2022-2023学年七年级数学知识点串讲（北师大版）：全等三角形证明方法：截长补短（解析版）

专题09全等三角形证明方法一一截长补短

例题精讲：

例1.已知：如图，四边形ABeD中，AC平分N84£),CE,AB于E,且N3+ZD=180°,判断AE、

AO和BE的关系，并说明理由.

【答案】AE=AD+BE,理由见解析

【详解】解：AE=AD+BE.理由如下：

在AE上截取AM=AD,连接CM,

,：AC平分NBAD,

/.Zl=Z2,

在」AMC和一A。C中，

AC=AC

<Zl=Z2,

AM=AD

：.AMC^ADC(SAS),

：.Z3=ZZ),

VZB+ZD=180o,N3+N4=180°,

二N4=ZB,

.∙.CM=CB,

∖'CE±AB,

,ME=EB(等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合),

∙.∙AE=AM+ME,

/.AE=AD-^BE.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，证出ME=EB∙

例2.如图，四边形ABC。中，AC平分NB4。，。£，回于点及NB+N。=180°,求证：AE=AD+BE.

【详解】解：过点C作CHJ_AD,交AO的延长线于点”，如图所示:

贝IJNc⅛4=90°,

∙.∙AC平分NBA。，CElAB,

：.CE=CH,NeEB=NeE4=90°,ZBAC=ZnAC,

∙.∙ZB+Nr)=I80°,ZCDH+ZADCISOo,

：.ZCDH=ZB,

在.COH和CEB中,

VCDH=NB

<NCHD=ZBEC,

CH=CE

:一CDHACEB(AAS),

.∙.BE=DH,

在，CE4和CTi4中，

ZCEA=NCHA

<ZEAC=NHAC,

AC=AC

.∙.一CE4空C⅛4(AAS),

.∙.AE^AH,

：.AE^AD+DH=AD+EB.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解

题的关键.

例3.如图，己知二ABC为等腰三角形，AB=4C,。为线段CB延长线上一点，连接A。，DE平分乙M>C

3

交AC、AB于点E、F,且NAOC+-NABC=I80°.

2

(1)猜想NzMe与NACD的数量关系，并证明；

(2)求证AD=Z)C+EC.

【答案】（1）ZACD=IADAC,证明见解析：（2）见解析

【详解】（1）解：ZACD=IADAC,证明如下：

∙.∙AB^AC,

：.ZABCZACD,

3

YZADC+-ZAfiC=180°,

2

3

二ZADC+-ZACD=180°,

2

∙.∙ZADC∖SQo-ZACD-ZDAC,

3

.∙.180°-ZACD-ZDAC=180°——ZACD,

2

化简，得：ZACD^2ZDAC;

（2）证明：延长OC至点K,使CK=CE,

；CK=CE,

：.ZK=ZCEK,

：.ZACD=2/K,

'：ZACD=2ΛDAC,

：./DAC=/K,

∙.∙OE平分NAQC,

：.ZADE=ΛKDE,

在，AD石和.KDE中，

NADE=NKDE

<NDAC=NK,

DE=DE

：..ADE^,KDE(AAS),

：.DA=DK,

,：DK=DC+CK=DC+EC,

.∙.AD=DC+EC.

【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明..ADE与，KDE全等解答.

例4.如图，在中，NAcB=90°,NABe=60°,是R上ABC的一个外角的平分线，点。

在CB的延长线上，连接DM,AM,AD,且Z）M=AM.

求证：（1）AMD是等边三角形；

(2)BM=2BC+BD.

MM

备用图

【答案】见解析

【详解】证明：(1)如图1,作M£_L于点E,_L89交BO的延长线于F,则ZDFM=AAEM=90°,

'：平分NABO,

：.MF=ME,

在RfDFM和RfAEM中，

DM=AM

MF=ME'

：.Rt.DFM^Rt.AEM(HL),

：.AMDF=AMAE,

：.ZMDB+ZMAEɪZMDB+AMDF=180°,

.∙.ZΛMD=180°-ZABD-ZABC=60°,

.∙..AMD是等边三角形.

(2)如图2,作AG〃CB交于点G,则ZBAG=NABC=60°,

VZACB=90°,ZABC=60°,

：.NBAC=30。，

.∙.AB=2BC,

•/ZABD=180°-ZABC=120°,

.∙.ZABG=-ZABD=60°,

2

.∙.ZAGB=ZBAG=ZABG=60°,

.∙._ABG是等边三角形，

ΛBG=AG^AB=2BC,ZftAG=NDAM=60°,

.∙.ZGAM=ABAD=600-ZDAG,

在nG4M和84。中，

AM^AD

<ZGAM=NBAD,

AG=AB

：.GW乌β4Z>(SAS),

.∙.GM=BD,

：.BM=BG+GM=2BC+BD.

