高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材）考点突破练13圆锥曲线的方程与性质

考点突破练13圆锥曲线的方程与性质一、选择题1.(2023北京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且点P的横坐标为4,则|PF|=()A.2 B.3 C.4 D.52.(2023四川达州二模)设F1,F2是双曲线C:x24-y23=1的左、右焦点,过点F2的直线与C的右支交于P,Q两点,则|F1P|+|FA.5 B.6 C.8 D.123.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,A.233 B.2 C.3 D4.(2022全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2 B.22 C.3 D.325.(2023山东青岛一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=3x与C的左、右两支分别交于A,B两点,若四边形AF1BF2A.3+12 B.3 C.3+1 D.56.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点B(0,5p2),则|AF|=(A.23p B.3p C.25p D.2p7.已知点F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M为C的左支上一点,|MF1|=|F1F2|=2c,若圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2A.3+12 B.3+1 C.5 D8.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,AB>CD,若双曲线E以A,B为焦点,且过C,D两点,则双曲线E的离心率的取值范围为()A.1,5+1C.1,3+19.(2023内蒙古赤峰二模)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P,若PF2A.21 B.2 C.2±1 D.2+110.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点(点M在第一象限).若|MN|=|F1F2|,|NFA.6-12 B.61 C.3-11.(2023四川广安二模)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=4x交于点A,B,以线段AB为直径的圆经过定点D(2,0),则|AB|=()A.4 B.6 C.8 D.1012.已知F2,F1是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OFA.3 B.3 C.2 D.213.(2023广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(3,0),F2(3,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=π3,若e2=3,则椭圆C1的方程为(A.x29+y26=C.x212+y29=1 D14.(2023湘豫名校联考二)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,直线l:9x10y57=0与椭圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为B,直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F,且AB=3A.1010 B.C.55或2二、填空题15.(2022全国甲,文15)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C16.(2023全国乙,理13)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为.

17.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O18.(2023陕西安康二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上有不同的三点A,B,P,且A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPA·kPB∈(1419.(2023山东滨州一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过点F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,20.已知F1,F2分别为双曲线:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作圆x2+y2=a2的切线交双曲线左支于点M,且∠F1MF2考点突破练13圆锥曲线的方程与性质1.D解析抛物线y2=4x的准线方程为x=1,由抛物线的定义,得|PF|=4+1=5.故选D.2.C解析由题意得a=2,∴|F1P||PF2|=2a=4,|F1Q||QF2|=2a=4,∴|F1P|+|F1Q||PQ|=|F1P|+|F1Q|(|PF2|+|QF2|)=|F1P||PF2|+|F1Q||QF2|=8.故选C.3.A解析由题意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,c=a2-b2=a2-1,∴e1=ca=a2-1∴e2=ca=32.∵e2=3e1,∴34.B解析设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以yA2=4.所以|AB|=(x5.C解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),而F1(c,0),F2(c,0),显然直线y=3x与F1F2交于原点O,由双曲线对称性知,若四边形AF1BF2是矩形,则|AB|=|F1F2|,由y=3x,x2a2-y2b2=1,消去y,整理得(b23a2)x2则|AB|=1+3|x1x2|=4abb2-3a2,则4abb2-3a2=2c,化简得b46a2b23a4=0,即b2a则e=ca=c2a26.D解析抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2),设A(x1,y1),线段AF的垂直平分线经过点B(0,5p2),所以|BF|=|BA|,即52pp2=x12+(y1-5p2)

