2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(理)试题

一、单选题

1.根据偶函数定义可推得“函数/(x)=Y在&上是偶函数”的推理过程是

A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.非以上答案

【答案】C

【详解】分析：解决本题的关键是了解演绎推理的含义，演绎推理又称三段论推理，是由两个前提

和一个结论组成，大前提是一般原理(规律)，即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个

别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论.

解答：解：根据偶函数定义可推得“函数f(X)=χ2是偶函数”的推理过程是：

大前提：对于函数y=f(x),若对定义域内的任意X,都有f(-x)=f(X),则函数f(X)是偶函

数；

小前提：函数f(X)=χ2满足对定义域R内的任意X,都有f(-x)=f(x)；

结论：函数f(X)=χ2是偶函数.

它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理，

故根据偶函数定义可推得“函数f(X)=χ2是偶函数”的推理过程是演绎推理.

故选C.

2.若/(x)=L-2,则/'(X)=()

Xx^

ʌ12CllCllrʌ12

A.----:---ΓB.-TTH------7C.-:--------ΓD.-----τH---T

X2X3X22X3X22X,X2X3

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的导数运算法则，准确计算，即可求解.

【详解】由函数"X)=LI=XT-Y,

XX

Iɔ

25

根据导数的运算法则，可得f'(χ)=-X^-(-2)∙χ-=--!r+4.

XX

故选：D.

3.已知复数z=l-i,则2_=

z-1

A.2B.-2C.2iD.-H

【答案】A

【详解】解：因为z=l-i,所以二=01=2,故选A

z—1-Z

4.设函数/(x)=χ3+(α-l)χ2+0x.若/(x)为奇函数，则曲线y=∕(x)在点(0,0)处的切线方程为

()

A.y=-2xB.V=-XC.y=2xD.y=×

【答案】D

【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得α=l,进而得到/(x)的解析式，再对/(x)求导得出

切线的斜率左,进而求得切线方程.

详解：因为函数/U)是奇函数，所以α-l=0,解得α=l,

所以f(x)=d+x,f'(x)=3x2+l,

所以八O)=Ij(O)=0,

所以曲线y=/(X)在点(0,0)处的切线方程为V-/(0)=/'(O)X,

化简可得y=χ,故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线y=∕(χ)在某个点(Xo,/(χ°))处的切线方程的问题，在求解的过程中,

首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇

次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得/U),借助于导数的几何意义，结合直线方

程的点斜式求得结果.

5.下列等式成立的是()

A.jJx∣dx=2jjx∣dxB.ʃXdx=，

fbebfib

C.[Odr=⅛-ΛD.I(x+l)dr=[xdx

JaJaJQ

【答案】A

【分析】根据微积分基本定理一一计算可得.

1

[详解]对于A：∫j∣x∣dx=∫θ∣x∣dr÷∫θ∣x∣dr=∫θxdx+ʃʊ(-x)dr

所以，JXidX=2Jjx∣dx,故A正确；

对于B：fxdx=m匕故B错误;

Cb

对于C：fOdr=O,故C错误；

Ja

对,于D：/(x+1)Ck=Jxdr+jkk,其中JIdx=X|：=人一〃，

所以,(x+l)dxw「\dr,故D错误；

JuJa

故选：A

6.给出下面四个类比结论

①实数。，b,若Qb=O,则Q=O或方=0；类比向量J,⅛,若75=0,则M=O或B=O

②实数。，b,有(4+6)2=〃+2必+/;类比向量2，b»有伍+5)2=12+2展5+后

③向量£，有同2=点类比复数Z,有，=Z?

22

④实数。，6有/+〃=0,则α=6=0;类比复数z∣,z2^zl+z2=0,zl=Z2=O,其中类比结论

正确的命题个数为

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】①错误，因为若向量23互相垂直，则H=0；

③错误，因为IZl是复数的模是一个实数，而Z是个复数，

2222

比如若z=l+i,则,=(«+12)2=2,z=(l+i)=l+i+2i=2i;

④错误，若假设复数4=1,z2=i,则z：+z；=0,但是z∣*0,z2≠0.

