某某中学2019-2020学年高中三年级上学期第二次开学考试数学(理)试题

…………○…………内…………○…………装…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………….试卷第=page2222页,总=sectionpages2222页.绝密★启用前XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷〔选择题>请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合,,则〔A． B． C． D．[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]C[解析][分析]解一元二次不等式求得集合,求对数型函数定义域求得集合,进而求得两个集合的交集.[详解]因为,,所以.故选C.[点睛]本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力,属于基础题.2．设复数在复平面内对应的点为,,若复数z的实部为1,则〔A． B． C． D．[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]D[解析][分析]设,代入,用复数乘法运算进行化简,根据复数的实部为求得正确选项.[详解]因为,,所以.故选D.[点睛]本题考查复数的四则运算及实部的概念,考查运算求解能力,属于基础题.3．已知,,,则a,b,c的大小关系为〔A． B． C． D．[来源]2019年XX省XX市第一中学高三上学期第二次开学考试数学〔文>试题[答案]B[解析][分析]采用""分段法,找到小于、在之间和大于的数,由此判断出三者的大小关系.[详解]因为,,,所以.故选B.[点睛]本题考查指数与对数值的大小比较,考查运算求解能力,属于基础题.4．函数的部分图象大致为〔A． B． C． D．[来源]2019年XX省XX市第一中学高三上学期第二次开学考试数学〔文>试题[答案]A[解析][分析]先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,再用特殊值确定正确选项.[详解]首先函数的定义域为,且,所以函数为奇函数,图象应该关于原点对称,排除C和D,当时,,故A正确[点睛]本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力,属于基础题.5．如图,四边形为正方形,为等腰直角三角形,F为线段的中点,设向量,,则〔A． B． C． D．[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]C[解析][分析]作,垂足为G,利用平面向量的线性运算用表示出,由此确定正确选项.[详解]作,垂足为G,如下图所示,则,又,,所以.故选C.[点睛]本题考查平面向量的线性表示,考查化归与转化的数学思想,属于基础题.6．执行如图所示的程序框图,如果输入的,那么输出的〔A．167 B．168 C．104 D．105[来源]2019年XX省XX市第一中学高三上学期第二次开学考试数学〔文>试题[答案]B[解析][分析]通过分析得出程序框图所计算数值为数列的前6项和,利用分组求和法求得输出的值.[详解]这个程序框图表示计算数列的前6项和,所以.故选B.[点睛]本题考查算法与程序框图,考查运算求解能力,考查分组求和法,属于中档题.7．在长方体中,,,,点O为长方形对角线的交点,E为棱的中点,则异面直线与所成的角为〔A．30° B．45° C．60° D．90°[来源]2019年XX省XX市第一中学高三上学期第二次开学考试数学〔文>试题[答案]C[解析][分析]通过三角形中位线平移直线,作出线线角,解直角三角形求得线线角的正切值,由此求得线线角的大小.[详解]连接,如下图所示,因为OE为的中位线,所以,所以为异面直线与OE所成的角在中,,CD=3,所以,.故选C.[点睛]本题考查几何体中点、线、面的位置关系以及夹角问题,考查空间想象能力和运算求解能力,属于基础题.8．十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相。现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是<>A． B． C． D．[来源]2019年XX省肥城市高三第一次统考数学试题[答案]A[解析][分析]基本事件总数,这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率．[详解]解：现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,基本事件总数,这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是．故选：．[点睛]本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题．9．若函数的图象上存在与直线垂直的切线,则实数a的取值范围是〔A． B． C． D．[来源]2019年XX省XX市第一中学高三上学期第二次开学考试数学〔文>试题[答案]B[解析][分析]设出切点坐标,根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率,令的导数等于这个斜率建立方程,分离常数后利用函数的值域求得的取值范围.[详解]设切点为,切线的斜率为,由,得,所以,而,所以.故选B.[点睛]本题考查导数的几何意义,考查推理论证能力,属于中档题.10．从A地到B地有三条路线：1号路线,2号路线,3号路线.小王想自驾从A地到B地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说:"2号路线不堵车,3号路线不堵车,"司机乙说:"1号路线不堵车,2号路线不堵车,"司机丙说:"1号路线堵车,2号路线不堵车."如果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是〔A．1号路线 B．2号路线 C．3号路线 D．2号路线或3号路线[来源]2019年XX省XX市第一中学高三上学期第二次开学考试数学〔文>试题[答案]B[解析][分析]分别假设甲、乙、丙说得对,分析出有矛盾的说法,由此得出正确结论.