分和坐标轴非常接近，弯曲部分是

以坐标原点。为圆心的、半径相同的一段圆弧.规定垂直纸面向里的方向为磁感应强度的正方向，已知直线部

分在原点。处不形成磁场，此时两根导线在坐标原点处的磁感应强度为A下列四个选项中均有四根同样的、通

以恒定电流/的无限长导线，。处磁感应强度也为8的是()

,y

OX

【答案】：A

【解析】：由安培定则知，两根通电直导线在原点O处产生的磁场方向都垂直纸面向里，由磁场叠加原理知，

一根通电直导线在原点。处产生的磁感应强度的大小为?由安培定则及磁场叠加原理知，A项O处磁感应强度

为B,B项。处磁感应强度为2B,C、D项。处磁感应强度为一A故本题正确选项应为A.

【变式训练11已知长直通电导线在周围某点产生的磁场的磁感应强度大小与电流成正比，与该点到导线的距

离成反比.如图所示，四根电流相等的长直通电导线权c、d平行放置，它们的横截面的连线构成一个正方

形，。为正方形中心，a、b、C中电流方向垂直纸面向里，d中电流方向垂直纸面向外，则a、b、c、d长直通

电导线在。点产生的合磁场的磁感应强度8()

α软--------秘b

∖\/\

\/3、：

：/、'、：

d⑨二__________⅛c

A.大小为零

B.大小不为零，方向由。指向d

C.大小不为零，方向由。指向C

D.大小不为零，方向由。指向“

【答案1D

【解析】：由安培定则可知，4、C中电流方向相同，两导线在。处产生的磁场的磁感应强度大小相等、方向相

反，合矢量为零：6、d两导线中电流方向相反，由安培定则可知，两导线在。处产生的磁场的磁感应强度方向

均由。指向”,故D选项正确.

核心问题二磁场对通电导体的作用力问题

1.通电导体在磁场中受到的安培力

(I)方向：根据左手定则判断.

(2)大小：F=BIL.

①8、/与Z7三者两两垂直；

②L是有效长度，即垂直磁感应强度方向的长度.

2.熟悉“两个等效模型”

（1）变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为“c直线电流.

（2）化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示.

【例2】（2022年衡水中学调研）一通电直导线与X轴平行放置，匀强磁场的方向与XO），坐标平面平行，导线受

3

到的安培力为尸.若将该导线做成j圆环，放置在Xoy坐标平面内，如图所示，并保持通电的电流不变，两端点

而连线也与X轴平行，则圆环受到的安培力大小为（）

【解析】设通电导线为L平行放置时受到的安培力为E制作成圆环时，圆环的半径为R,则（χ2πR=L,

解得R=*,故岫的长度4=位?=嘤S故此时圆环受到的安培力”许=需凡故C正确，A、B、D错

误.

【方法技巧归纳总结】磁场中通电导体类问题的解题步骤

（1）选定研究对象进行受力分析，受力分析时要考虑安培力.

（2）作受力分析图，标出辅助方向（如磁场的方向、通电直导线电流的方向等），有助于分析安培力的方向，由于

安培力F、电流/和磁感应强度B的方向两两垂直，涉及三维空间，所以在受力分析时要善于用平面图（侧视图、

剖面图或俯视图等）表示出三维的空间关系.

（3）根据平衡条件、牛顿第二定律或功能关系列式求解.

【变式训练1】（2022•成都经济开发区实验中学高三月考）在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的等边三角

形线框abc磁场方向垂直于线框平面，αc两点间接一直流电源，电流方向如图所示。则（）

••

b

A.导线必受到的安培力大于导线αc受到的安培力

B.导线Hc受到的安培力大于导线αc受到的安培力

C.线框受到安培力的合力为零

D.线框受到安培力的合力方向垂直于讹向下

【答案】D

【解析】等效电路如图所示，由于导线岫C与ac长度不同，qc中的电流∕∣大于而c∙中的电流N则导线而

受到的安培力小于导线αc受到的安培力，故A错误；导线的有效长度等于αc的长度，Fabc=HI2L,Fac=

BI1L,又Z2V又故F血VFUc，B错误;根据左手定则可知,线框"c受到的安培力的合力F=B加+F,,,=B（∕∣

+h）L=BIL,方向垂直于αc向下，故C错误，D正确。

【变式训练2]（2022•嘉兴市模拟）如图所示，由4根相同导体棒连接而成的正方形线框固定于匀强磁场中，线

框平面与磁感应强度方向垂直，顶点A、B与直流电源两端相接，已知导体棒AB受到的安培力大小为凡则线

框受到的安培力的合力大小为（）

XXXXX

XIXXXlX

×××××

XX×××

ŋ

A.∣FB.∣F

4

C.JD.4F

【答案】C

【解析】导体棒48与导体棒ADCB相当于并联电路，电阻之比与长度成正比，则电阻之比为1：3,所以电

流之比为3：1,所以导体棒OC所受安培力是导体棒AB所受安培力的三分之一，导体棒4。与导体棒CB所受

的安培力大小相等、方向相反，所以线框ABCQ受到的安培力的大小为导体棒A8与导体棒OC所受的安培力

之和，则线框ABco受到的安培力的大小均F,C正确.