②正确（1+月）2=∣α∣2+2同WCOS〈）/〉+%『

=a2+2al>+h2-

故选B.

用数学归纳法证明达+…+时,由到不等式左边的变化是(

7∙9+kk+l,）

[

A∙增加而IJ项

B∙增加含和Ξ⅛两项

1和一!一两项同时减少左项

C.增加

2k+↑2攵+2

D.以上结论都不对

【答案】C

【详解】〃=%时，左边=」一+——+...+——,〃=%+1时，左边

⅛+lk+2k+k

111

=ET+而/+…+E西,由“〃W变成“〃=%+「'时'两式相减可得

11

——+，故选C.

2k+12k÷2k+1

点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事

项：①明确初始值no并验证真假.(必不可少)②"假设n=k时命题正确”并写出命题形式.③分析

“n=k+l时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项.④明确等式左端

变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.

8.定义运算：x®y=\X，^y,例如3(≡)4=4,则下列等式不能成立的是().

A.x®y=y®xB.(x®y)®z=x®(y®z)

C.(x®y)2=x2®y2D.c*(x®ʃ)=(c∙x)0(c∙ʃ)(其中c>0)

【答案】C

【分析1根据定义逐项分析即得.

【详解】因为X⑥y=它表示的是X③歹的结果为戈和，中的较大数，

[y^χ<y

对A,和y®X都是X和〉中的较大数，故XoN=yBχ,正确；

对B,(x®y)@Z=X<8>(y2z)是X,y,Z中的较大数，正确；

对C,(xS)y)2表示X和J7中的较大数的平方，而/O/表示χ2和V中的较大数,例如χ=-4,y=l时,

(x^y)2=∖,/®/=[6等式就不成立，故错误；

对D,c∙(χ③y)和(c∙χ)0(c∙y)都表示C与X和J中的较大数的乘积，故正确.

故选：C.

9.曲线y=e-2'+l在点(0,2)处的切线与直线y=0和V=x围成的三角形的面积为

A.—B.yC.yD.1

【答案】A

【详解】y'=-2e-2x^y'∖^=-2,所以在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2,它与V=X的交点为

停|),与尸0的交点为(1,0),所以三角形面积为器X1=；

故选：A

10-设,=5+i⅛+i⅛+…ΞT'则下列结论正确的是()

A.A>∖B.A<∖C.A≥]D.A≤∖

【答案】B

【分析】利用放缩法可得出结论.

111［111I1

［详解］J=”+…^⅞∏<?方^…-ioxΞio,

-2>θφ~

故选：B.

11.设函数∕α)=xe',则

A.x=l为/(x)的极大值点B.x=l为/(x)的极小值点

C.X=-I为/(x)的极大值点D.X=-I为“X)的极小值点

【答案】D

【详解】试题分析：因为/(x)=Xel所以r(x)=e'+x∕=e'(x+l),令/"(x)=0得,x=-l.

又⅛∕'(x)>O得:x>-Lt⅛f(x)<O得：x<-l,所期(x)在(-8,-l)∖,在(-l,+oo)/,所以x=-l为/(χ)的极

小值点.

【解析】利用导数研究函数的极值；导数的运算法则.

点评：极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点.

12.已知定义在R上的可导函数J=∕(x)的导函数为f(x),满足/(x)<∕'(x),且/(O)=2,则不

等式迫>2的解集为()

ex

A.(一叫0)B.(0,+。)C.(~∞,2)D.(2,+∞)

【答案】B

【分析】令g(x)=/区，利用导数说明函数的单调性，则不等式E区>2,即g(x)>g(0),根据

ee

单调性解得即可.

