时间序列分析 课件全套 第1-6章 传统时间序列分析模型-Penal Data 模型

时间序列分析

2参考书目

易丹辉:时间序列分析:方法与应用（第二版）,中国人民大学出版社,2018年3月

易丹辉：数据分析与Eviews应用，中国人民大学出版社，2008年10月盖哈德.克西盖斯纳等:现代时间序列分析导论（第二版），中国人民大学出版社，2015年4月汉密尔顿：时间序列分析（上下册），中国人民大学出版社，2015年5月

罗伯特S.平狄克丹尼尔L.鲁宾费尔德：计量经济模型与经济预测，机械工业出版社，2000年9月

3第一章传统时间序列分析模型时间序列的含义时间单位年季月周日时低频数据高频数据

时序数据特点4

数据量足够数量的数据反映变化规律支持模型的建立数据量并不是越大越好注意延伸到未来的规律

数据管理——

数据库数据的更新

5020004000600080001000080828486889092949698Y640005000600070008000900095:195:396:196:397:197:398:198:399:1Y7数据表现

观察数据的变化是否有异常数据出现原因分析规律分析是否有冲击或干扰瞬间持续86000080000100000120000140000989900010203Y95.0E+081.0E+091.5E+092.0E+092.5E+093.0E+093.5E+0999:0199:0700:0100:0701:0101:0702:0102:07Y10传统时序分析

四因素分解长期趋势T

季节变动S

循环变动C

偶然变动I

加法形式乘法形式11

不同类型的数据，探讨其规律时，采用的方法和模型不尽相同。一般来说，时间序列可以写成下面的形式

数据=模型+误差

数据=f(趋势，季节，循环)+误差Yt=f(Tt,St,Ct,It)f究竟为何种形式，取决于时间序列本身的变化规律和所采用的预测方法。

12一、趋势模型的类型和选择（一）趋势模型的形式一般表达式Y=f(t)

1.直线趋势模型

13

2.非线性趋势趋势模型二次曲线模型三次曲线模型幂函数曲线模型对数曲线模型双曲线模型

或指数曲线模型

143.有增长上限的函数曲线趋势

修正指数曲线模型

或龚珀兹曲线模型或皮尔曲线

15（二）模型选择

1.图形识别法从数据出发

从实际时间序列的数据出发，选择模型的方法。

一般初选几个模型，通过模型分析后再确认合适的模型。

例1.1

16例1.1

社会商品零售总额时序图17例1.2

搪瓷脸盆销售量曲线图18

2.阶差法从模型出发

从模型的特点出发，观察时间序列的特点，将其与各类模型阶差特点比较，选择适宜模型的方法。

直线模型

二次曲线模型

指数曲线模型

修正指数曲线模型19

（一）最小二估计趋势模型大多可以采用最小二乘法估计参数。

直接估计直线模型

变量代换二次曲线三次曲线对数曲线

对数变换指数曲线幂函数曲线

有增长上限的曲线，当其增长上限Ｌ可以事先确定时，也可以采用最小二乘法估计参数ａ、b。

例1.3

二、参数估计20

（二）

三和值法

基本思想：将时间序列分为三段，每段n期。分别求出每段的和：、、，利用三段和，求解三个参数。

计算方法

修正指数曲线

龚珀兹曲线

皮尔曲线

21

趋势模型是对时间序列变化规律的一种模拟。为保证预测的精度和有效的预测结果，必须对初选的预测模型进行评价分析。

（一）

检验

模型采用最小二乘法估计参数，必须按照回归分析中的要求，对模型进行检验。参数的检验回归方程的检验残差的检验拟合优度检验

例1.5三、模型分析与评价（二）模型分析评价1.对历史数据拟合的分析全部观测期直观判断法

图、表

将实际观测值与模型相应的估计值，列表或绘图进行比较，与时间序列实际值接近的模型，可认为对历史数据拟合程度高。例1.6误差分析法MAPE

模型对历史数据的拟合程度，通过误差分析可以得到较为精确的判断。MAPE

例1.723历年实际值与模型估计值242.对未来趋势反映的分析

趋势模型只有能很好地表现或反映时序的未来发展变化趋势，才适用于预测。近期趋势的反映注意近期时间选取

直观判断

误差分析

例1.8试预测视数据量大小

部分数据建模剩余试测

全部数据建模外推结果

预测结果的可能性分析

例1.925时间二次曲线三次曲线指数曲线1952-19831970-198316.239.354.823.0310.4511.13三个模型的MAPE26近期实际值与模型估计值27实际值与三次曲线模型估计值四、季节模型