核心问题三带电粒子在匀强磁场中的运动问题

1.基本公式：cμ）B=j∏-

HH,4、人mv一2π∕nE2πr

重要结论：「=声’T=谕，7=元

2.基本思路

(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹.

(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角与圆心角、运动时间相联系，在匀强磁场中运动

的时间与周期相联系.

(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式.

3.轨迹圆的几个基本特点

(1)带电粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角.(如图，仇=仇=仇)

(2)带电粒子经过匀强磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角.(如图，α1=α2)

(3)沿半径方向射入圆形匀强磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图.

4.半径的确定

>777；-

方法一：由物理公式求.由于q°B=?，所以半径/■=会nr?)；

方法二：由几何关系求.一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定.

5.时间的确定

方法一：由圆心角求.

2π

方法二：由弧长求.f=⅜

6.临界问题

(1)解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒

子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系.

(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切.

7.多解成因

(1)磁场方向不确定形成多解；

(2)带电粒子电性不确定形成多解；

(3)速度不确定形成多解；

(4)运动的周期性形成多解.

【例3】(2020∙全国卷∏,24)如图，在O0r≤∕?,—∞<y<+8区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度

2的大小可调，方向不变。一质量为，小电荷量为q(g>O)的粒子以速度W从磁场区域左侧沿X轴进入磁场，不

计重力。

(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小

值Bm；

(2)如果磁感应强度大小为守，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与X轴正

方向的夹角及该点到X轴的距离。

【答案】⑴裁2(2)ξ(2—√3)A

【解析】(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子

进入磁场中做圆周运动的半径为R,根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有

qVoB=幅①

由此可得R=黄②

粒子穿过)，轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足

RSh③

由题意，当磁感应强度大小为Sm时，粒子的运动半径最大，由此得

♦

(2)若磁感应强度大小为牛，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为

R=2h⑤

粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在尸点的运动方向与X轴正方向的夹角为α,由几

何关系

sina=Kl

则a=给

由儿何关系可得，P点与X轴的距离为

y=2”(l—cosα)⑧

联立⑦⑧式得y=(2-√5)/?⑨

【例4】(2022•湖南株洲市高三月考)如图所示，半径为r的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一个质

量为，"，电量为q的带电粒子从圆形边界沿半径方向以速度VO进入磁场，粒子射出磁场时的偏向角为60。，不

计粒子的重力。求：

(1)判断粒子的带电性质；

(2)匀强磁场的磁感应强度大小；

(3)粒子在磁场中运动的时间。

【答案】⑴负电(2湛第(3)零

【解析】(1)根据左手定则，初始位置粒子所受洛伦兹力的方向向下，则粒子带负电。

(2)粒子轨迹如图

根据几何知识tan30o=⅛

解得R=yβr

根据qV()B=ιtr^-

解得B=噜%

(3)粒子在磁场中转过的圆心角为6=60。，粒子在磁场中运动的周期为T=等

则粒子在磁场中运动的时间为，=繇T=陪。

【方法技巧归纳总结】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法

（1）带电粒子在匀强磁场中运动时，要抓住洛伦兹力提供向心力，即："B=誓得R=器，T=鬻，运动时间公

式f=4T,粒子在磁场中的运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何

Zπ

知识分析解题.

（2）如果磁场是圆形有界磁场，在找几何关系时要尤其注意带电粒子在匀强磁场中的“四点、六线、三角

①四点：入射点B、出射点C、轨迹圆心A、入射速度直线与出射速度直线的交点。

②六线：圆弧两端点所在的轨迹半径八入射速度直线OB和出射速度直线0C、入射点与出射点的连线BC、

圆心与两条速度垂线交点的连线40.

③三角：速度偏转角/C。。、圆心角/BAC、弦切角NoBC,其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍.

