(含答案解析)2023广州高三二模-数学

2023年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．7+ai1若a为实数，且=2-i，则a=(3+i)A.2B.1C.-1D.-2()2已知集合A=x∣x=3n-2,n∈N*，B={6,7,10,11}，则集合A∩B的元素个数为A.1B.2C.3D.43已知两个非零向量a，b满足a=3b，b⟩=则cos⟨a，a+b⊥b，A.12(D.-13()B.-12C.134已知a=3，b=2，c=4，则A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a)5木升在古代多用来盛装稂食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升．某同学制作了一个高为40 cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为A.22325C.5232D.5B.()y2x26已知椭圆C：2+2=1a>b>0，过点-a,0且方向向量为n=1,-1的光线，经直线y=-b反射后过abC的右焦点，则C的离心率为()A.35B.23C.34D.45()7已知函数fx=sin2x+φ，若fx≤fA.C.π2πkπ+,kπ+k∈Z63ππkπ-,kπ+k∈Z36ππ恒成立，且fπ>f则fx的单调递增区间为4，3ππB.kπ-,kπ+k∈Z632ππD.kπ-,kπ-k∈Z368已知偶函数fx与其导函数fx的定义域均为R，且fx+e-x+x也是偶函数，若f2a-1<fa+1，则实数a的取值范围是A.-∞,2B.0,2C.2,+∞D.-∞,0∪2,+∞()试卷第1页，共10页二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床．加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台轪床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.981D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为310已知函数fx=1-4x的定义域是a,ba,b∈Z，值域为0,1，则满足条件的整数对a,b可以是x2+4(B.-1,1C.0,2D.-1,2())A.-2,011已知双曲线Γ:x2-y2=a2a>0的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D(A，B在第一象限，C，D在第四象限)，O为坐标原点，则下列结论正确的是(A.若BC⊥x轴，则△BCF1的周长为6aC.△AOD面积的最小值为4a2B.若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC⎳EF1D.AB+BF1的取值范围为3a,+∞)12已知正四面体A-BCD的棱长为2，点M，N分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是A.若AP+BP取得最小值，则CP=PNB.若CP=3PN，则DP⊥平面ABCC.若DP⊥平面ABC，则三棱雉P-ABC外接球的表面积为D.直线MN到平面ACD的距离为26927π2()三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13某班有48名学生，一次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N80,σ2，且成绩在80,90上的学生人数为16，则成缋在90分以上的学生人数为14已知n∈N*，x-。。。1n的展开式中存在常数项，写出n的一个值为x215在数列an中，a1=2，am+n=am+an，若akak+1=440，则正整数k=16在平面直角坐标系xOy中，定义dA,B=x1-x2+y1-y2为Ax1,y1，Bx2,y2两点之间的“折线距离”．11动点P满足dQ,P=，点M是曲线y=2上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积已知点Q1,0，2x为，d(P,M)的最小值为。(第一个空2分，第二个空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步䅼．17(10分)已知a3=0，an+1+-1nSn=2n．设Sn是数列an的前n项和，(1)求a1，a2；(2)令bn=an+1+2an，求b2+b4+b6+⋯+b2n．18(12分)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本．为了调查年技术创新双入x(单位：千万试卷第2页，共10页元)对每件产品成本y(单位：元)的㿟响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yii=1,2,3,⋯,10的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：yi111010x=6.8，y=70，∑10=3，∑=1.6，∑=350．i=1i=1i=1xixix2ib(1)根据散点图可知，可用函数模型y=+a拟合y与x的关系，x试建立y关于x的回归方程；(2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的y22y200关系为m=-+++100．该企业的年投入成本除500y-1025了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？(注：年利润=年销售额一年双入成本)⋯，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，un,vn，uivi-nuv别为：β=i=1nnui-nui=122，α=v-βu．19(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA-acosB=b-c．(1)求A；(2)若点D在BC边上，且CD=2BD，cosB=20(12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD⎳平面BC1E．