季节变动，是指客观事物由于自然条件、生产条件和生活习惯等因素的影响，随着季节的转变而呈现的周期性变动，周期通常为1年，或说12个月、4个季度。

季节变动的特点是有规律性的，每年重复出现的，其表现为逐年同月（或季）有相同的变化方向和大致相同的变化幅度。29

（一）

季节性水平模型1.模型形式

（i=1，2，……，T）式中，

为平均数；

为季节指数

T为季节周期的长度，可以是4或12

的取值根据实际时间序列的变化确定；

可以通过下式求出，但一般采用移动平均法计算。30

2.适用条件适用于只有季节变动，无明显的趋势变动的时间序

3.应用

例1.11汗衫背心零售量

1）

时序变化分析

绘制时间序列曲线图

观察时序随时间变化规律

31

时序存在明显的季节变动，但无明显的趋势变动，可以建立季节性水平模型。

322）

建模

计算和

的计算：由图可以看出，1982年各月零售量大多高于往年同月，如果1983年的销售状况与1982年关系较为密切，可以考虑只采用1982年各月平均为135.58万件。。

33运用移动平均法得到，其反映序列随季节变化的规律。

。

34。

汗衫背心零售量的季节比曲线353）

预测预测模型注意预测的条件时间序列未来的变化规律和过去基本一样季节变化规律延续

。

36

（二）

季节性交乘趋向模型1.模型形式（i=1，2，……，T）

式中，

=（a+bt）为趋势部分，线性或非线性

为季节指数

T为季节周期的长度，4或12372.适用条件：

既有季节变动，又有趋势变动且波动幅度不断变化的时间序列至少需要5年分月或分季的数据

3.应用

例1.12我国工业总产值序列38

1）时序变化分析绘制时序曲线图

明显的线性增长趋势、季节波动，且波动幅度随趋势的增加而变大。

392）建模

用前一部分数据建模，预留1997年数据对模型的效果进行分析评价。

建立直线趋势方程最小二乘估计Vt=1374.86+35.49t

计算季节指数=/Vt

进行移动平均得到理论季节指数

401990~1996年各月工业总产值季节指数413）预测预测模型

1990-1996年MAPE=4.96

外推预测1997年各月值，计算MAPE=4.08，

小于4.96，误差减小，若

今后有关规律可以延伸，

则适宜进一步外推预测。

42

（三）季节性迭加趋向模型1.模型形式

=（a+bt）+

（i=1，2，……，T）

式中，=（a+bt）为趋势部分，线性或非线性 为季节增量，有与序列相同的计量单位

T为季节周期的长度

432.适用条件：

适用于既有季节变动，又有趋势变动且波动幅度基本不变化的时间序列

至少需要5年分月或分季的数据3.应用

例1.13我国社会商品零售总额的分析预测441）时序变化分析绘制时序曲线图

明显的线性增长趋势、季节波动，且波动幅度随趋势的增加基本不变。452）建模

用前一部分数据建模，预留1997年数据对模型的效果进行分析评价。

建立直线趋势方程最小二乘估计Vt=4901.46+164.99t

计算季节指数=-Vt

进行移动平均得到理论季节指数

46

理论季节增量473）预测预测模型

1995-2000年MAPE=2.44，近期2000年MAPE=2.08，

误差减小，若今后有关规律可以延伸，则适宜进一步外推预测。

48为评价模型的预测效果，也可以象例1.12一样，预留部分数据作为试测数据，评价模型的适用性。49第二章ARMA模型

一、概述（一）模型引进多元线性回归自回归移动平均模型简单平均：序列平稳围绕均值波动

==

==50移动平均：近期数据对预测的影响更重要

加进新数据，则删除远离现在的数据

==

==T的作用：平滑数据T的取值：自然数

数值大小对结果的影响

51=+（）

=+

以均值替代有

特点：利用误差修正，调整前期预测值

跟踪数据变化时间序列可以用过去的误差项表出

=++……++

52（二）方法性工具1.自相关函数

1）

自相关含义时间序列诸项之间的简单相关

2）

自相关系数计算公式式中：n为样本数据个数；k为滞后期；

为样本数据平均值。53自相关系数与简单相关系数一样，取值范围为[-1,+1]。其绝对值越接近于1，表明自相关程度越高。

最大滞后阶数k取、、，n为观测数据的个数。

例2.1

3）

自相关系数的抽样分布

完全随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，

为标准差的正态分布。对于给定的概率F（t）可以构成一个置信区间

时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则可断定其为完全随机的序列。不同的样本容量，可以构成不同的随机区间。将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的随机区间，被称作自相关分析图。它可以分析时序的特性以及识别时序中存在的模型。562.偏自相关

含义：时间序列，在给定了，，……，条件下，与之间的条件相关。

偏自相关系数：

57

计算公式其中，

取值同自相关系数，在正负1之间

例2.2

58

二、时序特性的分析

1.随机性的测定

若一个时间序列由完全随机的数字构成，那么这个序列的各项之间不会有任何相关关系，序列为纯随机序列，即完全随机的序列。纯随机序列中不会存在任何模型。

测定时序的随机性，可以根据经验方法也可以运用统计检验。

经验方法是依据时序的自相关系数。时序的自相关系数基本落入随机区间，该时间序列为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时间序列就是非纯随机序列。59纯随机序列的自相关图非纯随机序列的自相关图60

