2023届高三第一次学业质量评价（T8联考）数学试卷及答案

ꢀꢀꢀꢀꢀ广东实验中学东北育才中学石家庄二中华中师大一附中ꢀ八校ꢀꢀ西南大学附中南京师大附中湖南师大附中福州一中()联考届高三第一次学业质量评价数学试题ꢀ考试时间年月日上午试卷满分分考试用时分钟:注意事项,、.答卷前考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上,,.回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如,,.,.需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上.,写在本试卷上无效.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回、:８,５,．,一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是．符合题目要求的,１．复数满足２＝z＝则１１＋i２２１１１１C－iD＋i２２２２{{M＝N＝MN＝若集合x则３xC．xx}}D．R或},“”“”SnanaSn已知是数列{n}的前项和则是{}是递增数列的n充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件,,,５５某同学掷骰子次分别记录每次骰子出现的点数根据次的统计结果可以判断一定６没有出现点数的是,,３２３２中位数是众数是平均数是中位数是,,２３２方差是平均数是平均数是众数是ꢀꢀ６数学试题第页共页π１π()(＝,＋－＝２＋已知则６２６１１３３２２４４,,,１３已知圆台上底面半径为下底面半径为球与圆台的两个底面和侧面均相切则该圆台的侧面积与球的表面积之比为４４３(６３３()(),()),()x′xRx＝xx′x已知函数f及其导函数f的定义域均为记gf若f为奇,(),()２＝函数gx为偶函数则ACD２２:(,(C＋lPQP已知椭圆直线过坐标原点并交椭圆于两点在第一象２２若直线,,,AxP２B交椭圆于点限点是轴正半轴上一点其横坐标是点横坐标的倍直线,恰好是以为直径的圆的切线则椭圆的离心率为１２３６２２３３、:４,５,．,二选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的选项中有多项符合题目．５,２,０．要求全部选对的得分部分选对的得分有选错的得分,,,,,,BCDMNPBD在正方体中分别是面面面的中心则下列１１１１１１１１结论正确的是∥平面１⊥MD．平面与的图像向左平移,１所成的角是ππ()()x２＋((),．＜x将函数fφφ个单位得到函数g的图像２４()()若gx的图像与fx的图像关于轴对称则下列说法正确的有yπ＝φ４ꢀꢀ６数学试题第页共页πB．＝－φ４()()xxg的对称轴过f的对称中心ππππé,ù,éë,ù,()()m∈－∈－m＝nêúêú使得fgê４８úê４８úëûû,,,．aS＝S＋n∗设数列{}的前n项和为且()()()()若nnn,１＝则下列结论正确的有A．５,SS当时取得最小值的最小值为n,n７当时nS,n取得最小值当时anx()(),()(),．x′xR′x－x＝０＝已知函数f及其导函数f的定义域均为若fff()ex,f１则下列结论正确的是()１ππ(()B．′＜ff２２１()()′x＝x＋方程ff有两个解２π()０(),xf在区间上单调递增２、:４(,５,．三填空题本题共小题每小题分共分１())．x６展开式中３的系数为ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ．二项式x,),,．abbbbaabꢀꢀꢀꢀꢀꢀ．已知非零向量满足则的夹角大小是(),．xx２a若关于的不等式有且只有一个整数解则实数的取值范围为ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ．２２:(,)、,,．