2022-2023学年八年级数学知识点串讲（苏科版）：分式及分式的基本性质（解析版）

专题04分式及分式的基本性质

选择题（共11小题）

X

1.（2022春•江阴市期中）要使分式一有意义，则X的取值应满足（）

X-2022

A.X=2022B.x>2022C.x<2022D.Λ≠2022

【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解.

【解答】解：由题意可得x-2022#）,

解得x≠2022,

故选：D.

【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键.

a1a2-ab+b2

2.（2022春•吴中区校级期中）如果工=二，则一=（）

b2a2+b2

53

A.-B.-C.1D.2

35

【分析】根据题意，得到h=2m代入消元化筒计算即可.

【解答】解：•.9=;,

b2

：.b=2a,

.a2-ab+b2α2-2α2+4a23

*φa2+b2=α2+4α2=J

故选：B.

【点评】本题考查了条件型分式求值，熟练掌握变形消元代入求值的方法是解题的关键.

3∙（2022春•靖江市校级期中）下列各式譬、崇亲、£+1、等中分式有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据分式的定义进行解答即可.

5αn1aα+bSana

【解答】解：下列各式一、「、丁、工+1、丁中分式有一、=、l,共3个.

a2m2πb3a2m7b+

故选：B.

【点评】本题考查的是分式的定义，解答此题时需注意π是常数，不是分母.

4.（2022春•宝应县期中）下列分式中，字母X的取值是全体实数的是（）

2+%3%5x+62%—1

A.7C.D.

XIWX2-I%2+l

【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0,逐一判断即可解答.

【解答】解：A、——（*0）,故A不符合题意；

X

3χ

B、一—（Λ≠±I）,故B不符合题意；

i-lɪl

5x+6

C、k-（Λ⅛1）,故C不符合题意；

xz-l7

2χ-1

D、F一（X取全体实数），故D符合题意；

x2+l

故选：D.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

5.（2022春•滦水区期中）关于分式王匚的判断，下列说法正确的是（）

x-2

A.当x=2时，分式的值为零

B.当X=-I时，分式无意义

C.当今2时，分式有意义

D.无论X为何值，分式的值总为负数

【分析】利用分式有无意义、值为。的条件，逐个判断得结论.

【解答】解：当x=2时，分式无意义，故A说法错误：

当X=-1时，分式的值为0,故B说法错误；

当Λ≠2时，分式有意义，故C说法正确；

当x=3时，分式的值不为负数，故D说法错误.

故选：C.

【点评】本题考查了分式有无意义及值为0的条件.当分式的分母为0时，分式无意义；当分式的分子

为0,分母不为0时分式的值为0;当分式的分母不为0时，分式总有意义.

6.（2022春•仪征市期末）当X满足什么条件时，分式三的值为0.（）

X+2

A.X=-2B.X=2C.x≠-2D.x≠2

【分析】根据分子等于零，且分母不等于零时，分式的值为零解答即可.

【解答】解：当分式---=0时，X-2=0,且x+2≠0,

X+2

解得：x=2.

故选：B.

【点评】本题考查了分式等于。的条件，熟练掌握分式的相关知识是解题的关键.

7.（2022春•淮阴区校级期中）将分式旦中的X,y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（）

x+y

A.变为原来的2倍B.变为原来的4倍

C.不变D.变为原来的一半

【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式，分式的值不变.即

可判断.

【解答】解「•分式^中…的值都变为原来的2倍,

・，.分式■变为：

x+y

xy4xy2xy

x+y2（x+y）x+y'

则该分式的值变为原来的2倍∙

故选：A.

【点评】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质.

8.（2022春•东海县期中）下列等式一定成立的是（）

aα+laabaa2aa-c

A.-=-----B.-=-C.-=-D.-=-----

bb+1bb2bb2bb-c

【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答.

【解答】解：A、£≠等，故A不符合题意；

bD÷l

B、三=警.故B符合题意；

bb乙

c、T≠故C不符合题意；

bbz

aa-c

D、-≠--,故D不符合题忌；

bb-c

故选：B.

【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

9.（2022春•广陵区期末）下列分式从左到右变形错误的是（）

c133+匕

A.-=-B.-=--------

5c54a4a+b

114Q—2

----=-----

a-b-------b-aα2+4α+4α+2

【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答.

【解答】解：A、三="故A不符合题意；

5c5

33+匕

B>—≠故B符合题意；

4a4α+o

11

c›—--,故C不符合题意;

a-b

a2-4(α+2)(α-2)a-2

故D不符合题意;

α2+4α+4(a+2)2a+2'

故选：B.

【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

10.（2022春•沐阳县期末）把分式子2工、（x≠0,丫:^^^中的工、y缩小为原来的那么分式的值（

A.缩小2倍B.扩大2倍

C.改变为原来的工D.不改变

4

【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得:

∣x-3∙∣yχ-3y

2-X=2x

2

；♦把分式J（X≠0,丫片0）中的彳、y缩小为原来的3，那么分式的值不改变，

故选：D.

