信号与系统课件：连续信号与系统的时域分析

连续信号与系统的时域分析2.1冲激函数及其性质2.2系统的冲激响应2.3信号的时域分解和卷积积分2.4卷积的基本计算方法2.5卷积的性质2.6连续系统的时域分析习题2

信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及

的函数自变量均为连续时间变量t的一种分析方法。这种方法直观，是学习各种变换域分析方法的基础。

本章首先介绍冲激函数及其性质，冲激响应的求解，然后从任意波形信号的分解出发引出卷积积分，介绍求解零状态响应的时域卷积分析法，讨论信号的卷积积分运算及图解，卷积的运算性质和含有冲激函数的卷积，以便利用这些运算性质来简化一些卷积的运算。

2.1冲激函数及其性质

2.1.1阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数是一类较为特殊的函数，常称为奇异函数。它在线性系统分析以及其它许多科学技术领域中占有重要的地位。

1.阶跃函数

单位阶跃函数定义为

其波形如图2.1－1所示。由式(2.1－1)和图2.1－1所示的波形可看出，单位阶跃函数在t

<0时恒为零，在t>0时恒为1，在跃变点

t=0处，函数值未定义。图2.1－1单位阶跃函数

将单位阶跃函数乘以常数A

，可构成幅值为A

的阶跃函数Aε(t)，表达式为

其波形如图2.1－2(a)所示。若阶跃函数在t=t0

时发生阶跃，则称其为延时阶跃函数，可表示为

其波形如图2.1－2(b)所示。图2.1－2阶跃函数

2.冲激函数

单位冲激函数定义为

和

式(2.1－5)表示单位冲激函数的面积(或强度)为1。单位冲激函数的波形如图2.1－3所示，图中(1)表示其强度。图2.1－3单位冲激函数

单位冲激函数δ(t)十分抽象，它不同于普通函数。它除在原点之外，处处为零，并且具有单位面积值。直观地看，这一函数可以设想为一个窄脉冲的极限。比如一个矩形脉冲，宽度为Δ，高度为1/Δ，其面积为1，在极限情况下，当Δ→0时，它的高度无限增大，但面积始终保持为1，如图2.14(a)所示。图2.1－4矩形脉冲演变为冲激信号

若冲激函数的强度为常数A，则可表示为Aδ(t)，其波形如图2.1－5所示。

若单位冲激函数在t=t0

处出现，则称其为延迟的冲激函数，可表示为

其波形如图2.1－6所示。图2.1－5强度为A的冲激函数图2.1－6延迟的冲激函数

冲激函数代表一些幅值极大而作用时间极短的物理量的数学模型。

在理解冲激函数δ

(t

)时，应注意以下两点:

(1)δ(t)仅在t=0瞬间出现，其幅度为∞

，其余时刻(t≠0)均为零。

(2)

表示冲激函数与时间轴构成的面积，称为冲激函数的强度，标示在该信号的旁边。

2.1.2冲激函数的性质

作为广义函数，冲激函数具有如下常用性质。

1.加权性质

若f

(t

)是一个在t=t0

时连续的普通函数，则有

证明由于冲激函数δ(t-t

0)仅在t=t0时其值为∞，其余时刻均为零，所以连续信号f(t)与冲激函数δ

(t-t

0

)乘积的结果，等于一个强度为f

(t

0

)的冲激函数f(t

0

)δ(t-t

0)，如图2.1－7所示。

在式(2.1－7)中，如果令t=t0，则有图2.1－7加权性质证明图示

2.抽样性质

证明

式(2.1－8)表明：任意连续函数f(t)与冲激函数相乘并从-∞

到∞积分，等于f(t)在冲激函数出现时刻t=t0时的函数值f(t

0)。也就是说，将冲激函数出现时刻t=t0时f(t)的函数值f(t

0)抽出来了。

在式(2.1－9)中，如果令t0=0，则有

3.奇偶性

单位冲激函数δ

(t)为偶函数，即

4.尺度变换性质

这里a为常数，且a≠0。

5.δ(t)与ε(t)的关系

由冲激函数的定义，有

即

式(2.1－14)表明:冲激函数的积分等于阶跃函数。相应地，将式(2.1－14)等式两端微分，有

即单位阶跃函数微分等于冲激函数。

2.1.3冲激偶及其性质

1.冲激偶δ‘

(t)

