2024年南昌市高三数学“九省联考”考后适应性测试卷附答案解析

2024年南昌市高三数学“九省联考”考后适应性测试卷题型为8+3+3+5模式一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20482．从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是（

）A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.53．为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相离4．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（

）①若，且，则；②若相交且都在平面外，，则；③若，则；④若，且，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知，则的值为（

）A． B．1 C．4 D．6．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（

）A． B． C．3 D．77．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．10．若的三个内角的正弦值为，则（

）A．一定能构成三角形的三条边B．一定能构成三角形的三条边C．一定能构成三角形的三条边D．一定能构成三角形的三条边11．已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（

）A．存在实数，使得B．C．D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设为复数的共轭复数，若复数满足，则．13．正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为．

14．已知不等式对恒成立，则当取最大值时，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.16．在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．(1)求的概率分布；(2)求的数学期望（保留小数点后两位）．参考数据：．17．在三棱柱中，，点为中点．

(1)求的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值．18．已知为曲线上任意一点，直线与圆相切，且分别与交于两点，为坐标原点.(1)若为定值，求的值，并说明理由；(2)若，求面积的取值范围.19．已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；(2)若，证明：；(3)设，若，求的最小值．1．B【分析】利用等差数列的下标和性质与求和公式即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.2．C【分析】将这组数据从小到大排序，根据百分位数的概念，即可得到答案.【详解】将这12个数据从小到大排序得：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，由，可知这组数据的第25百分位数为，由，可知这组数据的第50百分位数为，由，可知这组数据的第75百分位数为，所以这组数据的四分位数不可能是9.9.故选：C3．A【分析】由题意得，结合点到直线的距离公式判断圆心到直线的距离与半径的大小即可.【详解】由题意圆心，而圆心到直线的距离，所以直线与该圆的位置关系为相离.故选：A.4．A【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.【详解】对于①，若，且，则或相交，故①错误；对于③和④，与也可能相交，均错误；对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知．故选：A．5．C【分析】对所给二项式合理变形，求展开项系数即可.【详解】在中，而，由二项式定理知展开式的通项为，令，解得，令，，故，同理令，解得，令，解得，故，故.故选：C6．B【分析】根据已知结合投影向量的概念得出，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，在上的投影向量为，又在上的投影向量，所以，所以，所以，所以.故选：B.7．B【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率.【详解】由椭圆定义可知，由，故，，点满足，即，则，又，，即，又，故，则，即，即平分，又，故，则，则，，，由，故，即，即，又，故.故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到.8．C【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.【详解】当时，因为此时的最小值为，所以，即.若，此时能取到最小值，即，代入可得，满足要求；若取不到最小值，则需满足，即，在上单调递减，所以存在唯一符合题意；所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，故选：C9．BCD【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案.【详解】，则对都成立，又，所以，观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.故选：BCD.10．AD【分析】根据正弦定理边角化，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.【详解】对于A，由正弦定理得，所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，A正确，对于B，由正弦定理得，例如，则，由于，，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，对于C,由正弦定理得，例如：、、，则、、，则，，，作为三条线段的长不能构成三角形，C不正确；对于D，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且，所以，故D正确，故选：AD11．BCD【分析】化简方程，令，得，构造，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．【详解】由方程，可得．令，则有，即．令函数，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，或，，令，若，，则故．若，，则，无解，综上：，故C正确；由图结合单调性可知，故B正确；若，则，又，故A不正确；，故D正确，故选：BCD．【点睛】关键点点睛：构造，判断出函数的单调性，结合图象将，转化成关于t的函数即可求解.12．【分析】由题意可知，、是关于实系数方程的两个虚根，利用韦达定理可求得的值.【详解】对于方程，，由题意可知，、是关于实系数方程的两个虚根，由韦达定理可得.故答案为：.13．【分析】根据几何体的特征求高，即可求其体积；根据球的截面性质即可求其截面面积.【详解】如图，取的中点，连接，取的中点，连接．

由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为．此正八面体的外接球的球心为，半径为，到平面的距离等于到平面的距离，在中，过作的垂线，垂足为，则平面．由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，其半径，所以所得截面的面积为．故答案为：；.14．【分析】由题设，结合、的性质及不等式恒成立得，再构造，利用导数研究其最小值得且，根据不等式恒成立得，应用基本不等式求最大值并确定取值条件，此时有恒成立即可求参数值.【详解】由，且，若，则在趋向于0时，函数值趋向，而趋向于，此时在上不能恒成立，所以，令且，则，令且，则，所以时，递减，时，递增，则，且时，趋向正无穷时趋向正无穷，故，使，即，所以时，即，时，即，所以上递减，上递增，则，要使对恒成立，只需恒成立，所以，即，当且仅当，即时等号成立，结合已知参数比值取最大值，此时，则，故，即.故答案为：【点睛】关键点点睛：首先确定，再构造研究最小值，根据不等式恒成立有，结合等号成立条件求参数m的值.15．(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.【详解】（1），由已知，∴得又∴曲线在点处的切线方程为化简得：（2）定义域为R，，令得或①当即时，令得或，令得，故在单调递减，在，上单调递增；②当即时，恒成立，故在R上单调递增；③当即时，令得或，令得，在上单调递减，在，上单调递增；综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；16．(1)(2)【分析】（1）分析可知，的所有可能取值为、、、、，计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的概率分布列；（2）利用错位相减法可求得的值.【详解】（1）解：将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为、、、、．则，，，，，，所以的概率分布为.（2）解：的数学期望，①，②①②得，，，因为，所以．17．(1)；(2).【分析】（1）利用线面垂直的判定证得平面，再结合线面垂直的性质，由勾股定理求解即得.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连，由，得，又平面，则平面，平面，于是，有，所以.

（2）由，得，显然，因此，即，由（1）知两两垂直，以为坐标原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值.18．(1)或;(2)【分析】（1）利用直线与圆相切，以及韦达定理表示出，进而求出的值（2）判读出三点共线，利用（1）问表示出，借助弦长公式，进行换元转化为二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意设，当直线的斜率不为时，直线：，因为直线与圆相切，所以，即，联立，可得：，所以，所以，因为，所以，要使为定值，则，所以或，当直线的斜率为时，因为直线与圆相切，所以，即，不妨取，联立，可得,所以所以，也符合上式.（2）当时，由（1）可知，，同理,即三点共线，所以，当直线的斜率不为时，由（1）可知：所以，因为，所以，令，所以，所以当时，有最小值为；当时，有最小值为；当直线的斜率为时，由（1）可知：.综上:面积的取值范围.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．19．(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析；(2)证明见解析；(3)8【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；（2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明；（3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可.【详解】（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知，当时，有，显然若时，，而，故31是可表数，1024不是可表数；（2）由题意可知若，即，设，即使得，所以，且成立，故，所以若，则，即中的元素个数不能超过中的元素，对于确定的，中最多有个元素，所以；（3）由题