C－FFO已知双曲线的左右焦点分别为和为坐标原点过２２１２bπ,,,y＝FxP＝作渐近线的垂线垂足为若则双曲线的离心率为２a６;,ꢀꢀꢀꢀꢀPQS的面积又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点且△,ꢀꢀꢀꢀꢀ．则该双曲线的方程为ꢀꢀ６数学试题第页共页、:６,．、．四解答题本题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤()．本小题满分分,,,aSnanSaa．已知数列{}是等差数列记为{}的前n项和{１}是等比数列nn１();１an求(),Ű２b＋a求数列{(b２}的前项和．记)nn２nn(在)ABC．本小题满分分,、、、、,、、,()abcabcAC中角所对的边分别为已知成等比数列且３＝()１．２、、;ABC求角(),,,２D．若延长至使的面积为求２()．本小题满分分．党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向为讴歌中,,华民族实现伟大复兴的奋斗历程增进高中学生对党的二十大的理解某校组织开展党,,．、,的二十大知识竞赛活动以班级为单位参加比赛最终甲乙两班进行到了最后决赛决,,赛采取五局三胜制约定先胜三局者赢得比赛已知每局比赛中必决出胜负每一局若２１,,,,甲班先答题则甲获胜的概率为若乙班先答题则甲获胜的概率为每一局输的一３２,．方在接下来的一局中先答题第一局由乙班先答题ꢀꢀ６数学试题第页共页();１求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率(),．,,２２０X若规定每一局比赛中胜者得分负者得分记为比赛结束时甲班的总得分求X随机变量的分布列和数学期望()．本小题满分分,,,,(１＝EF如图菱形中动点分别在边上不含端点且→→(,⊥沿将向上折起得到使得平面平面,()２．如图所示(),;１λ当为何值时１(),２和平面夹角的若直线与平面所成角的正切值为求平面３．大小ꢀꢀ６数学试题第页共页()．本小题满分分:(),C２＝２xHCF且已知抛物线的准线与轴的交点为直线过抛物线的焦点,,CABH与交于两点的面积的最小值为()１()２;C求抛物线的方程(),,,,Q１lCMNCE若过点的动直线交于两点试问抛物线上是否存在定点使得４,,,;,lE．对任意的直线都有若存在求出点的坐标若不存在则说明理由()．本小题满分分６３(),,()(,)xxa－＜０＋∞已知函数f其中函数fx在上的零点为５e３aìï,,－íxe０,()gx＝xx函数０ïî(),ïxax．()０()１:证明;x０();②x函数g有两个零点exx()２(),(:２２xxxxx２．设g的两个零点为证明２１２１２e－xx１１(:,,,,)e２e３参考数据ꢀꢀ６数学试题第页共页()联考届高三第一次学业质量评价数学试题参考答案及多维细目表【】(),()(∵x∴x＝x解析g为偶函数gg即１２３４５６７８９题号答案,x＝xxf(x)f()两边同时对求导CBACBDCD－x)x)得(即(x【】－Cx答案,(),【】()′１i２＝＝f令则解析由可得(),()((∵′x∴′x＝－′x′１１１１f为奇函数ff又fx,,１＝＝－－i故选１２２＋(xxx即【】()()()(B联立－＝－得－－２答案即fxxx【】{{()(),M＝N＝M∪x′＝′x解析故f,N＝x}∴故选【】A,答案１故选【】,,∴S}aSS】解析若则”“是递增数nnn答案,“”;∴aS【,(,(,列是{}是递增数列的充分条件PxyQxynn解析依题意设Bx１直线１１１,,(S}是递增数列则SSa≥(,(Ax０、、若y()的nnn２２１,“”２a∴a＞０－但是的符号不确定不是(y)y１n,,,＝１１＝１kkkk斜率分别为则“”,１２３２２－－３S}是递增数列的必要条件故选x(x)x１１n【】１１C答案＝,＝＝－,k３１１３２３３【】:A,,,,２２３６解析选项有可能出现点数例如x２y２bx２a２y２２,;,,４６∵１＋１＝１２＋２＝１两式相减得a２２b:,,,,,;B６２２