（人教A版2019必修第一册）高一数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 5.5.2 简单的三角恒等变换【附答案解析】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换【考点梳理】考点一半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考点二辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【题型归纳】题型一：降幂公式的化简求值问题1．（2023·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2．（2023·全国·高一课时练习）利用倍角公式求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.3．（2020·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一期中（文））求值：（1）若，求的值.（2）求的值.题型二：辅助角公式的应用4．（2023·河北迁安·高一期末）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调减区间；（3）当时，画出函数的图象.5．（2023·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的值域.6．（2023·上海·高一课时练习）化简并求值.（1）；（2）；（3）；（4）.题型三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题7．（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：（1）；（2）；（3）；（4）.8．（2023·四川·成都外国语学校高一月考）已知函数，函数的最小正周期是（）A． B． C． D．9．（2023·全国·高一课时练习）（1）求的值；（2）已知均为锐角，且，求的值.题型四：三角恒等式变换中证明、化简问题10．（2023·全国·高一课时练习）证明：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.11．（2023·全国·高一课时练习）求下列各式的值：（1）已知，求的值；（2）求的值；12．（2023·河南驻马店·高一期末（理））化简，求值：（Ⅰ）已知，求；（Ⅱ）13．（2023·四川·仁寿一中高一开学考试）已知，.（1）求；（2）已知，.求.【双基达标】一、单选题14．（2023·全国·高一课时练习）若，是第三象限的角，则＝（）A．2 B． C．﹣2 D．15．（2023·河南·高一期末）下列函数中是奇函数且最小正周期为的是（）A． B．C． D．16．（2023·全国·高一课时练习）的值为（）A． B． C． D．17．（2023·上海·上外浦东附中高一期中）若，则等于（）A． B． C． D．18．（2023·河南商丘·高一月考）若函数的最大值为，则实数的值为（）A． B． C． D．19．（2023·湖北武汉·高一期中）已知，则的值为（）.A． B． C． D．20．（2023·江苏省前黄高级中学高一月考）若，则的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202221．（2023·河南驻马店·高一期末（理））已知，则的值是（）A． B． C． D．22．（2023·江苏·南京师大附中高一期末）已知，，，若，则＝（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题23．（2023·全国·高一课时练习）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A．–2 B．–1 C．1 D．224．（2023·北京·101中学高一期末）若，则（）A． B． C． D．25．（2023·上海·高一期中）已知，，且，，则（）A． B． C． D．26．（2023·福建·莆田锦江中学高一期末）若，，，则（）A． B． C． D．27．（2023·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一月考（理））若，，，，则（）A． B． C． D．28．（2023·江苏·扬州大学附属中学高一月考）已知，则的值为（）A． B． C． D．29．（2023·全国·高一专题练习）函数的最大值和最小值分别为（）A． B． C．，0 D．30．（2023·浙江·高一期末）已知则（）A． B． C． D．31．（2018·四川资阳·高一期末）已知，，则的值为A． B． C． D．32．（2023·全国·高一课时练习）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）A． B． C． D．二、多选题33．（2023·海南·琼中中学高一期中）已知，，则（）A． B．C． D．34．（2020·全国·高一课时练习）设函数，则A．是偶函数 B．在单调递减C．最大值为2 D．其图像关于直线对称35．（2023·江苏·常熟市中学高一月考）已知，，，，则（）A． B．C． D．36．（2023·山东枣庄·高一期末）下列化简正确的是（）A． B．C． D．37．（2023·江苏·仪征市第二中学高一月考）下列说法正确的是（）A．B．C．D．38．（2023·江苏·南京市秦淮中学高一月考）下列等式中恒成立的是（）A． B．C． D．三、填空题39．（2020·全国·高一课时练习）函数的最大值为__________.40．（2023·河北·藁城新冀明中学高一月考）已知=，则的值是____.41．（2020·四川·棠湖中学高一月考）__________.42．（2023·广东·金山中学高一期中）已知，则______.43．（2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为______．