(1)求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；(2)当三棱雉B1-BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．21(12分)P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．已知点F1,0，(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N．当四边形MANB的面积最小时，求l的方程．22(12分)gx=ax2+x．已知函数fx=ln1+x，求实数a的取值范围；(1)当x>-1时，fx≤gx，111(2)已知n∈N*，证明：sin+sin+⋯+sin<ln2．n+1n+22n3，求tan∠BAD．3试卷第3页，共10页2023年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学试题参考答案及评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度,可视影吅的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半:如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给卸数分数.选择题不给中间分.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.题号答案1C2B3D4D5A6A7D8B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.9.BC10.ACD11.BD12.BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.814.3或者3kk∈N*15.101316.,×32-122四、解答题:本题共6小题,共70分.17.(10分)(1)解:由an+1+-1nSn=2n,得a2-S1=2,即a2-a1=2,1分a3+S2=4,即a3+a1+a2=4,又a3=0,所以a1=1,a2=3.(2)解:当n=2k时,a2k+1+S2k=22k,(1)当n=2k-1时,a2k-S2k-1=22k-1,(2)(1)+(2)得a2k+1+a2k+S2k-S2k-1=22k+22k-1,得a2k+1+2a2k=3×22k-1.1因为bn=an+1+2an,所以b2+b4+b6+⋯+b2n=a3+2a2+a5+2a4+a7+2a6+⋯+a2n+1+2a2n=3×2+3×23+3×25+⋯+3×22n-12×1-4n=3×1-42n+1=2-2. 18.(12分)(1)解:令u=1,则y关于u的线性回归方程为y=α+βu,x试卷第4页，共10页uiyi-10uy依题意,得β=i=11010ui-10ui=12=350-210=200,1.6-0.9α=y-βu=70-200×0.3=10则y=10+200u.200.x200200(2)解法1:由y=10+,得x=,xy-10年利润M=m-x-10所以y关于x的回归方程为y=10+y22y=-++200+100-200-10500y-10y-1025=-1y-202+90.8.500解法2:由y=10+200,x年利润M=m-x-10当11=,即x=20时,年利润M取得最大值,x20所以，当年技术创新投入为20千万元时,年利润的预报值最大.19.(12分)(1)解法1：因为bcosA-acosB=b-c,y22y=-++200+100-x-10500y-10252=-110+200+210+200+x+100-x-10xx500252=-801-1+90.8.20xa2+c2-b2b2+c2-a2-a⋅=b-c,2ac2bc化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理有b⋅1b2+c2-a2=,由余弦定理得cosA=22bc因为0<A<π,π所以A=.3解法2：因为bcosA-acosB=b-c,abc由正弦定理==,sinBsinCsinA得sinBcosA-sinAcosB=sinB-sinC,因为C=π-A+B,所以sinBcosA-sinAcosB+sinA+B=sinB.化简得sinBcosA+sinBcosA=sinB,因为sinB≠0,1所以cosA=.2因为0<A<π,π所以A=.3(2)解:由cosB=63,得sinB=1-cos2B=.332π-B,因为A+B+C=π,得C=3试卷第5页，共10页sinC=sin2π-B=sin2πcosB-cos2πsinB333=3×3+1×62233=1+6.26π设∠BAD=θ,则∠CAD=-θ.3在△ABD和△ACD中,由正弦定理得BD=AD=3AD,sinBsinθ6CD=AD=6AD,sinC3+6sinπ-θ3π因为CD=2BD,上面两式相除得6sin-θ=3+6sinθ,313得6cosθ-sinθ=3+6sinθ,22即2cosθ=2+6sinθ,=3-2.2+6所以tan∠BAD=3-2.得tanθ=20.(12分)解法一:(1)证明:取BC1的中点F,连接DF,EF,因为点D是BC的中点,所以DF⎳CC1⎳AA1,DF=则A,E,F,D四点共面.因为AD⎳平面BC1E,平面AEFD∩平面BC1E=EF,所以AD⎳EF.因为AB=AC,所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,则AD⊥CC1.又BC∩CC1=C,BC⊂平面BB1C1C,CC1⊂平面BB1C1C,所以AD⊥平面BB1C1C. 所以EF⊥平面BB1C1C.又EF⊂平面BC1E,所以平面BC1E⊥平面BB1C1C.(2)解:由(1)可知四边形AEFD是平行四边形,所以AD=EF.设BC=2a0<a<3,在Rt△ADB中,AD=AB2-BD2=9-a2,所以EF=9-a2.三棱锥B1-BC1E的体积a2+9-a21192V×⋅BB1⋅B1C1⋅EF=a9-a≤=.B-BCE=VE-BBC=232232时,等号成立.