单位冲激函数的一阶导数称为单位二次冲激函数或冲激偶，表示为

其图形如图2.1－8所示。图2.1－8单位二次冲激函数或冲激偶

图2.1－

9冲激偶的演变

从图2.1－9可看出

2.冲激偶的性质

1)加权性质

若函数

f(t

)和f'(t

)在t=t0

时连续，则

3)奇函数性质

冲激偶δ'(t)是奇函数，关于原点对称，在全时域对其积分，正、负两个冲激的面积相互抵消，其积分为零，如式(2.1－18)。

2.2系统的冲激响应

线性非时变连续系统的单位冲激响应，是指系统初始状态为零，激励为单位冲激信号δ

(t)作用下的响应，即单位冲激信号δ(t)作用下系统的零状态响应，用h(t)表示。由于冲激响应h

(t

)在时域卷积分析法中起着十分重要的作用，因此必须掌握计算它的方法，下面讨论其求取方法。

1.给定具体电路求冲激响应h(t)

对于简单电路，直接计算该电路在单位冲激信号δ

(t

)作用下的零状态响应，即冲激响应h

(t

)。现举例说明如下。

【例2.2－1】RC并联电路如图2.2－1所示，激励为电流源iS

(t)，响应为电压uC

(t

)，试求电路的冲激响应h

(t)。图2.2－1例2.2－1用图

解由于电路是零状态，故uC

(0-)=0，当iS

(t

)=δ(t)在t=0时接入电路，根据KCL和VCL，列出电路的微分方程为

对上式两边从t

=0-到t

=0+

取积分，得

因为电容电压uC

(t

)是有限的，故图2.2－2RL串联电路

这里顺便指出，在经典的电路理论中，常常强调电容电压和电感电流都不能突变，但从上述例子可知，在单位冲激信号激励下，情况并非如此。这是因为单位冲激电流源或电

压源是理想化的具有无限瞬时功率的信号源，它们能在瞬间供给足够的能量，改变系统的储能状态，从而使电容电压或电感电流发生突变。

对于较复杂的任意阶电路，可用复频域分析法求冲激响应h

(t)，在第4章中介绍。

2.给定系统的微分方程求冲激响应h(t)

描述一个n阶连续系统的微分方程为

式中，

x

(t

)为输入信号;y(t)为输出信号;a0

、a1

、…、an

，

b0

、b1

、…、bm

均为常数。现改变式(2.2－1)使等号右侧为x(t

)，即

由此可得，对于如式(2.2－2)所示的微分方程，可求解相应的齐次方程，代入式(2.2－5)和式(2.2－6)n个初始条件，即可得到在t>0时的冲激响应h0(t)，然后根据系统的线性非时变特性，求得式(2.2－1)所示微分方程的冲激响应

然后，根据系统的线性非时变特性，得

当然，给定系统微分方程求解冲激响应h(t

)，也可用复频域分析方法，在第4章中介绍。

2.3信号的时域分解和卷积积分

上一节我们介绍了冲激函数和冲激响应，在此基础上，本节讨论任意波形的信号将可以分解为连续的冲激信号之和，进而说明卷积积分的物理意义。

2.3.1信号的时域分解

对于任意波形的信号x

(t)，我们可以用一系列矩形脉冲来近似，如图2.3－1所示。所有矩形脉冲的宽度为Δ，其高度随着它在时间轴上的位置而不同，对于在t=nΔ时刻出现的矩形脉冲，其高度为x

(nΔ)，即该时刻的x(t)值。图2.3－1任意波形信号的分解图2.3－2门函数表示

将每一个小的矩形脉冲用门函数来表示，门函数的来表示方式如图2.3－2所示。这样，原信号x(t

)就可近似地表示为无穷多个矩形脉冲之和，即

显然，脉冲宽度Δ取得越小，近似越好。当脉冲宽度Δ→0时，式(2.3－1)可表示为

当Δ→0时，

Δ→dτ，

nΔ成为新变量τ

，求和变成对连续新变量τ

的积分。由于当脉冲宽度Δ→0时，门函数变为冲激函数(如图2.1－9(a)、(b)所示)，即有

于是式(2.3－2)便可写为

式(2.3－3)表明:任意波形的信号x(t)可以分解为无穷多个连续的冲激信号之和。

在数学上，将式(2.3－3)这种积分运算定义为卷积积分，简称为卷积。记作

一般而言，两个函数f1

(t)与f2

(t)的卷积积分写为

2.3.2时域卷积分析法

下面研究系统在任意波形的信号x

(t)作用下的零状态响应。对于线性非时变系统来说，激励和响应之间存在一一对应关系。若系统在单位冲激信号δ

(t

)作用下引起的零状态响应为冲激响应h(t

)，则有

于是，任意波形信号x

(t

)作用于线性系统引起的零状态响应为

式(2.3－6)表明:线性非时变系统的零状态响应yzs(t)是激励信号x(t)与冲激响应h(t)的

卷积积分，记作

一旦求得系统的冲激响应h(t)，只要计算任意激励信号x(t)和与h(t)，的卷积积分，就可求得x(t)的零状态响应yzs(t)。这种方法使零状态响应的计算大为简化，通常称这种分析方法为时域卷积分析法。