【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

11.（2022春•常州期末）若x2+χ-l=0,则与芸ɪ的值是（）

x（x-l）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】将/+X-1=0变形得X2=I-X，代入所求式中，整体代入若干次，化简可得答案.

【解答】解：•；/+X-I=0,

.".xi-1-X,

.X3+2X-1

・・x（x-l）

_%（lτ）+2%-1

I-X-X

3X-X2-1

l-2x

3x—1—(1—x)

1-2.x

_4x-2

=T^2x

=-2.

故选：A.

【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握整体代入的思想和降次是解本题的关键.

二.填空题（共11小题）

12.（2022春•梁溪区校级期中）若分式上的值为零，则X=-3.

X

【分析】根据分式值为零的条件可得x+3=0,且Λ≠0,再解即可.

【解答】解：根据题意得：

ʃɪ÷3=0

Ix≠O'

解得X=-3.

故答案为：-3.

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于

零.注意：“分母不为零”这个条件不能少.

4

13.（2022春•常熟市期末）分式——的值是整数，则正整数机的值等于2,3,5.

m-1

【分析】根据题意分情况讨论，正整数〃?，即团-1>0,屏0,进行计算即可得出答案.

4

【解答】解：要使分式一;的值是整数，

m-l

4

当m=2时，------=4,

m-l

4

当加=3时，----=2,

Tn-I

4

当m=5时，----=1,

m-l

所以正整数，〃的值等于2,3,5.

故答案为：2,3,5.

【点评】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式的值计算方法进行求解是解决本题的关键.

%+3

14.（2022•黄冈模拟）要使分式——有意义，则字母X的取值范围是x≠-4.

X+4---------

【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：户4≠0,

解得：x≠-4,

故答案为：x≠-4.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.

a2—4

15.（2022春•射阳县期中）当α=2022时，分式----的值为2024.

a-2

【分析】先化简分式，再代入求值即可得出答案.

【解答】解：原式=S+?（厂2）

=a+2,

当α=2022时,

原式=2022+2

=2024.

故答案为：2024.

【点评】本题考查了分式的值，掌握/-扇=（a+6）sb）是解题的关键.

X4-1X

16.（2022春•梁溪区校级期中）当X=-1时，分式一的值为0.当XR3时,分式一;有意义.

-------x-2------x-3

【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于X的不等式组，求出X的值，再根据分式有意义的条件列

出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

Y-I-I

【解答】解：∙.∙分式口的值为0,

解得一

X

∙.∙分式口有意义,

.∙.x-3≠0,即Λ≠3.

故答案为：—^1.≠3.

【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解

答此题的关键.

12

17.（2022春•淮阴区期末）已知---=1,则----+χ-l=3.

x-1X-I

【分析】先解分式方程，然后将X的值代入求解.

【解答】解：解方程’7=1得，x=2,

X-I

将x=2代入方程得：2+27=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了分式的值，求解X的值是解答本题的关键.

18.（2022春♦江宁区期末）分式J?和—二;的最简公分母为2（α+方）（a-b）.

a2-b22a+2b---------------

【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案.

1Ill

【解答】解：分式=/…7=F=h~∑?两个分式的最简公分母为2Q+8）（α-b）,

a2-b2（α+b）（α-。）2a+2b2（α+b）

故答案为:2（α+⅛）（a-b）.

【点评】本题考查最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次哥的积作公分母，

这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键.

19.（2022春•梁溪区校级期中）下列4个分式：①写三；②尹③J-；④二一，中最简分式有2

α'+3xz-yz2mznm+1

个.

【分析】根据确定最简分式的标准即分子，分母中不含有公因式，不能再约分，即可得出答案.

【解答】解：①娱是最简分式；

α2+3

-一--γ-=——>不是最简分式;

（x+y）（x-y）x+y

二一，不是最简分式；

2mn

是最简分式;

最简分式有①④，共2个;

故答案为：2.

【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方

法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同

的因式从而进行约分.

20.（2022春•泰兴市期中）若2=：=9,则分式亭等号=、

abcaz+bz+cz_5D-

3451

【分析】可以设一=1=-=则a=3亿b=4k,c=5k,把这三个式子代入所要求的式子再进行化简

abck

就得到式子的值.

3451

【解答】解：设-=一=-=一，则a=3k,b=4k,c=5k,

abck

I八,ab-bc+ac3k∙4k—4k∙5k+3k∙5k7k27

则分式----------=--------------------=-----=—.

a2+b2+c29∕c2+16∕c2+25fc250Hʒθ

_7

故答案为

50

【点评】掌握本题的设法，把多个未知数的问题转化为一个未知数的问题.

Q2—2a+1

21.（2022春•姜堰区期中）化简：--------=1-tz.

1-a

【分析】先将分子利用完全平方公式变形，再进行约分即可.

【解答】解：原式=/里=一（a-l）=l-a∙

故答案是1~a.