【变式训练1】（多选）（2022•河北唐山市一模）如图，直角三角形OAC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大

小未知的匀强磁场，ZA=30o,OC边长为3在C点有放射源S,可以向磁场内各个方向发射速率为如的同

种带正电的粒子，粒子的比荷为KS发射的粒子有］可以穿过04边界，OA含在边界以内，不计重力及粒子之

间的相互影响.则（）

A.磁感应强度大小为患

Z,ι∖L

B.磁感应强度大小为招

C.OA上粒子出射区域长度为L

D.04上粒子出射区域长度若

【答案】BC

2

【解析】S发射的粒子有，可以穿过OA边界，根据左手定则可知，当人射角与OC夹角为30。的粒子刚好从。

点射出，根据几何关系可知，粒子运动半径为R=L,根据洛伦兹力提供向心力，则有WoB="片ɪ,解得2=3,

AI∖L

则沿。方向入射粒子运动最远，半径为"从OA上射出，故OA上粒子出射区域长度为L,故选B、C.

【变式训练2】.（多选）（2022•河南高二月考）如图所示，空间存在相邻匀强磁场区域，磁场I方向垂直纸面向里，

磁感应强度大小为8,磁场∏方向垂直纸面向外，宽度为去现让质量为〃?、电荷量为q的带正电粒子以水平速

率V垂直磁场I从。点射入，当粒子从磁场∏边缘C处射出时，速度也恰好水平。已知粒子在磁场I中运动时

间是磁场∏中运动时间的2倍，不计粒子重力，贝∣］（）

I×××XC

:X×.X×

II

IXXX×

：××X×

o2XX

X

I×××X

A.磁场II的磁感应强度大小为B

B.磁场II的磁感应强度大小为28

C.磁场I的宽度为24

D.磁场I的宽度为d

【答案】BD

【解析】根据题意，如图，粒子在磁场I、1【中偏转的圆心角，相同，粒子在磁场I中运动时间是磁场II中

运动时间的2倍，即卜多

根据

故B?=2B

选项A错误，B正确;

设磁场【的宽度为X,则有

sin3匹=枭

r∖2/-2

根据r=战，则£=登=2,即r∣=2∕∙2

可得X=",选项C错误，D正确。

核心问题四带电粒子在组合场中的运动问题

1.做好“两个区分”

(1)正确区分重力、电场力、洛伦兹力的大小、方向特点及做功特点.重力、电场力做功只与初、末位置有关，

与路径无关，而洛伦兹力不做功.

(2)正确区分“电偏转”和“磁偏转”的不同.“电偏转”是指带电粒子在电场中做类平抛运动，而"磁偏转''是指带电

粒子在磁场中做匀速圆周运动.

2.抓住“两个技巧”

(1)按照带电粒子运动的先后顺序，将整个运动过程划分成不同特点的小过程.

(2)善于画出几何图形处理边、角关系，要有运用数学知识处理物理问题的习惯.

3.熟记带电粒子在复合场中的三种运动

(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动.

(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在

垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.

(3)非匀变速曲线运动：当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，

粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线.

【例5】(2022年石家庄一模)在如图所示的平面直角坐标系Xo)，中，第一象限有竖直向下的匀强电场，第三、

四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场.一质量为〃八电量为+，/的带电粒子沿X轴正向

以初速度W从40,1.5/)点射入第一象限，偏转后打到X轴上的C(√5∕,0)点.已知第四象限匀强磁场的磁感应

强度大小为黄，不计粒子重力.

(1)求第一象限匀强电场的电场强度大小;

(2)若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为智，求粒子从C点运动到P(0,—3/)点所用的时间；

(3)为使从C点射入磁场的粒子经过第三象限偏转后直接回到A点，求第三象限磁场的磁感应强度大小.

【解析】(1)粒子在第一象限内做平抛运动√5∕=VM

1.51—^cιi1,Eq=ma解得E=%L^

(2)粒子y方向末速度Vy-at解得vy-yβvi)

22

合速度Vi=√V0+Vy=2V0

方向与X轴正向成60。角，斜向右下.