2,所以4p2=x12+(y15p2)2,因为x12=2py1,则4y1212py1+9p2=7.A解析作F1D⊥MF2,垂足为D,因为圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,所以|DF1|=c.因为|F1F2|=2c,所以|DF2|=3c,又|MF1|=|F1F2|,所以|MF2|=23c,由双曲线的定义得|MF2||MF1|=2a,即23c2c=2a,所以e=ca=138.B解析如图,设|AB|=2c(c>0),∠BAD=θ,θ∈(0,π2),则|AD|=c,在△ABD中,由余弦定理知,|BD|2=|AB|2+|AD|22|AB|·|AD|cos∠BAD=5c24c2cosθ,∴|BD|=5c2-4c2∴2a=5c2∴离心率e=ca=2c∴cosθ∈(0,1),∴5-4cosθ1∴e∈5+129.D解析设P(x0,y0),因为PF2垂直于x轴,∠PF1F2=45°,所以|F1F2|=|PF2|,x0=c,则c2a2-y02b2=1,解得y0=b2a,故|PF2|=b2a,所以b2a=2c,结合b2=c2a2,可得c22aca2=0,所以e22e1=0,解得e=10.D解析依题意作图:由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,∴四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=π2,|NF1|=|MF2|设|MF2|=x,则|MF1|=2ax,根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即x2+(2ax)2=4c2,整理得x22ax+2b2=0,由于点M在第一象限,则x<a,即x=aa2-2b2,由题意|NF1||MF1|=|MF2||MF1|≥33,则∠MF1F2≥π6,则|MF2|≥12|F1F2|,a11.C解析记m=1k>0,则直线l的方程可表示为x=my2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立x=my-2,y2=4x,消去x,整理得y24my+8=0,Δ=16m232>0,可得m2>2,则y1+y2DA=(x12,y1)=(my14,y1),DB=(x22,y2)=(my24,y2),由已知可得DA⊥DB,则DA·DB=(my14)(my24)+y1y2=(m2+1)y1y24m(y1+y2)+16=8(m2+1)16m2+16=248m2=0,可得m2=3,所以|AB|=1+m2·(12.C解析由题意,F1(0,c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=abx,则点F2到渐近线的距离为bca设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e=2.故选C.13.A解析设椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),双曲线C2:x2a如图,因为椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点,∴c1=c2=3,∵e2=3,∴a2=c2e2=1,b2∴双曲线C2的方程为x2y22=由余弦定理|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,得12=|PF1|2+|PF2|2|PF1|·|PF2|,又∵|PF1||PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a1=6,∴a1=3,b1=a1∴椭圆C1的方程为x29+故选A.14.D解析(方法一)设F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0).因为AB=3FB,所以AF=2FB,即(c,b)=2(x0c,y0).所以x0=3c2,y0=即B(3c2,b因为点B为线段PQ的中点,所以x1+x2=3c,y1+y2=b.又P,Q为椭圆上的点,所以x12a2+y所以直线l的斜率kPQ=y1-y2x1-x2=b2a2·x1+x2y1+y2=b2a2·3c-b=910,化简得3a2=所以bc=3或bc=13,当bc=3时,离心率e=ca=c2(方法二)如图,连接OB,过点F作FE∥BO交y轴于点E,设直线PQ的斜率是kPQ,直线OB的斜率是kOB,则kPQ·kOB=b由AB=3FB知点F为AB的三等分点,所以点E也为OA的三等分点,则E(0,b3)设直线EF的斜率是kEF,所以kOB=kEF=0-b3c-0=b3c,kPQ=910,则有b3c×910=b2a2,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b210bc+所以bc=3或当bc=3时,离心率e=ca=c2b2+c215.2(答案不唯一,只要1<e≤5即可)解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±bax,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需ba由ba≤2,得c2-a2a2≤4,16.94解析因为点A(1,5)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=52,所以抛物线C的准线方程为x=p2=54,所以点A到抛物线17.x2y23=1解析∵点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2∴c=2,ba=3,即b2=3a2又∵c2=a2+b2,∴c2a2=3a2,解得a2=1,b2=3,故双曲线的方程为x2y23=18.(52,2)解析设P(x0,y0),A(x1,y1),∵A,∴B(x1,y1).∴kPA=y0-y1x0∴kPA·kPB=y又点P,A都在双曲线上,∴x02a2-y02∴y∴kPA·kPB=b2a2∈(又b2∴14∴14<e21<1,解得5∴e的取值范围是(52,19.6解析如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为12,所以a=2c,所以b2=a2c2=3c2因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|.则△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=4a=13,所以a=134,c=138,而∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=3