当且仅当a=9-a2,即a=2故当三棱锥B1-BC1E的体积最大时,BC=2a=32.211CC1=AA1=AE.222在Rt△ADC中,AD=AC2-CD2=32.2以D为原点,DB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,DF所在直线为z轴,试卷第6页，共10页建立空间直角坐标系D-xyz,则B32323,0,0,E0,-,,222C1-32,0,3,A0,-32,0,C-32,0,0,222BE=-32,-32,3,BC1=-32,0,3,222AC=-32,32,0.22设平面BC1E的法向量为n=x,y,z,32332n⋅BE=0,x-y+z=0,-222由得n⋅BC1=0,-32x+3z=0,令x=1,则z=2,y=0.所以平面BC1E的一个法向量为n=1,0,2.32-n⋅AC62==-.则cos⟨n,AC⟩=63×3nAC设直线AC与平面BC1E所成角为θ,6.则sinθ=cos⟨n,AC⟩=6所以直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为解法二:(1)证明:延长C1E交CA的延长于点F,连接BF,因为AD⎳平面BC1E,平面ABC∩平面BC1E=BF,AD⊂平面ABC,所以AD⎳BF.因为AB=AC,所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,则AD⊥CC1.又BC∩CC1=C,BC⊂平面BB1C1C,CC1⊂平面BB1C1C,所以AD⊥平面BB1C1C.所以BF⊥平面BB1C1C.6.6又BF⊂平面BC1E,所以平面BC1E⊥平面BB1C1C.(2)解:由于D是BC的中点,则A是CF的中点,E是AA1的中点,BF=2AD.设BC=2a0<a<3,在Rt△ADB中,AD=AB2-BD2=9-a2,所以BF=29-a2.三棱锥B1-BC1E的体积22a+9-a1119V×⋅BB1⋅B1C1⋅BF=a9-a2≤=.B-BCE=VE-BBC=3222232当且仅当a=9-a2,即a=时,等号成立.2故当三棱雉B1-BC1E的体积最大时,BC=2a=32.2作CG⊥BC1于G,连接FG,因为平面BC1E⊥平面BB1C1C,平面BC1E⋂平面BB1C1C=BC1,试卷第7页，共10页所以CG⊥平面BC1E.所以∠CFG为直线AC与平面BC1E所成的角.在Rt△BCC1中,BC1=BC2+CC12=33,CG=在RABCF中,sin∠CFG=CG6=,6CF6.6BC⋅CC1=6,BC1所以直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为另法:由于D是BC的中点,则A是CF的中点,E是AA1的中点,BF=2AD.设BC=2a0<a<3,在Rt△ADB中,AD=AB2-BD2=9-a2,所以BF=29-a2.三棱雉B1-BC1E的体积a2+9-a211912×⋅BB1⋅B1C1⋅BF=a9-a≤=.VB-BCE=VE-BBC=2223232当且仅当a=9-a2,即a=时，等号成立.2故当三棱雉B1-BC1E的体积最大时,BC=2a=32.2由于BC2=AB2+AC2,则AB⊥AC.又平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,则AB⊥平面ACC1A1.设A1到平面BC1E的距离为h,由VA-BCE=VB-ACE,111139得h⋅S△BCE=⋅AB⋅S△MCE=×3××3×=,333224961,而S△BCE=⋅BC1⋅AD=426.所以h=2因为AC⎳A1C1,所以直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为sinθ=6h=.6A1C121.(1)解法1:设点P(x,y),以PF为直径的圆的圆心为Mx,y,x+1y,y=.由于M为PF的中点,则x=22依题意得MF=x,即x+1-12+y2=x+1,222化简得y2=4x.所以C的方程为y2=4x.解法2:设点Px,y,以PF为直径的圆的圆心为M,⊙M的半径为r,则PF=2r.设⊙M与y轴的交点为N,过点P作PQ⊥y轴于点Q,在梯形OFPQ中,r=MN=则PF=2r=x+1.所以点P到点F的距离等于点P到直线x=-1的距离.所以点P的轨迹是以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线.所以C的方程为y2=4x.(2)解法1:根据题意,直线l的斜率存在,设直线l:y=kx-1,Ax1,y1,Bx2,y2OF+PQ2=1+x，2试卷第8页，共10页由y=kx-1,消去y,整理得kx-2k+2x+k=0,2222y2=4x,2k2+2,x1x2=1，由韦达定理得:x1+x2=k2设直线l的倾斜角为θ,则AM=AFtanθ,BN=BFtanθ,所以AM+BN=AF+BFtanθ=ABtanθ=kAB.4k2+4所以AB=AF+BF=x1+1+x2+1=.k2由题意知四边形MANB为梯形,所以四边形MANB的面积S=AM+BNAB2=ABk228k2+12=3k8k4+2k2+1=3k8t4+2t2+121设t=k∈0,+∞，则St==8t++3，3ttt428t-2t-38t-3t+3t2+123St=81-2-4==,tt4t4t当0<t<3时,St<0;当t>3时,St>0,在3,+∞上单调递增.所以St在0,3上单调递减，所以当t=k=3,即k=3或k=-3时,四边形MANB的面积取得最小值,此时直线l的方程为y=3x-1或y=-3x-1,即3x-y-3=0或y2=4x,3x+y-3=0.解法2:设直线l:x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2,由x=my+1,消去x,整理得y-4my-4=0,2由韦达定理得y1+y2=4m,y1y2=-4,-4y1y2=16m2-4×-4=4m2+1.y1y1直线AM的方程为y-y1=-mx-x1,令y=0,得x=+x1,即M+x1,0.mmy2+x2,0.同理可得Nm所以四边形MANB的面积所以y1-y2=y1+y22S=S△MM+S△BMN=1MNy1+1MNy2=1MNy1-y2222yyyy=11+x1-2-x2y1-y2=11+my1+1-2-my2+1y1-y2mm2m2m22m+111122=+my1-y2=8+mm+1=8.2mmm8t4+2t2+18t2+13t2-1设t=m∈0,+∞,则St=,St=,tt233时,St<0;当t>时,St>0,当0<t<3333上单调递减,在所以St在0,3,+∞上单调递增.3333所以当t=m=,即m=或m=-时,四边形MANB的面积取得最小值,333