【点评】本题考查了约分.要注意完全平方公式的运用.

22.（2022春•洪泽区期中）给出下列分式：⑴警,（2）呼，⑶错，⑷会，⑸需急其

中最简分式有⑵.（填序号）

【分析】直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案.

Sbc4bc

【解答】解:(1)—=一；

6a3a

4a2-b2(2Q+>)(2Q-匕)

(3)=2a+b↑

2a-b2a-b

a-b

(4)

b-a

Mf2(α+b)(α-b)a-b

(5)

α2+2α∂+b2(α+匕)2α+∂

&2+廿

则最简分式有（2）

a-∖-b

故答案为：（2）.

【点评】此题主耍考查了最简分式,正确掌握最简分式的定义是解题关键.

三.解答题（共7小题）

3a2b

23.（2022春•泗阳县期中）（1）约分:

Gab

、八2bIa

（2）通分：姿与直

【分析】（I）直接利用分式的性质化简，进而得出答案:

（2）首先得出最简公分母，进而得出答案.

【解答】解：（1）原式=黑=*

2baC

（2）点与乱’最简公分母为：3a-bc,

2b2bbc2b2c

则---=--------=—^—,

3a23a2be3a2bc

aα∙3α23a3

be3a2bc3a2bc

【点评】此题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键.

24.（2022春•鼓楼区期中）阅读材料.

X=如期X/I

已知R的值.

X1,/2+1

解：由，-9得丁=3,

xo2+l

Xχ2+%+ι

颠倒分子与分母的位置为--------

x2÷x+lx

E,x2+x+lx2+l

因为-------=——+1=3+1=4,

XX

x1

所以∙

X2+X+14

回答问题:

已知〃，小为非零实数，言4be_1≡=七求代数式abc

∙的值.

b+c8,ab+bc-∖-ac

【分析】先分别求得念,言，言的倒数，再将计算结果代入就说的倒数进行计算即可.

【解答】解：•・•篝=二be=王1充ac=I1?

a+bb+ca+c

=6,=8,----=10,

ab----be------ac

a+bb+ca+c

---÷——+——=6+8+10,

abbeac

.c(α+D)α(h+c)b(α+c)

>∙++-■24,

abcabcabc

ac+bc+ab+ac+ba+bc

=24,

abc

.2(αb+bc+gc)

>∙~24,

abc

ab+bc+ac

--------=12,

abc

abc1

ab^bc+ac12

【点评】此题考查的是分式的计算，能够根据已知等式进行正确变形是解决此题的关键.

25∙（2022春•洪泽区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当X取何整数时，分式4的值是整数？

小红说：这个分式的分子、分母都含有X,它们的值均随X取值的变化而变化，有点难.

小刚诩我会解这类问题：当X取何整数时∙，分式W的值是整数？3是㈤的整数倍即可，注意不要忘

记负数哦.

小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假

分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如：：=—r-=2+当（通常写成带分数：2-）.类比分式，当

33ɔ3

3x-2

分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将一二化成一个整式与一个“真分

x+1

式”的和，就转化成小刚说的那类问题了!

小红、小刚说：对！我们试试看！…

（1）解决小刚提出的问题；

（2）解决他们共同讨论的问题.

【分析】（1）只要3是x+1的倍数即可；

（2）将分式化成一个整式与一个真分式的和，5是x+1的倍数即可.

【解答】解：⑴当x+U±L±3时,分式W的值是整数,

Λx=O,-2,2,-4.

3%—23(x+l)-55

(2)----=--------=3---rv

X+lX÷l%+1

当x+l=±l,±5时，分式的值为整数,

.∖x=0,-2,4,-6.

【点评】本题考查了分式的整数值，考查学生的计算能力，看懂题意是解题的关键.

m2+5m+6

26.已知：分式

τn2-4

（I）当心满足什么条件时，分式有意义？

m2+5m+6

（2）约分:

m2-4

（3）当初满足什么条件时，分式值为负？

【分析】（1）分母不等于0时分式有意义，据此求解可得;

（2）将分子与分母因式分解，再约去公因式即可得;

（3）由分式的值为负数知丝里‹0,据此得『+3>°或『+3<0,解之可得.

根-2（m-2VO（m-2>0

【解答】解：（1）当团2―4川，分式有意义，

解得：m≠±2;

τn2+5m+6(m+2)(τn+3)τn+3

(2)

m2-4(m+2)(m-2)m-2

(3)由题意知巴更<0,

m-2

.(m÷3>0或Pn÷3<0

Im—2VoIm-2>0

解得：-3Vm<2,

即-3<∕n<2,且tn≠-2时二分式的值为负.

【点评】本题主要考查约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、

分母的最大公因式并约去，也考查了分式有意义的条件.

27.有趣的“约分”

“约去”指数：如诉=而,的='你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分,一笑之后,再

认真检验，发现其结果竟然是正确的，这是什么原因？