二、时序特性的分析

1.随机性的测定

若一个时间序列由完全随机的数字构成，那么这个序列的各项之间不会有任何相关关系，序列为纯随机序列，即完全随机的序列。纯随机序列中不会存在任何模型。

测定时序的随机性，可以根据经验方法也可以运用统计检验。

经验方法是依据时序的自相关系数。时序的自相关系数基本落入随机区间，该时间序列为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时间序列就是非纯随机序列。612.时序的平稳性（1）平稳的含义和判定

描述性定义：如果一个时间序列的统计特征不随时间推移而变化，即满足下面两个条件：

对于任意的时间t，其均值恒为一常数；

对于任意的时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-s有关，而与t和s的起始点无关,则被称为平稳时间序列。

自相关的特点：自相关系数在K等于2或3后迅速趋于零。62平稳时间序列曲线图63平稳时序自相关分析图非平稳时间序列曲线图非平稳时序自相关分析曲线图非平稳时序自相关分析曲线图67

（2）时序趋势的消除

非平稳性能够被消除的时间序列称为齐次非平稳时间序列。

一阶差分（逐期、短差）二阶差分▽Yt=Yt-Yt-1(t＞1)▽(▽Yt)=▽2Yt=▽(Yt-Yt-1)=▽Yt-▽Yt-1=Yt-2Yt-1-Yt-2(t＞2)68

d阶差分

(t>d)引进后移算子B，记，表示，以此类推，进行d阶差分可表示为

，即有(t>d)

3.时序的季节性识别1）含义：季节性是指时间序列在某一固定时间间隔上，重复出现前面的某种特性。这种规律通常由于季节变化所引起，称具有这种特性的时间序列为季节性序列。时间序列的季节周期常用的时间单位是月、季。2）识别：自相关系数与0的显著性差异查看时滞k=12，24，36，···时的自相关系数；k=4，8，12，···时的自相关系数。

当序列有较强趋势时，其自相关系数常表现出趋势性季节性会被掩盖，趋势去除后方可通过自相关系数识别。

70汗衫背心零售量时序图71汗衫背心零售量自相关分析图72商品零售额曲线图73汗衫背心零售量自相关分析图74季节性消除：时序的季节性也可以通过差分的方法加以消除。注意差分步长一阶季节差分（月度）二阶季节差分

D阶差分

t＞Ds引进后移算子B，也可以写成

t>Ds

示例商品零售额序列季节性识别

76一阶逐期差分自相关分析图图77季节差分后自相关分析图图

三、ARMA模型及其改进

（一）ARMA模型

1.自回归模型

AR（p）模型的一般形式引进自回归算子模型可以写成

=

模型参数约束条件=0的所有根都在单位园外。

称为AR（p）特征多项式，

是特征多项式的系数，B的值是特征多项式的根。

80AR(p)序列的自相关和偏自相关

：拖尾性：81：截尾性

822.移动平均模型

MA(q)

模型形式

引进移动平均算子模型可以写成

=83

MA(q)序列的自相关和偏自相关

截尾性：

84

：拖尾性3.AR与MA间的对偶性

1）相互表出AR（P）可以用既往的有限加权和表出可以用既往的无限加权和表出

==MA(q)==

可以用既往的有限加权和表出可以用既往的无限加权和表出862）相关函数

拖尾和截尾3）平稳与可逆

若一个序列可以用无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，称为具有可逆性，也就是可逆的。AR有条件平稳，MA无条件平稳；AR无条件可逆，MA有条件可逆。87

3.自回归移动平均混合模型

ARMA(p,q)

1）模型形式引进后移算子可以写为

88

2）ARMA(p,q)序列的自相关和偏自相关

：拖尾性：拖尾性

89

（二）

ARMA模型的改进

序列经过某些处理后，可能生成一个平稳的新序列，从而可用ARMA（p，q）模型加以描述。

逐期差分平稳

季节差分平稳

逐期差分再季节差分平稳

改进的自回归—求和—移动平均模型

901.

ARIMA（p，d，q）模型

序列仅存在趋势，且经过d阶逐期差分可以平稳模型形式或ARIMA（1，1，1）也可以写成

912.模型

序列仅存在季节变动而没有明显的趋势，且通过D阶季节差分季节变化基本消除

模型形式其中，是季节自回归算子，P是季节自回归阶数；是季节移动平均算子，Q是季节移动平均阶数；D是季节差分阶数；s是季节周期长度。也可以写成

ARIMA(1,1,1)492

3.