【详解】令g(x)=绰，则g,(X)=/'(x)e=∕(x)er=∕'(x)：/(X)>0,

ecQ

.∙.g(x)在R上单调递增，

v∕(0)=2,-.g(o)=Z^)=2

则不等式/”>2,即为g(x)>2,即为g(x)>g(0),.∙.x>0,

e

所以不等式工区>2的解集为(0,+8).

e

故选：B

二、填空题

13∙加x+加=------------

【答案】5

【分析】找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理可求出所求定积分的值.

【详解】解：χ2x+g)∕x=(d+gx);=5,

故答案为：5

14.已知函数/。)=“111》+》在区间［2,3］上单调递增，则实数。的取值范围是.

【答案】［-2,+8)

【分析】直接求导，分离参数得(r)而=-2.

［详解］：/(X)=αlnx+x,f∖)=-+∖

xX

又∙."(x)在［2,3］上单调递增，.∙.2+1≥O在X€［2,3］上恒成立，

∙,∙a≥(T)皿以=-2,.,.ae［-2,+∞).

故答案为：［-2,+8).

15.在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式.如从指数函数中可抽象

出∕α+X2)=∕(xJ∙∕(x2)的性质；从对数函数中可抽象出/(x「xj=/(xj+/(x2)的性质.那么从

函数(写出一个具体函数即可)可抽象出∕α+X2)=∕(xJ+∕(x2)的性质.

【答案】/(x)=2x(答案不唯一)

【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，不妨令/(x)=2x,即可判断.

【详解】令/(x)=2x,则/(x∣+X2)=2α+X2),/(xj=2x∣,/(X2)=2X2,

所以/(x∣+X2)=∕(xJ+∕(x2),符合题意.

故答案为：/(x)=2x(答案不唯一)

16.若点P是曲线＞=-公上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离是.

【答案】逑

8

【分析】作直线y=χ+2的平行线，使得与曲线歹=-f相切，设切点为P(Xoj°),根据导数的几何

意义求得切点为尸(-;,-;),结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】作直线y=χ+2的平行线，使得与曲线丁=-/相切，设切点为产(%,比),

因为函数V=-/,可得J∕=-2X,

所以曲线在点P(X0,Λ)处的导数为VI,』=-2%,即切线的斜率为％=-2%

令-2%=1,解得/=_g,则％,=—,即切点为尸(-；,-；),

-------1F2/-

又由点到直线的距离公式，可得切线P到直线的距离为/一？47√2,

”一布/F

即P到直线y=X+2的最小距离为逋.

8

故答案为：述

8

三、解答题

17.已知复数2=(加2-8机+15)+(加2-9加+18)，在复平面内表示的点为力,实数机取什么值时，

(1)Z为实数？Z为纯虚数？

(2)Z位于第三象限？

【答案】(1)当"?=3或"?=6时，Z为实数；当加=5时，Z为纯虚数；(2)3＜加＜5

【分析】(1)当复数的虚部等于O时，复数Z为实数；当复数的实部等于0,且虚部不等于0时，

复数Z为纯虚数；

(2)当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数机的取值范

围即可.

【详解】复数Z=OM2-8加+15)+(加2一9切+18"

(1)当〃?2-9机+18=0,解得m=3或m=6,故当《?=3或机=6时，Z为实数.

当解得机=5,故当机=5时，Z为纯虚数；

m^-9w+18≠0

m2-8w+15<0[3<∕n<5

,即an\即3＜机＜5时，对应点在第三象限.

m^-9m+I8<03<w<6

【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，属于基础题.

、

18.已知两曲线/⑶=/+办和g(x)=χ2+⅛f+c都经过点P(l,2),且在点P处有公切线，试求。、b

C的值.

【答案】a=∖f6=2,C=-I

【分析】根据点P(l,2)在曲线/(x)=χ3+αX上，求出α,再求出两函数的导函数，根据函数在点P处

有公切线求出6,再根据点尸(1,2)在曲线g(x)上求出c.