第四象限内粒子做匀速圆周运动，运动半径设为八,

常•解得r∣=2∕

设粒子运动的周期为T1

ffl4π2„-2πr∣ΛzT2π∕

qv∖rB^-2门或「一⅛δ1⅛sT\—

τViVo

如图，粒子从C到尸转过争

运动时间⅛=∣Γ1=∣^

粒子经P点进入第三象限后，设运动半径为r2,

时氏=-^-解得n=l

设粒子运动的周期为八，小I&=陪户解得一=3

如图，粒子从尸点再回到P点所用时间

Γ3⅛+T2=^

2Vo

粒子从C点运动到P点所用的时间为f2+f3=誓

JVo

故粒子从C点运动到P点所用的时间为尊或裂

JVOɔvo

(3)粒子在第三象限或第二象限运动的轨迹如图所示

设粒子在第三象限运动的轨道半径为『3，⅛y轴正方向的夹角为θ

ASin仇an。=1.5/,r3c0sθ+Γ3=3l解得A=1/

ɪd,加力2如汨o,iO^VQ

HlCjv∖By—门解在当-9g∕

【方法技巧归纳总结】带电粒子在组合场中运动的处理方法

(1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等，如例题中磁场在第三象限且垂直纸面向里，电场在第四象

限且竖直向上.

(2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况，如在磁场中受洛伦兹

力做匀速圆周运动，在电场中受电场力做类平抛运动.

(3)画轨迹：正确地画出粒子的运动轨迹图.

(4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的

规律处理.

(5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度是下一个区

域的初速度.

【变式训练1】如图所示，平行板电容器两金属板A、B长L=32cm,两板间距离d=32cm,A板的电势比B

板高。电荷量q=10i°C、质量机=102Okg的带正电的粒子，以初速度％=2xl06m7s沿两板中心线垂直电场

线飞入电场。随后，粒子从O点飞出平行板电容器(速度偏转角为37。)，并进入方向垂直纸面向里、边长为。

=24Cm的正方形匀强磁场区域。(sin37o=0.6,cos37o=0.8,粒子的重力不计)

AM

CD

I

XX*

BN.,rI--×--X-lX

(1)求A、B两板的电势差；

(2)粒子穿过磁场区域后打在放置于中心线上的荧光屏C。上，求磁感应强度B的取值范围。

【答案】(1)300V(2)1.7X1(Γ3TWBW3.75x10FT

【解析】(I)带电粒子射出电场时

Votan

Vy=37°①

Vy=at®

在电场中

UG

√j=m0③

L=V0I(S)

联立①②③④解得4、8两板的电势差为U=300V.

(2)粒子进入磁场的速度为

_Vo

V-COS37°

AM,

I

I

%；CD

带电粒子射出电场时在电场方向上的位移为

y=料2

粒子要打在CC上，当磁感应强度最大时，运动轨迹如图线1所示，设此时的磁感应强度为8∣,半径为R,由

几何关系可得y=Ri+Rcos37。

由洛伦兹力提供向心力可得qvB∖=n^

粒子要打在CD上，当磁感应强度最小时，假设运动轨迹与右边界相切且打在。点,

设此时的半径为此，由儿何关系可得

CD=R2+R2sin37°

解得&=15cm,又由于Rcos37。=12Cm=y,故粒子轨迹圆心恰好在CO上，且打在。点，如图线2所示，

假设成立，设此时的磁感应强度为当

由洛伦兹力提供向心力可得伏&=，友

联立以上各式并代入数据可得磁感应强度2的取值范围为1.7×103T<B<3.75×103K

【针对训练2](2022•山西大同市高三月考)如图所示，平面直角坐标系xθy的第∏、HI象限内有场强大小为E、

沿)，轴负方向的匀强电场；第I、IV象限内有方向垂直于坐标平面向里的圆形有界匀强磁场，磁感应强度B=

装与磁场的半径为2L、边界与)，轴相切于O点。一带电粒子从P(-2L,小幻点以速度VO沿X轴正方向射出，

粒子经电场偏转后从。点离开电场进入磁场，最后从某点离开磁场。不考虑粒子的重力，求：

(1)粒子的比荷；

(2)粒子离开电场时速度的大小及方向；

(3)粒子在磁场中运动的时间。

【答案】⑴鼎(2)2W)与X轴正方向夹角为60。(3)TΓ

乙口LOVo

【解析】(1)粒子在电场中做类平抛运动，设其质量为，“，电荷量为q

尤方向：2L=Vnt\

y方向：√3∆=∣α∕?

粒子在电场中的加速度”=(

解得A=骞。

⑵粒子离开电场时的速度V的大小

v=∙∖∕vfi+^

其中Vyz=∙at\

解得V=2Vo

设粒子离开电场时的速度U与X轴正方向的夹角为仇

v

tanθ八=一V

VO

解得8=60。。

(3)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由牛顿第二定律得qvB=my

解得r=2L

粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在磁场中运动的偏转角为150°,粒子在磁场中做匀速圆周运动

的周期T=平

粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间为B=患150°了

解得『泮

核心问题五带电粒子在叠加场中的运动问题

1.叠加场：电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共