新教材数学高中必修一课时素养评价3-3-2从函数观点看一元二次不等式

课时素养评价十四从函数观点看一元二次不等式(15分钟30分)1.下列四个不等式中解集为R的是 ()A.x2+x+1≥0B.x22QUOTEx+QUOTE>0C.2x2+3x4<0D.x2+6x+10>0【解析】选D.对于D项,不等式可化为QUOTE>1,所以x2+6x+10>0的解集为R,其他不等式相应的方程的判别式均大于0,故解集不为R.2.关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2x1=15,则a=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.原不等式等价于(x+2a)(x4a)<0,a>0,所以不等式的解集为(2a,4a),所以x2x1=4a(2a)=15,解得a=QUOTE.3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ()A.100台 B.120台C.150台 D.180台【解析】选C.y25x=0.1x25x+3000≤0,即x2+50x30000≥0,解得x≥150或x≤200(舍去).故生产者不亏本的最低产量是150台.4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(1,0)和(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是________.

【解析】根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(∞,1)∪(3,+∞).答案:(∞,1)∪(3,+∞)5.若不等式x24x+3m<0的解集为空集,则实数m的取值范围是________.

【解析】由题意,知x24x+3m≥0对一切实数x恒成立,所以Δ=(4)24×3m≤0,解得m≥QUOTE.答案:QUOTE6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),求矩形花园一边长x(单位:m)的取值范围.【解析】矩形的一边长为xm,设另一边长为ym,则由三角形相似知QUOTE=QUOTE,所以y=40x.因为xy≥300,所以x(40x)≥300,所以x240x+300≤0,所以10≤x≤30.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x2)<0的实数x的取值范围为 ()A.(0,2) B.(2,1)C.(∞,2)∪(1,+∞) D.(1,2)【解题指南】先利用☉运算的法则变形,再解不等式.【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b,得x☉(x2)=x(x2)+2x+x2=x2+x2<0,所以2<x<1.2.若不等式ax2xc>0的解集为(2,1),则函数y=ax2xc的图象为 ()【解析】选B.因为不等式的解集为(2,1),所以a<0,排除C、D,又与x轴交点的横坐标为2,1,所以排除A.3.若不等式x22x+5≥a23a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.[1,4]B.(∞,2]∪[5,+∞)C.(∞,1]∪[4,+∞)D.[2,5]【解析】选A.x22x+5=(x1)2+4的最小值为4,所以x22x+5≥a23a对任意实数x恒成立,只需a23a≤4,解得1≤a≤4.【补偿训练】函数y=QUOTE对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是()A.m>2 B.m<2C.m<0或m>2 D.0≤m≤2【解析】选D.由题意知x2+mx+QUOTE≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m22m≤0,所以0≤m≤2.4.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加比例为0.6x,已知年利润=(出厂价投入成本)×年销售量.为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x的范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意,设本年度年利润为y,则y=[(1+0.75x)×12(1+x)×10]×(1+0.6x)×10000=6000x2+2000x+20000,即y=6000x2+2000x+20000(0<x<1).上年度利润为(1210)×10000=20000.所以y20000>0,即6000x2+2000x>0,所以0<x<QUOTE,即x的范围为QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下面所给关于x的不等式,其中一定为一元二次不等式的是 ()A.3x+4<0 B.x2+mx1>0C.ax2+4x7>0 D.x2<0【解析】选BD.根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是,C不一定是,B,D一定是.6.下列结论错误的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为RB.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b24ac≤0C.若关于x的不等式ax2+x1≤0的解集为R,则a≤QUOTED.不等式QUOTE>1的解为x<1【解析】选ABD.A选项中,只有a>0时才成立;B选项当a=b=0,c≤0时也成立;D选项应为0<x<1.三、填空题(每小题5分,共10分)7.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少QUOTEt万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是________.

【解析】设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=2400QUOTE×t%=60(8tt2).令y≥900,即60(8tt2)≥900,解得3≤t≤5.答案:[3,5]8.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则QUOTE=________,关于x的不等式QUOTE>0的解集是________.

【解析】依题意,a>0且QUOTE=1,所以QUOTE=1;不等式QUOTE>0可变形为(axb)(x2)>0,即QUOTE(x2)>0,所以(x+1)(x2)>0,故x>2或x<1.答案:1{x|x<1或x>2}四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知不等式ax23x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax23x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax23x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得QUOTE解得QUOTE(2)由(1)知不等式ax2(ac+b)x+bc<0可化为x2(2+c)x+2c<0,即(x2)(xc)<0.当c>2时,不等式(x2)(xc)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x2)(xc)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x2)(xc)<0的解集为.10.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时,而用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时).经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%?【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75),则新增用电量为QUOTE千瓦时.依题意,有(a+QUOTE)(x0.3)≥a(0.80.3)(1+20%),即(x0.2)(x0.3)≥0.6(x0.4),整理得x21.1x+0.3≥0,解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,又0.55≤x≤0.75,所以0.6≤x≤0.75,因此xmin=0.6,即电价最低为0.6元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.1.对于实数x,当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时,[x]=n,则关于x的不等式4[x]236[x]+45<0的解集为________.

【解析】由4[x]236[x]+45<0,得QUOTE<[x]<QUOTE,又当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时,[x]=n,所以[x]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为[2,8).答案:[2,8)2.当0≤x≤2时不等式QUOTE(2tt2)≤x23x