44．（2020·福建省南平市高级中学高一期中）若都是锐角，，，则.45．（2023·安徽舒城·高一期末）若，则__________.46．（2023·山东滨州·高一期末）函数在区间上的最大值为____________.47．（2019·河南驻马店·高一期末（文））已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．四、解答题48．（2023·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）．49．（2023·全国·高一课时练习）证明：（1）；（2）．50．（2023·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）.51．（2023·全国·高一课时练习）解答：（1）化简：；（2）求值：；（3）求函数的最大值.52．（2023·北京·大峪中学高一期中）已知，且.（1）求的值；（2）求的值.53．（2023·上海市民办西南高级中学高一月考）（1）已知，，求的值；（2）已知，，求．【答案详解】．1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）因为，所以，所以，因此原式.2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．（1）由，等式左边分子、分母同除得，，解得，则.（2）.4．（1）；（2）；（2）详见解析.【详解】（1），，，所以函数的周期为；（2）令，解得，所以函数的单调减区间是；（3）由列表如下：0xy0-2020则函数的图象如下：.5．（1）；（2）.【详解】（1）由，所以函数的最小正周期为．（2）时，，，∴的值域为．6．（1）；（2）；（3）；（4）32.【详解】（1）原式.（2）原式

.（3）原式.（4）原式.7．（1），最大值为1，最小值为；（2），最大值为，最小值为；（3），最大值为2，最小值为；（4），最大值为2，最小值为.8．B【详解】所以的最小正周期为，故选：B9．（1）；（2）.【详解】（1）原式（2）因为均为锐角，，所以，，由根据函数在上为增函数，所以所以.又均为锐角，则，所以10．（1）左边==右边，原式成立.（2）左边=右边，原式成立.（3）左边=右边，原式成立.（4）左边=右边，原式成立.（5）左边=右边，原式成立.（6）左边=右边，原式成立.11．（1）；；（2）．【详解】（1），．（2）原式．12．（Ⅰ）；（Ⅱ）16.解：（Ⅰ）由，所以，解得，所以（Ⅱ）13．（1）；（2）.解：（1），，（2），14．C【详解】由且是第三象限的角，可得，又由，即.故选：C.15．D【详解】由选项A得，所以该函数为偶函数，且最小正周期为，选项A错误；对于选项B，，该函数为偶函数，且最小正周期为，选项B错误；对于选项C，.该函数为偶函数.且最小正周期为，选项C错误；对于选项D，，该函数是奇函数且最小正周期为,D选项正确.故选：D16．C【详解】故选：C.17．A解：，，，所以，，，，．故选：A．18．B【详解】依题意，，设锐角满足，则.当时，函数的最大值为因此.当时，函数的最大值为解得.综上，实数的值为.故选：B.19．D【详解】，，，，故选：D20．C【详解】.故选：C21．B【详解】，即，，，则，故选：B.22．C解：因为若，则，即，，则，所以，，即又，所以.故选：C23．D【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.24．C【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．25．A【详解】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.26．C【详解】由题意，故故又，故，则故选：C27．C【详解】，因为，，所以，，因为，，所以，，则．故选：C28．D【详解】因为，所以，故选：D29．D【详解】设，则，则，由，得，所以，所以当，即时，；当，即时，.故选：D.30．B【详解】由得，故.所以.故选：B31．A详解：∵，，∴，∴，．∴．故选A．32．C因为是顶角为的等腰三角形，所以，，则，，而，所以，.故选：C.33．AC【详解】∵，，且解得：∴，故A正确；，故B错误；，故C正确；∵，∴.∵，∴，故D错误.故选：AC34．ABD【详解】.选项A：，它是偶函数，本说法正确；选项B：，所以，因此是单调递减，本说法正确；选项C：的最大值为，本说法不正确；选项D：当时，，因此当时，函数有最小值，因此函数图象关于对称，本说法正确.故选：ABD35．BC【详解】①因为，所以，又，故有，，解出，故A错误；②，由①知：，所以，所以，故B正确；③由①知：，而，所以，又，所以，解得，所以又因为，，所以，有，故C正确；④由，由③知，，两式联立得：，故D错误．故选：BC36．ABD【详解】对于选项A：，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，故选项C不正确；对于选项D：，故选项D正确；故选：ABD.37．AB【详解】对于A，，故A正确；对于B，由两角和的正弦公式，，故B正确.对于C，，故C错误.对于D，，故D错误.故选：AB38．ACD【详解】选项A.由,则成立，故A正确.选项B.由当时，，则此时，所以B不正确.选项C.,故C正确.选项D.所以成立，故D正确故选：ACD39．解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，可知函数的最大值为：．故答案为．40．【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.41．1【解析】，.42．1【详解】因为，所以.故答案为：.43．【详解】因为，，所以，，所以．故答案为：．44．【解析】①因为，所以，又因为，所以，，代入①得，故填：45．【详解】由可以得到，所以，设，则则，所以.故答案为.46．，因为，所以，所以，所以，可得