２３６选项有可能出现点数例如x２x２＋y２y２,１２１２１:,()２２C６∵×２＝不ab选项不可能出现点数５()()＋－y１１y２２y１１y２２b２ab２,,６,∴Ű＝－,e,＝－,,２如果出现点数则方差大于或等于(＋)(－)即xxxx２２３a２;可能是b２１b２１c２ab２２２,∴∴－２＝－＝２＝＝:,D６３３３选项有可能出现点数例如故选aa２２a【】B答案６,∴＝椭圆的离心率故选３,(＝π－＝３１【】∵＋－α解析６２２９答案(π１【】AC,解析连接＝－１１６２,AD则是１(π)[(π＋π]＝,ACD∴α＋＝２－的中位线６６１２１１,∥故选项１(π)(π＝,;１－２－A故选正确６６２,,BDBA【】连接则D１１答案,∴∥【】,,rR１解析设圆台的上底面半径为下底面半径,,;∥B,,平面连接即平面故选项正确lR１母线长为球的半径为０,,,BDBA,则平面即为平面∵球与圆台的两个底面和侧面均相切R１１１１,,C,,显然DC不垂直平面B故选项错误２１１１１０;S侧∴＝圆台的侧面积与球的表面积之比为∵∥∠S表即为与所成的１１(()＝D．．πRlπ４１角故选项正确故选,＝＝故选R２３【】．０答案【】C【】:()fx＝＋()答案解析方法一将φ的图像向ꢀꢀꢀ８数学试题参考答案第页共页πSSnn)(＋φ)),x＝n－１＝Sn３－左平移个单位得到g累加得解得４π２２nn∈Nnn,n,＝S[(＋]＝(πn∗)当时２＋x＋１φ的４２n３－,,２S＝,满足上式２图像n()(),∵xxφ３－gg的图像与f的图像关于y轴对称nn,,aSS＝当时(),nn２∴０＝０＝f即φ,,;５Aππ故选项正确,,,∵＜∴＝φφ经检验满足题意故选项２４３n２n,,a＝１＝当时单调递增又,;n２AB正确选项不正确,,３(),()()S１a２S２S１＝xTgxfx的图像是的设f的周期为{},∴aaaaaa＜T单调递增且,C()n１时２４５∴x图像向左平移个得到g的对称轴过４},anSn时当单调递减当,∴６n(),;},,fx的对称中心故选项正确SnSB＜SnS时单调递增且当４５nππ,;－]m,,()取得最小值故选项正确m∈当时f的值域为４８７３,７＝＝－＜０S＝又２ùû－ππ]gn时的值域为２８éëê－,ú１,∈,,()当êú４８２８３,,∴Sn当时的最２né２ùû０１ê－选,ú⊄０１D．故选项不正确故,;êú８Cë２小值为故选项错误．SS,,,,;,,,＝１２３４n＝５６７n＜当时当时aa[(π＋]:()＋nnx＝２x方法二由题意可得gφ４S;,,０,,＝５６７,,＝５６７n当时a(πφ,n＝＋＋２Sn,,∴当时考虑的最小值()()an∵xgx的图像关于y轴对g称的图像与f,()(＋１∴x＝x,,fSn又当时恒为正且单调递减恒a(πφ)φ为负且单调递增n(＋＝－２＋,∴即２SSπ,,,,,∴nn＋＋－＋２πZ单调递增当时取得最小值故φφ２aann,D．πππ选项正确故选,,,,Z∵＜∴＝解得φφ;φ故４２４．【】答案,()AB－选项正确选项不正确【】[fx]x,＝()解析由题意得ee２(π)πxx(),,,fx＝＋＋πZ令得４４()－fxxx(),,Fx＝x＝设则ee２x(ππ)x(),,,()fx的对称中心为－０Zx＝g２８易得当时,(当时,(xFx在x(３)３π∴()∞,,,,函数＋∞上单调递减在＋π＋Z令得４４２),上单调递增ππ()()(),,()０１gx的对称轴为x＝－Z∴gx()ff,(),１的F０F１＜∴２８即f选e０e(),;xC;对称轴过f的对称中心故选项正确选A项正确D．项的判断同上ππ－【】ππ２２答案((),∵′－＝ff【】Ű２２２＝)S＋)neπ解析由nSS(π)(π),,;)nN∗)得n－S＝n－１∴＞选项错误Bfn２２SSSx,,,(((,N∗)∴２－１３－２hx′xfx设f３２４３exSS(x)x,则(＝,n－x′neexxꢀꢀꢀ８数学试题参考答案第页共页(),rxx５设【】．