2.4卷积的基本计算方法

卷积积分作为一种数学工具，其基本计算方法有两种，即函数式计算法(又称解析法)和图解法。2.4.1卷积的函数式计算法如果作卷积运算的两个信号以函数式给出，则用函数式计算卷积较为方便。此方法的关键是在卷积计算过程中确定出积分的上下限和卷积生成函数的非零值定义域。现举例说明。

2.4.2卷积的图解法

卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程并加深对其物理意义的理解，而且在确定卷积积分的上下限时，卷积的图解将是一个极有用的辅助手段。

前面已给出两个函数卷积积分的计算式为

由此得卷积积分图解法的主要步骤如下:

(1)画出f1

(t)和f2

(t)的波形，将图中的t轴改换成轴，分别得到f1

(τ)和f2

(τ

)的波形。

(2)将f2

(τ

)的波形以纵轴为轴线反折，得到f2

(-τ

)波形。

(3)将f2

(-τ

)波形沿τ轴平移一个t值。在t<0时，波形向左移；在t>0时，波形向右移。这样就得到了f2

(t

-τ)的波形。

(4)将f1

(τ)和f2

(t-τ)相乘，得f1

(τ)f2

(t-τ)，然后计算积分值它是f1

(τ)f2

(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积。

(5)将f2

(t-τ)波形连续地沿τ轴平移，就得到在任意时刻t

的卷积积分f1

(τ)*f2

(t)。

【例2.4－4】试用图解法求图2.4－1所示两个函数的卷积。图2.4－1例2.4－1用图

【例2.4－5】已知某系统的激励信号x(t)和冲激响应h

(t)的波形如图2.4－4所示。

试求该系统的零状态响应yzs(t)=x(t)*h(t)。图2.4－4例2.4－5用图

解①首先改换变量，将图中x(t)和h(t)的变量

t改换成τ

，如图2.4－4所示。

②作h(τ)反折和平移，如图2.4－5(a)、(b)所示。图2.4－5h(τ)的反折和平移图2.4－6卷积的求解过程

④将上述结果整理，得

2.5卷积的性质

作为一种数学运算，卷积运算具有某些特殊性质，这些性质在信号与系统分析中有重要作用。利用这些性质可使卷积运算大为简化。

2.5.1卷积的运算性质

1.卷积代数

通常，代数中的乘法运算性质也适用于卷积运算。

(1)交换律。

证明

(2)分配律。

证明

(3)结合律。

证明

而

故式(2.5－3)成立。

2.卷积的微分与积分

卷积代数运算的规律与普通乘法类似，但卷积的微分或积分运算却与普通两函数相乘的微分或积分运算不同。

设y

(t

)=f1

(t)*f2

(t

)，则有

(1)卷积的微分性质

证明

同理可证

(2)卷积的积分性质。

证明

同理可证

2.卷积的微分与积分

卷积代数运算的规律与普通乘法类似，但卷积的微分或积分运算却与普通两函数相乘的微分或积分运算不同。

设y

(t)=f1

(t)*f2

(t

)，则有

(1)卷积的微分性质。

证明

同理可证

(2)卷积的积分性质。

证明

同理可证

(3)卷积的微积分性质。

综合上述，卷积的微积分性质可以进一步推广，其一般形式可写成

式中，

i、j或i+j为正整数时，表示导数的阶数；为负整数时，表示重积分的次数。

2.5.2与冲激函数或阶跃函数的卷积

1.与冲激函数δ(t)的卷积

任意函数f

(t

)与单位冲激函数δ(t)卷积的结果仍然是函数f(t)本身。

式(2.5－9)表明，任意函数f(t)与一个有时移的单位冲激函数δ

(t-t0)作卷积，其结果等于将该函数f

(t

)移至冲激出现的时刻，而波形不变。这一性质称为冲激函数的重现性质(RelicationProperty)。

2.与冲激偶δ‘(t)的卷积

利用卷积的微分性质，得

由此可见，任意函数f

(t)与冲激偶δ

’(t)的卷积等于f(t)的导数。

同理有

证明

3.与阶跃函数ε(t)的卷积

利用卷积的积分性质，有

证明

式(2.5－12)表明，任意函数f(t)与阶跃函数ε(t)的卷积等于函数f(t)的积分。

同理有

证明

即任意函数f

(t