[详解]①若甲说得对,则2号路线,3号路线都不堵,由于乙是错误的,所以1号路线堵车,这样丙也说得对,这与只有一人说法正确矛盾；②若乙说得对,则1号路线,2号路线都不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时丙也是错误的,符合条件；③若丙说得对,则1号路线堵车,2号路线不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时乙也是错误的,符合条件综上所述,由于②③中都有2号路线不堵,所以小王最应该选择2号路线.故选B.[点睛]本题考查逻辑与推理,考查推理论证能力和创新意识,属于基础题.11．已知抛物线的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则的最小值为〔A．2 B．1 C．5 D．[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]D[解析][分析]求得抛物线焦点坐标,设出的坐标和直线的方程,将直线方程代入抛物线方程,化简后写出韦达定理,利用抛物线的定义化简,然后用基本不等式求出最小值.[详解]由题意知,抛物线的焦点坐标为,设,,,代入抛物线方程可得,所以,,所以,又因为,由抛物线的性质可得,,故,由可得,从而有,所以,当且仅当时取等号.故选D.[点睛]本题考查直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力和推理论证能力,考查基本不等式求最值的方法,属于中档题.12．设数列的前n项和为,且满足,,用表示不超过x的最大整数,设,数列的前2n项和为,则使成立的最小正整数n是〔A．5 B．6 C．7 D．8[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]B[解析][分析]利用求得数列的通项公式以及前项和,利用二项式展开式化简,求得,利用分组求和法求得数列的前2n项和,由此求得使成立的最小正整数的值.[详解]令,得,又,解得,,又,,所以,又,可求得,.所以,即,所以,即,所以,因此,当时,；当时,.使成立的最小正整数n是6.故选B.[点睛]本题考查等比数列通项公式及前项和公式,考查分组求和法,考查推理论证能力和创新意识,属于难题.第II卷〔非选择题>请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．已知函数,将的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象,则函数的最小正周期是______,最大值是______.[来源]2019年XX省XX市第一中学高三上学期第二次开学考试数学〔文>试题[答案][解析][分析]利用用降次公式化简解析式,左移个单位得到的解析式,化简的表达式为的形式,由此求得其最小正周期和最大值.[详解]因为,左移个单位得到,所以,所以,最大值为.故填：〔1；〔2.[点睛]本题考查三角函数降次公式,三角函数图像变换,辅助角公式,三角函数周期性和最值的求法,考查运算求解能力,属于中档题.14．设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]18[解析][分析]将已知已知转化为的形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.[详解]因为,所以.故填：.[点睛]本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.15．"三个臭皮匠,赛过诸葛亮",这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大。假设李某智商较高,他独自一人解决项目的概率为；同时,有个水平相同的人也在研究项目,他们各自独立的解决项目的概率都是0.5。现在李某单独研究项目,且这个人组成的团队也同时研究项目,且这个人研究项目的结果相互独立。设这个人团队解决项目的概率为,若,则的最小值是_____。[来源]2019年XX省肥城市高三第一次统考数学试题[答案]4[解析][分析]这个人组成的团队不能解决项目的概率为,所以,所以,解不等式即可．[详解]解：依题意,这个人组成的团队不能解决项目的概率为,所以,所以,即,解得,故答案为：4[点睛]本题考查了相互独立事件的概率乘法公式,指数不等式的解法,属于基础题．16．已知双曲线的左、右焦点分别为,,点A是双曲线右支上的一点,若直线与直线平行且的周长为9a,则双曲线的离心率为______.[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]2[解析][分析]利用双曲线的定义和三角形的周长列方程,用表示出,,结合求得并化简,由此解出离心率.[详解]如图,设,,则,解得,因为直线与直线平行,所以,所以,所以,把,代入上式得,所以,得.故填：2.[点睛]本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想与运算求解能力,属于中档题..评卷人得分三、解答题17．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.<1>求角C；<2>若,求当的面积最大时a,b的长,并求出最大面积.[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]〔1〔2当时,的面积的最大值为[解析][分析]〔1利用余弦定理化简已知条件,求得的值,进而求得角的大小.〔2利用余弦定理和基本不等式求得的最大值,进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值.[详解]解：〔1因为,所以,所以,所以.〔2由,得,所以,当且仅当时取等号,所以的面积,当且仅当时取等号,即当时,的面积的最大值为.[点睛]本小题主要考查利用余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查利用基本不等式求最大值,属于中档题.18．如图,已知四棱锥的底面是梯形,,,且,.<1>若O为的中点,证明：平面.<2>求二面角的余弦值.