（江苏专用）高考数学一轮复习 考点05 函数的单调性与最值必刷题（含解析）-人教版高三数学试题

考点05函数的单调性与最值1．函数在的图像大致为A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．2．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．3．已知函数的定义域为,为偶函数,且对,满足.若,则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为对,满足，所以当时，是单调递减函数，又因为为偶函数，所以关于对称，所以函数当时，是增函数，又因为，所以有，当时，即当时，当时，即当时，，综上所述：不等式的解集为，故本题选A.4．函数的单调减区间为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数,所以或，所以函数的定义域为或，当时，函数是单调递减，而，所以函数的单调减区间为，故本题选A。5．已知函数，则的小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数为偶函数，，，当时，，函数在上递增，，即，故选：．6．记设，则（）A．存在B．存在C．存在D．存在【答案】C【解析】解：x2﹣x3＝x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|＝|t2+（﹣t）3|＝|t2﹣t3|＝t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t2+t3|＝t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t2﹣（﹣t）3＝t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|＝|t3+（﹣t）3|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t3+t3|＝2t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t3﹣（﹣t）3＝2t3，当t＝1时，|f（t）+f（﹣t）|＝|1+（﹣1）|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，f（t）﹣f（﹣t）＝1﹣（﹣1）＝2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|＝f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）＝f（1+t）+f（1﹣t）＝（1+t）2+（1﹣t）3＝﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）＝﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）＝0得﹣3t2+8t﹣1＝0，∴△＝64﹣12＝52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）＝（1+t）﹣f（1﹣t）＝（1+t）2﹣（1﹣t）3＝t3﹣2t2+5t，则h′（t）＝3t2﹣4t+5＝3（t）20，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）＝0，∴|h（t）|＝h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＝f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选：C．7．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，,,函数是定义域为的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要.故答案为：A.8．在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，就称这个函数是点的“限定函数”．以下函数：①，②，③，④，其中是原点的“限定函数”的序号是______．已知点在函数的图象上，若函数是点的“限定函数”，则的取值范围是______．【答案】①③【解析】要判断是否是原点O的“限定函数”只要判断：，都有，对于①，由可得，则①是原点O的“限定函数”；对于②，由可得，则②不是原点O的“限定函数”对于③，由可得，则③是原点O的“限定函数”对于④，由可得，则④不是原点O的“限定函数”点在函数的图像上，若函数是点A的“限定函数”，可得，由，即，即，可得，可得，且，即的范围是，故答案为：①③；.9．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为____．【答案】【解析】函数是定义域为的偶函数，可转化为，又在上单调递增，，两边平方解得：，故的解集为.10．函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】解：f（x）＝x3+2019x﹣2019﹣x+1，可得f（x）＝﹣x3+2019﹣x﹣2019x+1，则f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x）在R上递增，f（x）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则msin（θ），则m，则g（m）＝m2+m﹣2，其对称轴m，故当m时，g（m）取的最大值，最大值为22．则t，故答案为：（，+∞）.11．已知函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数．若，则满足的x的取值范围是______．【答案】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数，