模型

通过逐期差分和季阶差分序列可以平稳模型形式或ARIMA(1,1,1)(1,1,1)4也可以写成

93

四、随机时序模型的建立

（一）模型识别1.差分化识别差分阶数

d，D

通常d和D取0,1,2，需要取更高阶的情况，需慎重。94商品零售额一阶逐期差分序列d=195商品零售额一阶逐期差分一阶季节差分序列D=1962.选择p、q

可以借用AR模型、MA模型的自相关、偏自相关系数的特点，为平稳序列选出备选的阶数

973.选择P，Q

含有季节变化的时间序列，在模型识别时，除考虑上面两点外，还须考虑季节自回归和季节移动平均的阶数P、Q。

识别的基本原则和方法与识别p、q相同，只是在观察自相关及偏自相关函数时，只分析k=12（或4），24（或8）······时的情况。98

续前面示例d=1,D=1,,组合备选模型

p=0或1，q=0或1，P=2，Q=1994.定阶的最小信息准则越小越好

（1）AIC准则式中，L是对数似然函数值，n是观测值数目，k是被估计的参数个数。

（2）SC准则符号意义同上。

（3）HQC准则符号意义同前。

（二）参数估计初估计精估计（三）模型检验

1.直观判断残差序列完全随机的判定残差序列的自相关系数是否落入随机区间

残差序列的自相关与0无显著不同，或说基本落入随机区间，残差序列为白噪声即完全随机。残差序列的自相关有显著不为0的，或说有较多的落入随机区间外，残差序列不是白噪声即非随机。

101

适合模型残差的自相关分析图不适合模型残差的自相关分析图1022.检验

原假设：残差序列相互独立

检验统计量

服从（

m–p–q）分布。其中，m是最大时滞数，n为计算（e）的数据个数。

103

3.LM检验

检验是将有限制和无限制模型进行比较作出判断。有限制条件的模型记作R，可以写成AR(p)的形式无限制条件模型记作UR，可以写成AR(p+r)的形式或ARMA(p,r)原假设：残差序列不存在自相关，即AR(p)模型合理检验统计量LM其服从自由度为r的

分布，r是UR模型与R模型待估计参数个数之差。是UR模型的拟合优度。

例5.1

104

五、时序模型预测

1.最小方差预测：使时间序列未来值的预测误差尽可能小预测误差（L）=-（L）

的方差

E（（L）=E（-（L）

应达到最小。105也就是要使选择的时间序列L步预测值（L）与时间序列实际值之间距离比其它任何一点都短。

2.预测值的计算1）AR序列的预测递推

……1062）MA序列的预测递推

MA（1）序列预测

若模型为在t=k时刻进行一步预测有进行二步预测有由于k+1时刻没有到来，故无法得到k+1时刻残差的估计值。对于MA（1）序列只能进行外推一步的预测。类似地MA（q）序列只能进行q步预测。

1073.预测的置信限108示例我国工业总产值预测计算机实现1.建立工作文件

File/New/Workfile月度数据，点选M，输入起始时间和终止时间1990：011997：122.读入数据

File/Import/Excel找到文件存储路径（如A盘或D盘），然后在对话框中，输入变量的个数1，点击OK。1093.绘制时序图

Quick/Graph/LineGraph/y观察序列的特点4.选择模型季节乘法模型

ARIMA模型保留一年数据，作为试预测用。在窗口输入

SMPL1990：011996：12110（1）季节性交乘趋向模型输入时间变量t（可调入，也可直接输入）建立趋势方程：

LSYCt在回归结果窗口，点选Forcast,命名预测值序列，例如为YF，则YF为各期趋势值。求各期季节比：

GENRV=Y/YF

111求理论季节指数：

Quick/SeriesStatistics/SeasonalAdjustment在对话框中点选乘法，并为因子命名，如S，点击OK，屏幕出现结果，S同时保存在内存中。求估计值：

GENRYT=YF*S若记住参数（截距、斜率）的数值，也可以直接定义

GENRYT=（1374.9597+35.5915*t）*S112模型分析评价：绘制时间序列实际值与预测值曲线图

Quick/Graph/LineGraph/YYT

计算MAPEGENRAPE=ABS（（Y-YT）/Y）

Quick/SeriesStatistics/HistogramandStats

观察均值Mean，乘以100则为MAPE。

113试预测：扩展样本期SMPL1990：011997：12GENRYT=（1374.9597+35.5915*t）*S注意：时间变量是否已经输入完整分析试预测的结果，与实际值比较。绘制曲线图计算MAPE114（2）ARIMA模型