【详解】：点P(l,2)在曲线/(x)=χ3+αχ上，

2=1+α,・\Q=1,

函数/(x)=d+4X和g(x)=Y+bx+c的导数分别为/"(x)=3χ2+α和g'(χ)=2x+b,且在点尸处有

公切线，

ʌ3×12+α=2×l+⅛>解得b=2,

又由点P(l,2)在曲线g(x)=∕+6χ+c上可得2=ι2+2χ1+c,解得C=7.

综上，a=∖,6=2,c=-l.

19.已知/。)=彳乙，分别求/(0)+/⑴J(T)+/(2)J(-2)+∕(3)的值，然后归纳猜想一般性

结论，并证明你的结论.

【答案】详见解析.

【详解】试题分析：将x=0,1,-1,2,-2,3代入.f(x)=〒，，即可求得

/(O)+/■⑴J(T)+/(2)J(-2)+43)的值;观察/(O)+/(I)J(T)+/⑵J(-2)+∕(3),根据上一步的

结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1,则函数值的和为3，根据结论的形式

3

L

将/(x)=TTT代入并化简求值即可完成证明.

3+√3

试题解析：由/(x)=U万，得

++七罟J(-ι)+∕(2)=7⅛+小考

/(-2)+/(3)=^

归纳猜想一般性结论为/(-x)+∕(l+x)=^

证明如下：

/(-x)+∕(l+x)=-----ɛ+—~~^—7==

v7v73^jt+√33,+Λ+√3

3*Ig133+1L石

l+√3∙3x+31+Λ+√5^-^^+3I+X+3'+Λ+6-√3(l+√3∙3r)-3

【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理,

属于中档题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从

已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).常见的归纳推理分为数的归

纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要

细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、

等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

20.已知“>0,用分析法证明：^7+4-√2>a+--2

【答案】证明见解析

【分析】根据分析法证明的步骤，逐步分析，即可求解.

【详解】要证明0≥"+:-2,只需证巧弓+2≥a+g+0,

只需证(.L2+ɪ+2)2≥(a+-+√2)2,

Vaa

只需证ɑ`+二+4JCj+ɪ+4≥a^+2+[+2√∑[α+1)+2,

即的+/≥2,显然成立,

故原不等式成立.

21.设函数/(x)=ln(2x+3)+χ2

⑴讨论/(x)的单调性;

31

⑵求/(x)在区间的最大值和最小值.

【答案】⑴函数/(χ)在上单调递增；在卜上单调递减;

⑵/(X)在区间上的最大值为∙⅛+ln(,最小值为L+ln2.

441624

【分析】(1)先求函数的定义域，解不等式/¢(*>0求出函数的单调递增区间，解不等式/'(x)<0

求出函数的单调递减区间；(2)根据函数的单调性求出函数的最值.

【详解】(1)函数/(x)=ln(2x+3)+χ2的定义域为「∣,+8

x+l)

乂/"(X)=-A-+2X=v4

',2x+32x÷3

令/黑X)>0,解得x>_g或-g<χ<-l;令八X)<O,解得

所以函数/(x)在(-∣,-1,+8)上单调递增；在,l,-g)上单调递减;

pɪ内单调递增.

117

所以当X=；时，函数/(X)取得最大值为：2+ln£

4162

即〃X)在区间上纪］上的最大值为上+In：,最小值为1+In2.

441624

22.设函数/(x)=χ2(eX-l)+4∕3.

⑴当α=-g时，求/(x)的单调区间;

(2)若当x≥O时，/(x)≥O恒成立，求”的取值范围.

【答案】⑴增区间为(-2,+∞),减区间为(F,-2)

⑵[τ,χ°)

【分析】(1)当“=时，求得/'(X)=X(X+2乂利用导数与函数单调性的关系可求得函数

/(x)的增区间和减区间；

(2)分X=0