则在在上也是增函数，

故函数在R上也是增函数；

又由，则，则解可得，即不等式的解集为故答案为：.12．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】令，则，∵，∴，函数在递减，∴，∴，，∴，即，故，解得：，∴.故答案为：13．若实数满足.则的最小值为____________【答案】【解析】∵，∴，,当且仅当时即时取等号，当且仅当时取等号∴且，即，因此（当且仅当时取等号），从而的最小值为14．设曲线在点处的切线为，在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】，，存在，使得，即,,，令，,，∴，故，∴答案为.15．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．【答案】【解析】不等式可化为：若对任意，总存在，使得成立，则：当时，的最大值为：当时，的最大值为：最小值为：所以可化为：，解得：.故：16．己知实数x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_______．【答案】4－2【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故，，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以.17．设函数（）．若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】存在,使，，当时,,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1)若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.18．已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此19．已知函数，，则最大值是______．【答案】【解析】分析：分x=0和x≠0两种情况讨论．当x≠0时，利用换元法将问题转化为求函数在区间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值．详解：①当x=0时，；②当x≠0时，由，令，由得，则，由于在上单调递减，所以，此时x＝，所以f(x)≤．故f(x)的最大值为．20．选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】(I)最大值为1.(Ⅱ)【解析】解：（Ⅰ）函数可化为，由，即时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数在上单调递增，∵，，，∴，即，所以，∴.即实数的取值范围是.21．已知函数（且）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，讨论函数在区间上的最值.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）函数的定义域是..当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.①当，即时，函数在区间上单调递减，所以函数在上的最大值为，最小值为；②当，即时，函数在区间上单调递增，所以函数在上的最大值为，最小值为；③当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在上的最小值为.最大值为与中的较大者.下面比较与的大小：因为，令，得，化简得，解得.因为，且，所以.所以当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为.综上，当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为；最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为.22．选修4-5：不等式选讲设的最小值为.（1）求实数的值；（2）设，，，求证：.【答案】（1）；（2）见详解.【解析】（1）当时，取得最小值，即.（2）证明：依题意，，则.所以，当且仅当，即，时，等号成立.所以.23．已知函数的图像在上连续不断，定义：（），（），其中表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值，若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.（1）若，，试写出，的表达式；（2）已知函数，，判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由；（3）已知，函数，是上的2阶收缩函数，求的取值范围.数学附加题【答案】(1)，，，.(2).即存在，使得是上的“4阶收缩函数”.(3)【解析】试题分析：（1）根据的最大值可求出，的解析式；（2）根据函数，上的值域，先求出，的解析式，再根据求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数求导判断函数的单调性，进而写出，的解析式，然后再由求出k的取值范围.试题解析：（1）由题意可得：，，，.（2），，当时，，∴，；当时，，∴，∴；当时，，∴，综上所述，.即存在，使得是上的“4阶收缩函数”.（3），令得或.函数的变化情况如下：令得或.（1）当时，在上单调递增，因此，，.因为是上的“二阶收缩函数”，所以，①，对恒成立；②存在，使得成立.①即：对恒成立，由解得或.要使对恒成立，需且只需.②即：存在，使得成立.由解得或.所以，只需.综合①②可得（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立，（3）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立.综合（1）（2）（3）可得：.24．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)。(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。【答案】①；②【解析】(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝恒成立，则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞).25．已知函数，，其中.（1）当时，求函数的值域；（2）若对任意，均有，求的取值范围；（3）当时，设，若的最小值为，求实数的值.【答案】（1）;(2);(3).【解析】（1）当时，，因为，所以，的值域为（2）若，若时，可化为即，所以因为在为递增函数，所以函数的最大值为，因为（当且仅当，即取“”）所以的取值范围是.（3）因为当时，，令，，则，当时，即，；当时，，即，因为，所以，.若，，此时，若，即，此时，所以实数.26．已知函数，．（1）求的最小值；（2）若．求证：．【答案】（1）；（2）证明过程如解析【解析】解：（1），令．当时，；当时，．所以，．（2）由，，得，，．由（1），当，，所以，，，．（*）因为，由（1），，所以，．由（*）（*），，所以，．点睛：解答本题的第一问时，先对函数，求导，求出导函数的零点（极值点），再求出其最小值；第二问的证明过程是：先借助（1）的结论证得当，，然后分析推证，，再运用，即，也即．同理可证．进而证得，故所证不等式成立。27．已知函数.（1）设.①若，曲线在处的切线过点，求的值；②若，求在区间上的最大值.（2）设在，两处取得极值，求证：，不同时成立.【答案】（1）①或.②的最大值为0.（2）见解析.【解析】（1）根据题意，在①中，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入即求出的值，在②中，通过函数的导数来研究其单调性，并求出其