1）时间序列特性分析：Quick/SeriesStatistics/Correlogram观察时序自相关，决定处理方式。一阶逐期差分：

GENRIY=Y-Y（-1）观察一阶逐期差分序列自相关Quick/SeriesStatistics/Correlogram/IY115一阶季节差分：

GENRSIY=IY-IY（-12）观察一阶季节差分后序列自相关Quick/SeriesStatistics/Correlogram/SIY2）模型识别

d,D的确定：进行一阶逐期差分一阶季节差分后序列平稳，故d=1，D=1

116p,q的选择：观察序列SIY的自相关和偏自相关

p=2或p=3q=1

（2，1）、（3，1）、（3，0）、（4，0）P,Q的选择：观察序列SIY的自相关和偏自相关仅考察时滞k=12，24时的自相关和偏自相关

P=Q=11173）参数估计

LSd（LOG（Y），1，12）AR（1）AR（2）

SAR（12）MA（1）SMA（12）注意：参数估计值的绝对值应小于14）模型检验观察上述估计结果的AIC值，比较不同模型的

AIC，数值越小越好

118观察Q统计量：在上述估计结果窗口点击

View/ResidualTests/Correlogram-Q-Statistics观察Q的值和概率p。试预测：在上述估计结果窗口点击Forcast，将样本期改为1997：01至1997：12，预测方法选择默认的动态法，命名预测值序列，点击OK。计算MAPE。不同模型按照上述方法操作，并进行比较，选择适宜的预测模型。1195）预测经过比较分析，确认合适的预测模型后，可以在所选模型的估计结果窗口点击Forcast，在显示的对话框中，将样本期扩展为1998：011998：12，其它若不需要改变，则点击OK。如果工作文件的时期仅到1997：12，则需先运用EXPAND命令扩展，在屏幕上方窗口输入

EXPAND1990：011998：12然后再使用Forcast命令。

120第三章ARCH类模型

一、单位根过程（一）单位根过程的含义问题的提出用于预测的线性平稳模型AR（p）模型

方程

（B）=0称为过程的特征方程，过程平稳的条件是，特征方程所有根的绝对值都必须大于1，即在单位圆外。

1212.单位根的定义

随机过程{，t=1，2，......}，若

=t=1，2，......其中，

=1，{}为一稳定过程，且E（）

=0，cov(，)=<,这里s=0，1，2，......，则该过程称为单位根过程（unitrootprocess）。+

+

122特别地，若

=+t=1，2，......其中，{}为独立同分布，且E（）=0，D（）=<，则{}为一随机游动过程（randomwaikprocess)。可以看出，随机游动过程是单位根过程的一个特例。123若随机过程{}的一阶差分过程（=）为一稳定过程，则{}服从单位根过程。分别以I（1）和I（0）表示单位根过程和稳定过程，则可将和记为

~I（1）

~I（0）

124（二）趋势的类型

确定性趋势模型

趋势平稳时间序列中的趋势有不同的表现形式，如，带趋势的稳定过程

=c+t+其中，

f(t)=c+t，表示时间序列{}的确定性趋势（deterministictrend）。

的期望是时间t的线性函数,其值在c+t周围波动。为一稳定过程。125随机性趋势模型

差分平稳

带常数项的单位根过程

=c++

其中，c是常数项。对不断地向后迭代，得到

=c+（

c++）+=.......=ct+

确定的时间趋势ct，是由单位根过程中的常数项积累而成

零售商品价格指数时序图社会商品零售总额时序图127

时间序列趋势的三种基本类型：

（1）序列不含常数项、时间趋势项

若=1，序列为一单位根过程；若

<1,

序列为一稳定过程。

（2）序列含常数项、不含时间趋势项

若=1，序列为一带常数项（均值不为0）的单位根过程；若

<1,序列为一带常数项的稳定过程。

128（3）序列带常数项和时间趋势项

若=1，序列为一带常数项和时间趋势项的单位根过程；若

<1，序列为一带常数项和时间趋势项的稳定过程。

129

（三）单位根检验

1.ADF检验1）

迪基—福勒（DF）检验

一阶自回归模型

原假设为真时，最小二乘估计的t统计量为

t=

式中，

为的最小二乘估计，SE（）为的标准差。

：130检验标准：t统计量有非标准和非对称的极限分布，记作，对于给定的样本量n和显著性水平,若统计量的实际计算值小于临界值，则拒绝原假设。

例3.1

2）ADF检验

DF检验只对存在一阶自相关的序列适用。ADF检验适用于存在高阶滞后相关的序列。模型两边减，可

上式中，检验假设为或加带常数项，或加带趋势项，或加带常数项和趋势项，

检验标准同DF检验。例3.1

表述为令，检验

转换为检验。含有单位根的p阶自回归过程可以表述为132

2.PP（PhillipsandPerron）检验适用于存在高阶自相关的序列，非参数检验方法检验基础模型以及原假设同ADF检验，修正了系数的检验统计量，如下式。式中，是的t统计量，