[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]〔1详见解析〔2[解析][分析]〔1通过证得,连接,通过勾股定理计算证明证得,由此证得平面.〔2以D为原点建立空间直角坐标系,利用平面和平面的的法向量,计算出二面角的余弦值.[详解]〔1证明：因为,,所以,,又,O为AC的中点,所以,,连接OD,在中,O为AC的中点所以,因为,所以,又,所以平面ABCD.〔2解：如图,以D为原点,别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面BCP的一个法向量为,由,得,令,可得,又平面BCD的一个法向量为,易知二面角为锐角,设其为,则.[点睛]本小题主要考查线面垂直的证明,考查利用空间向量法计算二面角的余弦值,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19．设椭圆的左、右顶点分别为,,上顶点为B,右焦点为F,已知直线的倾斜角为120°,.<1>求椭圆C的方程；<2>设P为椭圆C上不同于,的一点,O为坐标原点,线段的垂直平分线交于M点,过M且垂直于的直线交y轴于Q点,若,求直线的方程.[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]〔1〔2[解析][分析]〔1利用直线的倾斜角、的值列方程,结合,求得的值,进而求得椭圆的方程.〔2设出直线的方程,由此求得点坐标,由此求得直线的方程,进而求得点坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得点坐标,将转化为两条直线斜率乘积等于列方程,解方程求得直线的斜率,进而求得直线的方程.[详解]解：〔1设焦距为2c,因为直线BF的倾斜角为120°,所以,即,又因为,所以,即,代入,并化简得,解得,所以,,椭圆C的方程为.〔2设,直线的方程为,令,得,即,则,直线,令,得,联立方程组,并消去y得,由,得,把代入,得,得.又,则,同理,,所以,解得,所以直线的方程为.[点睛]本小题主要考查椭圆的几何性质,考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的交点坐标的求法,考查直线垂直时斜率的关系,考查直线的点斜式方程,考查运算求解能力,属于中档题.20．2019超长"三伏"来袭,虽然大部分人都了解"伏天"不宜吃生冷食物,但随着气温的不断攀升,仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在,某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式,得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：组别<单位：百元频数31120272613<1>由频数分布表大致可以认为,被抽查超市3天内进货总价,μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值<同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,利用正态分布,求；<2>在<1>的条件下,该公司为增加销售额,特别为这100家超市制定如下抽奖方案：①令m表示"超市3天内进货总价超过μ的百分点",其中.若,则该超市获得1次抽奖机会；,则该超市获得2次抽奖机会；,则该超市获得3次抽奖机会；,则该超市获得4次抽奖机会；,则该超市获得5次抽奖机会；,则该超市获得6次抽奖机会.另外,规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会；②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元,每次抽奖中奖的概率为.设超市A参加了抽查,且超市A在3天内进货总价百元.记X〔单位：元>表示超市A获得的奖金总额,求X的分布列与数学期望.附参考数据与公式：,若,则,,.[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]〔1〔2详见解析[解析][分析]〔1利用频数分布表,计算出平均数,根据题目所给参考数据求得,根据正态分布的对称性以及题目所给参考数据,求得指定区间的概率.〔2先计算出的值,由此确定抽奖次数,根据二项分布概率计算公式,计算出概率,结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和数学期望.[详解]解：〔1由题意得,因为,所以,,所以,,,所以,,〔2因为,所以,所以,超市A获得4次抽奖机会,从而,X的可能取值为0,1000,2000,3000,4000,又因为每次抽奖不中的概率为,所以,,,,.所以,X的分布列为X01000200030004000P所以,X的数学期望为元.[点睛]本小题主要考查利用样本均值估计正态分布均值,考查正态分布对称性的应用,考查二项分布概率计算公式,考查实际问题的期望计算.21．已知函数.<1>证明：当时,有且仅有一个零点.<2>当,函数的最小值为,求函数的值域.[来源]XX省XX市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学〔理>试题[答案]〔1详见解析〔2[解析][分析]〔1利用导数求得函数的单调区间和最小值,结合零点存在性定理,证得结论成立.〔2先求得得到解析式和导函数.根据〔1的结论,求得导函数的零点,根据将转化为的形式,进而求得最小值的表达式,利用构造函数法和导数作为工具,求得最小值的取值范围,进而求得的取值范围.[详解]〔1证明：因为,所以.令,解得；令,解得,则在区间上单调递减,在上单调递增,故,因为,所以,所以当时,,故在上没有零点,因为,所以当时,,因为在上单调递增,所以有且仅有一个零点综上,当时,有且仅有一个零点.〔2解：因为,所以.由〔1知当时,有且仅有一个零点,因为,,所以存在唯一,使得,且当时,；当时,.故在区间上单调递减,在上单调递增,所以,又,即,代入上式得,,,设函数,,则在上单调递减,故,因为函数在上单调递减,故对任意,存在唯一的,,使得,所以的值域是,综上,当时,函数的最小值的值域为[点睛]本小题主要考查利用导数求解有关函数零点个数问题,考查利用导数研究函