π答案,()()()６rx＝x＋x则当时→且→→【】:,,();aba＜解析方法一作向量则,,,,,,();bxrx由题意当当时且,()π５xx,ab,时∴∠＝的夹角为６６(π),＝２＋:方法二由b＝２b平方得b２＝４Ű,(),Ű４a(２a＋b２∵baab(π)),,(),(),∈０xrx当时单调递增２,Ű＝－a２b２a２a＋b２代入()(π),,(),(),b∈πxrx当时单调递减＝,∴５‹,›＝＝２baab得Ű３,ab(),(),r０rπ又３,[】－ab(π)的夹角为,,()rx,２６∴∃０∈πrx使得２０)【,(,),(),(,),．∈０x∈xπ答案即当时当时２３００();rxxx【】(),(),x＝x＝:(,),(),()解析令f则∈－∞xrxx≥综上当时即xx２０,();０hx(,),(),();单调递增xx∈０ef′x∴fx当当时单调递增(,),(),(),∈x＋∞rxx∈∞),(()当时即xfx时单调０(),hx,单调递减递减(),,()(),h０∴hxh０(,),(),(,),当时x∈０１时fx∈１＋∞且当fx当时,,(),xhx(当时易证,(),→＋∞hx:且当时方法一原不等式等价于π３e{,{,(π)(π)＝２２２,,０∈πh＞＝x或x又＞,＜,２２aaeπ２xx１１,()２＜３∵∴,∴(),()有且只有一个整数解ffhx＝′x方程有两个解即方程f２２[),)a．１即实数的取值范围为２３(),;＝x＋Cf有两个解选项正确２２xx:Ű,a()方法二原不等式等价于fxxx()()Ű(()Fx＝fxFxx由可得xexxxx,,a()(),若则或显然没有Fxxx[]xxx()()(()(),uxFxxxx＋令则整数解xxxx－x[]x(),()x]＝＋＝＞a４＝要满足有且只有一个整数解又fe２e２e２xxxx()２＜３x()()２＜３()ffffrx４２则可,＋＝e２e２xx３;＜(π)得２３,,,(),∈０rx由以上分析可知当时即２xxx,,(),ax若则或有无数多xxx(),()()()uxuxu０＝F０＋单调递增x,;a(),(),个整数解没有整数解０xxπ),,．((),,若不等式显然有无穷多个整数解∴x０Df在区间上单调递增选项正２综上实数的取值范围为),,a．．２３确故选【】５答案x２y２【】】;．－答案(１)１３３４【】()()(xx６＝x６－６解析xxba【:,,２α＝解析方法一设则有又x３C３４展开式中的系数为６６ꢀꢀꢀ８数学试题参考答案第页共页bxxyy,,:,FP＝x∴|a|M点的切线０－０垂直于渐近线过２a２２２ab,bb２xxb２,＝０－即ybaya２yy２,,００∴＝＝cPcc－(－)＋２xx２a２a２y２b２x２x２代入化简得００a,,:a２２２０a４b２在中由正弦定理()－,b又x２a２y２a２b２００,a＝,∴－a２b２x２＋２a２b２xxa４b２０,,c即x２xxa２xxa２,,０１２∴＝＝a∴２＝１bc３a１b３ŰŰŰ,－∴＝＝＝Sxxbb２c２１２２a,３ca２b２b２,,,b＝b＝＝＝,２a３a２x２y２,,＝３－＋故双曲线的方程为３４(a２):,,,PF(c)方法二依题意可得cc１),,aaa解析由题意得２１３,,Fc)Ű,a２aa２２１３(a２c２)２()２Sa,又{}是等比数列∴＝＋＝a２c２n１１cc(,∴Sa＝Sa)２{aSa(()２１１１３１,,ac又,１２a,Űa∴a２３２＝２＋２在中１aaa,１１１２()()ŰŰ,２又２３Fa２c２１１２aaa故２２n２３ŰŰaŰ,,,c即２＝３a２c２a２a２c２又{a}是等差数列故a}为等比数列首项化简２nna,,,２＝a２＝２得a公比q１a１c７,∴＝２．５＝＝a}an的通项公式为……………分a３３n(),２annbaa２２＋２nnn２２２n２,x２ay２＝,＋＝－＋Cnb２CCb２bꢀ－令则nn２n２２n２b２()(２＝bbbbbb∈２n２２n２n２,N∗Cn＋T记{}的前项和为nn()ƺ()(T＝CC＋CCbb＋１２９,１２,P与双曲线切于点如图过点的切线ƺ∴)b＝２(,(,(,MxyPxyQxy设００１１２２(bn２．(数列{n}的前项和为……,,,PQPx又均在双曲线的渐近线上故设１…………分,b)(b,【),,,．