是系数

估计的标准误，分母中s是检验方程回归估计标准误，T是时期数。

检验方程（模型）残差的方差的一致估计，

是残差零频谱估计。

修正的t统计量有着和ADF统计量相同的渐近分布。

133

3.其它检验1）KPSS（Kwiatkowski,Phillips,Schmidt,和Shin）检验

原假设为序列是平稳的，即

检验统计量其中，是残差的零频谱估计，

是累积的残差函数，残差。采用KPSS检验，必须设定外生回归项

，估计

的方法。

1342）DFGLS（Dickey-FullerTestwithGLSDetrending）检验

用GLS去除趋势得到，。以替代，

得到同ADF检验的模型形式和类似的检验统计量。根据ERS(1996)模拟的一套在

中检验统计

中检验统计量的临界值，检验检验统计量取值低于临界值时，拒绝原假设，序列平稳。

1353）ERS（Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal）检验

类似DFGLS检验，必须设定外生回归项

和估计的一种方法。4）

NP（NgandPerron）检验

构造了基于GLS去势数据

的四个检验统计量，必须设定外生回归项

和估计的一种方法。

例3.2

例3.3

例3.4

136

二、ARCH模型的基本形式

（一）问题的提出工业类股票指数曲线图137

工业类股票指数一阶差分序列曲线图序列进行一阶差分，得到

，由图看序列的趋势基本消除；如果序列

是白噪声，即一阶差分序列完全随机，所建立的模型合适。138序列自相关图由图看不出序列有较强的自相关，但Q=23.29较大，序列无自相关的概率p=0.503，不够大，即序列无自相关的概率只有50%，很难得出序列无自相关的结论。工业类股指条件方差时序图140序列自相关图可以看出，k=1和k=2时，自相关系数较大，序列还包含一些有用的信息，残差序列存在非线性相关，从建模预测的角度，已建的模型不合理。141

（二）ARCH模型

1.ARCH含义和基本模型

若有一随机过程{}，它的平方服从AR（q）过程

其中，（）独立同分布，且有E（）=0，D（）=，t=1，2，.....，则称{}服从q阶的ARCH（q）过程，记作~ARCH（q）。

一般假设0，0，i=1，2，......，q。

142为确保{}是一稳定过程，

特征方程

1L—=0

的所有根都在单位圆外。即有

++......+<1

143过程在t时刻的条件方差，即给定

，，......，值时的方差

=E（，......，）=++......+可以看出，的条件分布是正态的，但其条件方差是过去平方误差的线性函数，是随时间而变化的函数。

144

ARCH类模型一般由两个方程组成条件均值方程：

条件方差方程：一般来说，ARCH类模型都是针对均值模型的残差建立。的变化规律不同，模型不同AR（p）模型

线性回归模型

单位根过程t=1，2，......145

2.

模型的另一种形式

ARCH模型也可以表述为

其中，{}独立同分布，且~N（0，1），

t=1，2，.......，T。

参数的约束同前。146

3.ARCH效应检验拉格朗日乘子检验（LM检验）辅助回归模型

检验统计量

~（q）

其中，n为计算辅助回归时的样本数据个数，为辅助回归的未调整可决系数，即拟合优度。检验标准拒绝的概率小于给定的显著性水平

例3.5

1474.

模型参数估计

最小二乘

二步最大似然5.参数的检验

合理性检验

参数符号

参数大小

显著性检验

参数与0的显著性差异

148

3.

模型的识别和诊断检验（1）识别阶数可以与ARMA定阶类似利用的自相关函数和偏自相关函数

（2）诊断检验

标准化残差=/（）

用于检验ARCH模型是否有效的去除了平方序列（）中的自相关和被估计的残差是否没有表现出过大的峰度值。149模型判定AICSC残差的独立性检验残差的正态性检验JB检验

