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高等数学多媒体课件制作人：聂水晶第四章导数的应用第一节微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理——费马(Fermat)定理费马〔Fermat，1601-1665〕，法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。几何解释:证明:几何解释:2.罗尔(Rolle)定理xO

yCxaby=f(x)AB如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线平行于x轴。 如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，那么至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。证由费马引理,注意：如果定理的三个条件有一个不满足，那么定理的结论就可能不成立。

f(x)不满足条件(1)BxO

yAab

f(x)不满足条件(3)xO

yABab

f(x)不满足条件(2)xO

yABabc例1验证

例2

不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。

解

f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f

(x1)=0，x1是

f

(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点x2，使f

(x2)=0，x2也是f

(x)的一个零点。

f

(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：

C2hxO

yABaby=f(x)C1x3.拉格朗日(Lagrange)中值定理证明作辅助函数

例3拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：推论1证明推论2证明例4证由推论1知,例5利用拉格朗日定理可证明不等式.

证例6证由上式得例7证类似可证：

特别，4.柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，那么至少存在一点x(a，b)内，使得

如果取g(x)

x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：xO

yAB

f(b)

f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为证明

易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点x

(a,

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