)与时延阶跃函数ε(t-t0

)作卷积，等于将该函数时延t0

作积分。

关于卷积的运算性质以及含有冲激函数或阶跃函数的卷积在简化卷积运算方面的应用，通过下面具体例子加以说明。

【例2.5－3】已知x(t)和h(t)的波形如图2.5－1所示，试画出x(t)*h(t)的波形。图2.5－1例2.5－3用图(一)

解根据冲激函数的重现性质，先将h

(t

)求导得h‘(t)，如图2.5－2(a)所示。再由式(2.5－4)和式(2.5－9)，可得

由此画出y’(t

)的波形，如图2.5－2(b)所示。然后对y‘

(t

)波形进行积分，得到y(t)波形，即x

(t)*h(t)的波形，如图2.5－2(c)所示。图2.5－2例2.5－3用图(二)

【例2.5－4】已知函数f1

(t)的波形如图2.5－3(a)所示，函数f2

(t)=δ(

t)+2

δ

(t

-1)+δ(t

-2)，试画出f1

(t)*f2

(t)的波形。图2.5－3例2.5－4用图

解利用冲激函数的重现性质，有

由此画出f1

(t)*f2

(t)的波形，如图2.5－3(b)所示。

【例2.5－5】已知函数f1

(t)的波形如图2.5－4所示，设函数f2

(t)=δ'(t+1)+δ

'(t-1

)，试画出y(t)=f1

(t)*f2

(t)的波形。图2.5－4例2.5－5用图(一)

解

应用任意函数与冲激偶卷积公式(2.5－11)，有

由此画出f‘1(t)、f’1(t+1)、f‘1(t-1)和y(t)的波形，如图2.5－5所示。图2.5－5例2.5－5用图(二)

【例2.5－6】设x(t)和h(t)的波形如图2.5－6所示，试画出x(t)*h(t)的波形。图2.56例2.56用图(一图2.5－7例2.5－6用图(二)

2.6连续系统的时域分析

线性非时变系统的全响应可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是输入激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应，用yzi(t

)表示;零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入激励所引起的响应，用yzs(t

)表示。这样，线性非时变系统的全响应是零输入响应和零状态响应之和，即

1.零输入响应yzi

(t)

第1章已介绍，描述线性非时变连续系统的数学模型是常系数线性微分方程，在零输入条件下，式(2.2－1)所示微分方程等号右端为零，化为齐次方程，即

所以零输入响应对应的是齐次微分方程的解。若其特征根均为单根λi

(i=1，

2，…，

n)，则其零输入响应形式为

式中，

Ci为待定系数，由给定的系统初始状态确定。

若特征根含有

p重根，则重根部分对应的零输入响应形式为

解之得

故零输入响应

2.零状态响应yzs(t)

若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时式(2.2－1)仍是非齐次方程。若其特征根均为单根λi

(i=1，

2，…，

n)，则其零状态响应形式为

式中，

Ci为待定系数。

由式(2.6－5)可见，零状态响应包含齐次解和特解两部分。由于输入激励是各式各样的，所以求解非齐次微分方程是较复杂的。为了解决求系统零状态响应这一困难，可采用

时域卷积分析法，或复频域分析法(第4章介绍)。

【例2.6－2】已知系统的微分方程为

y″(t)+3y‘(t)+2y(t)=x’(t)+3x(t)，输入激励x(t)=ε(t)，求系统的零状态响应。

解首先求y″(t)+3y'(t)+2y(t)=x(t)的冲激响应h0(t)。其特征方程为

解得特征根λ1=-1，

λ2=-2，则

习题2

2．1利用冲激函数的加权性质化简下列各函数。

2．2利用冲激函数的抽样性质计算下列积分值。

2．3试证明

2．4试求下列各函数值。

2．5电路如题2－5图所示，其中iS(t)和uS

(t)为激励，

i(t)为响应，试求该电路的冲激响应。

2．6试计算下列卷积。

2．7某线性时不变连续系统的激励x(t)和零状态响应yzs(t)由下式相联系

试求:(