１ABCACBxQx－x解析由a１２a２(＝CbŰ２３()(),baαa∴C－C＝,α＝∴２α＝＝２又１α(b)２３aŰ,A＝４,＝,,２a２b２又abc成等比数列b１１３Ű∴＝Ű＝,∴S＝α＝BAC２２４x２＋(bx)２x２＋－x(b)２３ŰŰ∴方法一＝,１a１２a２ab２２２１a２c２b２b,＝又＝＝＝xxBBa１２２ꢀꢀꢀ８数学试题参考答案第页共页a２c２１１１１１１２１,,Ű１)≥＝cAAA＝×××,＋×××当且仅当时等２２３４２２３３２３２,１１２１５号成立＋×××＝３２３３２１,,,＝c又()(２PXPAAAAAAAAAA１２３４５１２３４５π＋＋＋ŰAAAAAAAAAAAAA＝．６…………分１２３４５１２)＝３４×５１×２３×３１１１１１AAAAAAA×××π１２２２１３２３１４５１２３４５:,,()＝＝(C方法二若则代入３２１１２１１１１＋＋＋××××××××××××＋＋××××××３２２２３２３１２２３１３２２１,),＝C则２１１１１２π２３１２２３１２３２３２,,＝３１２１;＝１２３３２２,,()＝B＝－AC＋若则代入３２()()()(PXPXPXPX＝３,()(１５５＝C则舍－－＝;２………………分８π:＝．６X综上………分的分布列为３(),,X０１２５４６５２１ŰŰŰ,S＝||２P１５８１３ŰŰ,,５|＝∴||即()２２２EX＝．分８４,:,|２|２由余弦定理在中…………Ű|２－|２２【)．１∵解析菱形(１),,－:＝中２,,A＝故||,＝又由正弦定理＝,∴７３１是等边三,→→∴＝,,角形又,２∴∥∴,也是等边三角形３,,∵则由⊥⊥平面的中点O２７３平面平面取∴＝＝＝．………分⊥且连接,【】(“,,Ai解析记表示第局甲获胜而i()“⊥,１A设表示比赛一共进行了四局并且甲班最平面:,N,,A２AAAA终获胜则事件包括三种情况延长交于点则１２３４,,,,,OAAAAAAAA又为的重心这三种情况互斥且１２３４１３４,,,,→２→AAAA,,,相互独立O＝１２３４又点在上即３()(PAPAAAAAAAAAA１２３４１２３４１２２Ű)()()＝．６AAPAAAAPAAAA＋２……分３３４１＝２×３４×１＋２３４１２１１１１():(),()２１PAAAA×××方法一由连接设边长为１２３４２３２２２２３分３３,,(λa),１１１１２１a则×＋由题意×××＝．４２２……………２２２２３４,⊥(),,,,,×平面２X０２４６的所有可能取值有,∴直线与平面所成角为１１１１()(),PXPAAA＝×＝|λ１１１２３２３３,,＝＝＝＝解得|λ３２()(PXPAAAAAAAAA１２３４１２３４１,是的中位线ꢀꢀꢀ８数学试题参考答案第页共页,M１在棱锥中设与相交于ŰŰ()＝＋２py１y２y１y２,,２１∩点连接又设平面平面于直,,llP＝∴Ű４＝,线则过点pp２λ２p２p２λ２２,,⊄平面,,,S２∴２∴当时取最小值ppp分,,∥平面,:C２＝４．５,抛物线的方程为y………∩l又平面平面于直线(),,,２ExMx假设存在(y)设(y),,l００３３同理,,,,Nxy)由题意斜率不为零,,４４由上可知,,＝(,⊥⊥xtyy２x平面平面设的方程为代入４∴∠就是平面和平面所成二{,＋ty３y４,,２－４t∴可得yy面角的平面角Ű,y３y４,,,∴＝°又且即－－y０y３３y００y４Ű,∴∴４５平面与平面的夹角为………xxxx０４………分４４Ű,:()()O＋＋方法二以为坐yyyy０３０４,,(),y２＋yyyyy标原点以０３４０３４,,,xyy２为轴００,{,zy轴轴建立空间(),０t＋２∴即yy(００,２直角坐标系如图y(１)所示设菱形,,＝E解得y故存在定点满足题,０４２边长为．(,,((,意…………分eP００λEλ００Fλ００B１则【．)(),,１①∵′xx解析fx当时x,(,平面,(,λ０D３－λ０C０２３－,,,λ０⊥∴(),()(,)３,３即为xfx０＋∞在单调递增,６３与平面所成的角,()∵－＜∴３e３－f５e３λ１,＝＝＝λ解得３(３)３λ,