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文档简介

基于二阶方阵的特殊n阶方阵幂的计算公式梁永博，孙文豪，魏东，周传伟（教育实验学院，电子信息类，13级）摘要关键词矩阵幂特征多项式零化多项式引言一般情况下，矩阵幂的计算是比较繁琐的，高等代数教科书上通常介绍了两种方法。一是当矩阵可对角化时，即存在对角矩阵D和可逆矩阵P使A=P-1DP时，有An=P-1DnP。二是利用若尔当标准形的方法。上述两种方法的一个显著特点是将矩阵分解成几个矩阵的乘积，从而给计算带来方便。对此我们很容易产生这样的想法：将矩阵分解成两个矩阵的和也会带来方便，进一步思考，不难看出，若矩阵A有分解：A=B+C，且BC=CB=O，则有An=Bn+Cn。当Bn，Cn易算时，这就是一种简便的方法。接下来便是从较特殊的矩阵开始寻找这样的分解。主要定理的证明2阶矩阵非常简单，特别是它的特征多项式是2次的，能分解成一次因式的乘积=（-α）（-β），其中α，β是A的特征值。由哈密顿-凯莱定理可得（A)=(A-αE)(A-βE)=0，(1)其中E是单位矩阵。让我们讨论能否利用（1）式来解决下面的问题呢？问题1设2阶矩阵A的特征值为α和β，求矩阵A的幂An的计算公式。由问题1可见，对2阶矩阵，我们的想法能够实现，而当矩阵A的阶大于2，且A有三个不同的特征值时，上述推导过程不宜推广。当A的不同的特征值至多有两个，且存在2次零化多项式时，上述推导过程完全适用，因而所得结果与2阶矩阵时相同。下面我们讨论问题2：问题2求下列三阶矩阵的A与An：【问题1】由（1）式知，（A-αE）（A-βE)=(A-βE)(A-αE)=0下面利用A-αE和A-βE来寻求A的和式分解。当α≠β时，设B=a（A-αE),C=b(A-βE),使得A=B+C.那么只要如下选取a，b即可：a=,b=不难发现，（)2=,()2=。从而B2=βB,C2=αC,于是An=βn（）+αn（）=A-E当α=β时，由（1)式得，（A-αE)2=0，故（A-αE)k=0（k≥2),又因A=αE+(A-αE),从而An=αnE+nαn-1(A-αE).【问题2】1）2)

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