检验平方标准化残差序列（）的自相关——Q统计量检验。

计算标准化残差序列（）的JB统计量

150只要知道参数，，......，的值，就可以在（t—1）时刻，利用给定的数据，...…

，，预测在时刻t的条件方差。

4.预测151

三、

广义的ARCH模型——GARCH模型

（一）GARCH（p,q）模型的形式1.含义在ARCH（q）过程

其中，{}独立同分布，且~N（0，1），t=1，2，.......，T。

若阶数q，特征方程的根都在单位圆外

条件异方差可以表示为

上述过程称为广义的ARCH过程，简称为GARCH过程，记作~GARCH（p，q）。

参数的约束与ARCH（q

）模型一样152

参数的约束与ARCH（q

）模型一样GARCH过程是稳定的过程充分必要条件

保证条件方差为正的条件

其中，（1）=；（1）=

（1）

+（1）<1

i=1，2，......，q；j=1，2，……，p；1532.GARCH（1,1）的性质GARCH（1,1）模型GARCH（1，1）是稳定过程的充分必要条件为

若表明模型中含有单位根，模型记为IGARCH（1，1）。

若+

>0.5,冲击一般都会持续一段时间；

若+=1,随机冲击会有长久的影响。154（二）GARCH效应检验

仍可采用LM检验

（三）

参数估计

采用极大似然估计（MLE），假定扰动项服从高斯分布或服从分布；BHHH算法。采用矩估计（ME），避免分布的限制；改进的矩估计法GMM法。

（四）

模型的检验与评价1.参数的检验

合理性检验

显著性检验

例3.6和例3.5中参数的检验2.残差检验ARCH类模型和其他统计模型一样，都假定残差序列独立同分布，因此残差的独立性很重要，也就是残差序列不能存在自相关。

例3.7156（五）预测在前一天波动率的基础上迭代预测以后的波动率3.模型评价

借助一些评价指标比较不同模型预测效果实际应用中需要注意数据的选择：数据时期长度——太长，会包含过多不正常数据；太少，不能保证参数估计的正确收敛；数据的频率——低频数据容易导致GARCH参数估计中的收敛性或稳健性问题。波动测定，一般选择至少1至2年的日数据或日内数据。157四、ARCH模型的拓广形式（一）指数GARCH模型—E（Exponential

）GARCH模型

并设条件方差有下面的形式：

=

其中，{}独立同分布，且~N（0，1），t=1，2，.......，T。

则称服从EGARCH过程。模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着非负且杠杆效应是指数型的。若，说明信息作用非对称。当时，杠杆效应显著。

158

（二）（G）ARCH-M模型如果随机过程{}有表现形式

其中，{}独立同分布，且~N（0，1），t=1，2，.......，T。

=g()为条件方差的函数，有ARCH（q）或GARCH（p，q）的形式，则随机过程{}服从（G）ARCH-M过程。

>0，表明回报率同大的波动是正相关。为简便，实际应用中，常取、或

。

159

（三）TARCH模型

TARCH（ThresholdARCH）模型最先由Zakoian（1990）提出，它具有如下形式的条件方差其中是一个名义变量

160由于引入，股价上涨信息（）和下跌信息（）对条件方差的作用效果不同。上涨时，其影响可用系数代表；下跌时为。若，则说明信息作用是非对称的。而当时，负的随机冲击较正的随机冲击对波动会有更大的影响，即认为存在杠杆（leverage）效应。是对GARCH应用条件的一个放松。

161

（四）幂ARCH(PARCH)模型

=

其中,>0，1.是标准差的幂参数,用来评价冲击对条件方差的影响幅度;0,存在非对称效应.

模型中,=2,=0,则PARCH模型为GARCH模型.162（五）

成分（Component）

ARCH模型若GARCH(1,1)模型的条件方差可写为

上式表现条件方差与常数的平均偏离程度。成分ARCH模型如下式，反映条件方差对于一个变量的平均偏离趋势

其中163上面的第一个式子描述短期（Transitory）成分，以的势（power，反映衰减速度）趋于０；第二个式子描述长期（Permanent）成分，以的势趋于。一般地，，以保证的收敛速度足够慢．另外，可以在两式或任意一个中加入外生变量，来改变序列短期或长期波动水平．

164其中，

和都是外生变量，是名义变量．当时，条件方差中存在短期杠杆效应。

例3.8（六）非对称(asymmetric)成分GARCH模型将TARCH模型与成分ARCH模型相结合可以得到非对称的成分模型，165模型的选择先验信息对称非对称从数据出发初选模型检验参数合理性参数显著性残差检验分析评价、AIC、SC，Q-P、MAPE五、多元ARCH模型（一）模型形式1.对角VECH（DiagonalVECH）模型其中，（i=0,1,…,p）和(j=1,2,…,q)均为

对称系数矩阵，算子为Hadamard乘积，表示矩阵的对应元素相乘。模型中的系数阵可以有几种不同的约束方式。

系数约束系数矩阵不施加限制系数阵设为对角阵秩为1（RankOne）法满秩矩阵法（FullRankMatrix）常数矩阵

外生变量处理

方差模型中允许有外生变量，可以选择将其系数限定为个体的（individual）或是共同的（common）。共同系数，即认为每个方程中的外生变量具有相同的斜率g；个体系数则允许每个方程中的外生变量存在各自的变化效应。2.DiagonalBEKK模型

与对角VECH模型相比，BEKK模型是一种更为广泛的模型。其中，为一下三角阵，（i=0,1,…,p）和(j=1,2,…,q)均为没有限制的矩阵。

最为常见的DiagonalBEKK模型，将模型中的系数阵限定为对角阵。3.有条件协相关模型（ConditionalConstantCorrelation，CCC）模型将条件协方差阵的元素确定为上面两式共称为CCC模型。模型中的ARCH和GARCH系数阵通常设定为标量，被设定为对角阵。