图1图2

【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、直角三角

形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

例5.己在等腰R±ABC中，NABC=90°,AB=Q3,。为直线AB上一点,连接CD,过点C作

且CE=CD,连接。E,交AC于点尸.

（1）如图1,当点Z）在线段48上，且NoeB=30°时，请探究OE,EF,CE之间的数量关系，并说

明理由；

（2）如图2,在（1）的条件下，在EC上任取一点G,连接。G,作射线GP使Nr）GP=60°,交/DFG

的平分线于点。，求证：FD+FG=FQ.

Sl图2

【答案】（1）EFDF+CF,理由见解析；（2）见解析

【详解】（1）解：EF=DF+CF；

在EF上找到G点使得FG=CF,如图，

•：NBCD=30°,ZACB=45°,

：.NAC£>=15°,

.∙.ZCFG=ZCDE+ZACD=60°,

∙.∙FG=CF,

..._CFG是等边三角形，

,CG=CF=FG,N尸CG=60°,

.∙.NGCE=90°-15°-60°=15°,

在.ECG和.。CF中，

CG=CF

<NECG=ZACD,

CE=CD

.WCG-DCb（SAS）,

.∙.DF=EG,

∙.∙EF=EG+GF,

EF=DF+CF；

（2）证明：在尸。上找到H点，使得FH=FG,如图，

FQ平分ZDFG,：.NQFG=60°,

,：FG=FH,

.∙∙FG”是等边三角形，

ΛZGHFZFGH=60°,GH=FG=FH,

•：ZAFD=ZCDE+ZACD=ωo,

：.ZGHQ=ZDFG=120°,

,/ZFGD+ZDGH=60o,NDGH+NQGH=60°,NQGH=NDGF,

：.ZFGD=ZQGH,

在.OFG和_Q"G中,

ZDFG=NQHG

FG=HG

NFGD=ZQGH

：.DFG冬QHG(ASA),

.∙.DF=QH,

,：FQ=FH+QH,

：.FQ=FG+FD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证二ECG也_COR

和-OQGg_Q”G是解题的关键.

专练过关：

1.如图，A。是4ABC的角平分线，/B=26°,ZAr)C=77°.

(1)求NC的度数；

(2)求证：AC+CD=AB.

【答案】(1)52°；(2)见解析

【详解】(1)解：YZADC=NB+NAW,

.∙.NBW=NAZ)C-NB=77。-26。=51。，

∙/AD平分NB4C,

.∙.ZCAD=ABAD51°,

：.NC=I80。-NADC-NC4£>=180。-77。-51。=52。；

(2)证明：在AB上取一点T,使得AT=AC.

在，A"和一AOC中，

AT=AC

<NDAT=ZDAC,

AD=AD

：.Ar)T组,ADC(SAS),

ΛDT=CD,NATD=NC=52。，

,：ZATC=ZB+ZTDB=52°,

.∙./B=NTDB=26。，

：.TB=TD=CD,

二AC+CD=AT+TB=AB.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用

辅助线，构造全等三角形解决问题.

2.如图所示，BE平分NABD,DE平分NCDB,BE和。E相交于AC上一点E,如果∕BEO=90°,

证明：（1）AB//CD；（2）BD=AB+CD.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）在,8DE中,

∙.∙ZBED=90o,ZBED+ZEBD+ZEDB=180°,

.∙.ZEBD+ZEDB=180°-/BED=180°-90°=90°,

「BE平分NABO,DE平济/CDB,

：.ZABD=2AEBD,∕CDB=2∕EDB,

：.ZABD+ZCDB=2(ZEBD+NEDB)=2χ90。=180。,

.∙.AB//CD-,

(2)如图，在3。上截取BF=84,连接EE,

fBE平分NABO,DE平济/CDB,

：.ZABE=∕EBF,/CDE=/EDF,

*.*BE=BE,AB=BF,

：..ABEWFBE(SAS),

IZA=ZBFE,

'：AB//CD,

：.NA+NC=180。，

ZBFE+NEFD=180°,

：.ZC=ZDFE,

•：/CDE=/EDF,DE=DE,

：.CDE咨FDf(AAS),

.∙.DF=CD,

：.BD=BF+DF=BA+CD.