为虚拟变量，即模型可以是类似TARCH的形式。可以对常数项

施加限制，令，其中，为无条件方差。可以在方差模型中加入外生变量

（二）参数估计

对模型各项系数进行约束，保证条件协方差阵是正定的（或半正定），同时假定误差项的分布，可以采用最大似然准则对模型的参数进行估计。

（三）模型检验与评价

参数的显著性检验

模型评价

借助、和最小信息准则比较、评价和选择

合适的模型。

例3.9

171一、含虚拟变量的回归模型（一）虚拟变量的设置

第四章两序列的协整和误差修正模型

1.虚拟变量的定义当解释变量不是定量测量数据，或在不同的情况下，所产生的结果不同，就需要将解释变量区分开，可以采用设虚拟变量的方法。虚拟变量是取值仅取1或0的变量。一般，基础类型、肯定类型取值“1”，比较类型、否定类型取值“0”。

1722.虚拟变量设置原则

若某一定性变量有m种情况（状态），设虚拟变量时，只能有m-1个。

（二）虚拟变量对模型的影响引入虚拟变量，对模型截距、斜率的影响对一般的线性回归模型

=++引入虚拟变量D173

1.加法形式E（）

=+++=

==0：174

2.乘法形式

=E（）

=

=

+

+

+：=0175

3.加法、乘法同时采用

=++++

=E（）

=条件：误差项的方差在前后都是一样的

=0=0：：

（三）虚拟变量的应用

1.

分离异常因素影响政策因素

制度因素

季节因素

季节变动：时间序列可以计算季节指数，多元回归中可以利用虚拟变量例：某地区每月天气湿度对温度的影响

制度变化：时间分期，分段回归

例4.1177

2.检验不同属性类型因素对因变量的影响解释变量为属性数据例：不同年龄、不同文化程度的行为

3.提高模型预测精度不同属性类型样本数据合并，相当于扩大样本容量

例4.2178二、Granger因果检验问题的提出是货币供应量的变化引起GDP的变化，还是都由于内部原因决定（一）解决的思路若X是引起Y变化的原因，则

1）X应有助于预测Y；

2）Y不应当有助于预测X。179

（二）方法

1.第一个条件的检验

原假设：X不是引起Y变化的原因无限制条件模型（UR）

有限制条件模型（R）

：==…=01802.第二个条件的检验原假设：Y不是引起X变化的原因无限制条件模型（UR）有限制条件模型（R）

：

1813.检验统计量：利用F检验考虑两个回归模型的误差平方和和差异的显著性。

若成立，不会超过太多，建立检验统计量

F=根据计算的F统计量与相应显著性水平下的临界值比较可以得出结论，是否能够拒绝。182要得到：X是引起Y变化的原因，必须：1）拒绝“X不是引起Y变化的原因”的假设；2）不能拒绝“Y不是引起X变化的原因”的假设。K的取值

可取不同的值试验，以保证结果不受K

选取的影响；可能存在第三个变量Z，既影响Y，也与X相关。

例4.3183（一）单整序列及性质单整序列

经过逐期差分平稳的序列称作单整序列。记作I（d）。性质1）一个单整序列的线性组合若序列是零阶单整序列，如

~I（0），

则其线性组合也是平稳的，有a+b~I（0）；若序列是一阶单整序列，如

~I（1），则其线性组合也是一阶单整序列，有

a+b~I（1）。

三、协整含义及检验

1842）两个零阶单整序列的线性组合若两个序列是平稳序列，如

~I（0），~I（0），

则其线性组合也是平稳的，有a+b~I（0）；3）一阶单整序列与平稳序列的线性组合

若序列

是一阶单整序列，序列是平稳序列，如

~I（0），~I（1），则其线性组合也是一阶单整序列，有

a+b~I（1）。

只要序列有趋势，这种组合无法消除趋势。

185

4）两个一阶单整序列的线性组合若两个序列均为一阶单整序列，

~I（1），~I（1）一般地，线性组合仍为一阶单整序列，则a+b~I（1）。

特殊情况，两个序列都是一阶单整，即

~I（1），

~I（1）均为单位根过程，但可能存在一个非零向量，使两个序列的线性组合达到平稳。186若

=+=A+其中，

~I（1），

~I（0）和

~I（0）均具有零均值。由性质（3）知有

~I（1）

~I（1）构造、的线性组合

=—A

=—A~I（0）、和、虽然是单位根过程，但它们存在一个线性组合是平稳的。这是因为它们具有公共的I（1）因子。

187

（二）协整的含义及检验

1.概念协整过程（co-integratedprocess）也有译为同积过程，是一种特殊的向量单位根过程。

设{，t=1，2，......}为一n维的向量单位根过程，它的每一分量序列{}(i=1,2,...n)为一单变量单位根过程，

~I（1）。如果存在一非零的n维向量，使得的线性组合

成为一稳定过程，即~I（0）