EC

A

BFD

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形内角和定理，角平分线定义及平行线的判定,

全等三角形的判定是解题的关键.

3.如图，在-ABC中，AC=BC,ZC=90°,Ao是i.ABC的角平分线.

求证：AB=AC+CD；

A

CDn

【答案】见解析

【详解】证明：作DE_LAB于点E,则NAED=NC=NBEO=90°,

：AD是ZBAC的平分线，DE±AB,DCLAC,

'.DE—CD,

在RtEAD和RtCAD中，

AD^AD

DE=DC'

：.RtEAD^RtCW(HL),

二AE—AC,

VAC=BC,ZC=90°,

：.NB=NCAB=45°,

.∙.NEDB=NB=45。,

EB=ED=CD,

.∙.AB=AE+EB=AC+CD.

A

【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股

定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

4.在一ABC中，NA=α,BD,CE是二ABC的两条角平分线，且BO,CE交于点、F.

(1)用含α的式子表示ZBFC,则ABFC=

(2)当a=60°时，用等式表示BE,BC,Co这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)90°+,0;(2)BE+CDBC

2

【详解】解：(I)VBD,CE是CABC的两条角平分线，

.∙.ZDBC=ZDBA=-ZABC,ZECB=ZECA=-ZACB,

22

.∙.ZBFC=180o-NDBC-ZECB=180o-∣(ZABC+ZACB)=180°(180°—NA)=90°+gNA,

•：ZA=α,

.∙.ZBFC=9Qo+-a,

2

故答案为：90o+-a.

2

(2)BE+CD=BC,

证明：当α=600时，如图，在BC上截取BG=BE,连接尸G,

•：ZBFC=90。+La=90。+L60。=120°,

22

.∙.ZBFE=ZCFD=180°-ZBFC=60°,

在JBGF和.BEF中,

BG=BE

<NFBG=ZFBE,

BF=BF

：.BGF公BEF(SAS),

：•/BFG=NBFE=9。,

：.NeFG=NCFD=60。，

在二CGF和-CZ)E中，

ZFCG=ZFCD

<CF=CF,

NCFG=NCFD

：.CGF/CDF(ASA)，

：.CG-CD,

BE+CD=BG+CG-BC.

【点睛】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识,

正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

5.如图，.ABC中，NB4C=90°,以直角边AC为腰，向外作等腰直角三角形ACr>,4C=CD,

NACD=90°,点E是BC边上一点，且CE=CD,ΛABC=IACED.

(1)探究:NCDE与AACB的数量关系;

(2)求证:BC=CF+AB.

D

备用图

【答案】(1)NAe3+2NcDE=90°,理由见解析；(2)见解析

【详解】(1)解：ZACB+2ZCDE=90°,理由如下：

,：CE=CD,

：.ZCED=ZCDE,

CDE中，ZCDE+ZCEZ)+ZECD=180°,

∙.∙NAcD=90。，

.∙.ZCED+ZCDE+ZACB=90°,

：.ZAcB+2NCr)E=90。：

(2)证明：如图1,延长84至G,使AG=C下，连接CG,

图1

VACCD,ZG4G=ZDCF=90o,AG=CF,

：.G4C也/CD(SAS),

.∙.NG=NCFD,ZACG=/CDF,

'：ZCED=ZCDE,

：.ZACG=ZCED,

'：ZCFD=ZCED+ZACB,

：.ZCFD=NG=ZACG+ZACBZBCG,

.∙.BC=BG,

•：BG^AB+AG=AB+CF,

BC=CF+AB.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与

性质.

6.如图，CA=CB,CD=CE,NACB=Nr)CE=60°,AD,BE交于点P,若点C在BZ)上.

(1)/£=35°,求/C4。的度数；

(2)连接尸C,求证：PB-PA=PC.

【答案】⑴25°；(2)见解析

【详解】(1)解：∙.∙NACB=NDCE,

ZACB+ZACE=ZDCE+ZACE,

即NBCE=ZACD,

在_AS和.BCE中,

CA=CB

<ZACD=NBCE,

CD=CE

：.ILACB-BCE(SAS),

.∙.NjD=N£=35。，

∙.∙ZACB=60。，

.∙.NC4Z>=ZACe-NO=60°-35°=25。；

(2)证明：如图，在BP上取8尸=AP,连接CT,

由(1)知，BCEW.ACD,

ZA=ZB,

•