2022-2023学年河南省开封市五县高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省开封市五县高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

I.图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从

中任取1本，则不同的取法共有()

A.12种B.17种C.23种D.60种

【答案】A

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可.

【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同

学从中任取1本，则不同的取法共有3+4+5=12种.

故选：A.

2.从一批含有8件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X,

则P(X=I)=()

7731

A.—B.—C.-D.-

154555

【答案】A

【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从10件产品中取出3件产品

的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解.

【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：=56,

从10件产品中取出3件产品的基本事件数为：=120,

.-.P(X=I)=-=2-

12015

故选：A

3.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=；P(X=O),则P(X=I)=()

1234

A.-B.—C.-D.一

5555

【答案】C

【分析】令P(X=I)=P,则P(X=O)=1—0,根据题意即可求解.

【详解】令P(X=I)=P,则P(X=O)=1—P，

因为P(X=I)=IP(X=0),所以P=I(I-P),解得P=:

故选：C

4.某市组织高二学生统一体检，其中男生有IoOoO人，己知此次体检中高二男生身高力(cm)近似

服从正态分布N(175,b2),统计结果显示高二男生中身高高于180Cm的概率为0.32,则此次体检中，

高二男生身高不低于170cm的人数约为()

A.3200B.6800C.3400D.6400

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170Cm的概率，即可计算

作答.

【详解】因为高二男生身高力(Cm)近似服从正态分布N(175Q2),且P(∕Z>180)=0∙32,

于是P(hvl70)=P(h>l80)=0.32,g∣⅛P(Λ≥170)=1-Ps<170)=0.68,

所以高二男生身高不低于170cm的人数约为0.68x10000=6800.

故选：B.

5.小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇

到红灯的概率是!，连续两次遇到红灯的概率是!，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，

第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为()

2311

A.—B.—C.一D.—

3443

【答案】B

【分析】由条件概率公式求解即可

【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A,

“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B,

则由题意可得P(A)=/(AB)=；,

则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为

尸(例A)=需3

4

故选：B.

6.已知随机变量Xβ(∏,p),随机变量y=3X+l,若£«)=7,。(丫)=12,贝IJP=()

【答案】B

【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解.

【详解】因为X所以E(X)=叩,D(X)=叩(1-p),

因为Y=3X+1,所以E(y)=3E(X)+l=3上+1=7,解得叩=2,

又D(y)=9£>(X)=9〃p(l-p)=12,即18(l-p)=12,解得p=g.

故选：B

7.下列说法正确的是()

A.P((B+C)∣A)=P(B∣A)+P(C∣Λ)B.O<P(β∣A)<l

则P(BIA)=瑞

C.若P(BIA)=P(AlB),则P(A)=P(B)D.若BqA,

【答案】D

【分析】对于A,由加法公式的条件可判断；对于B,由概率的性质可判断；对于C,D,由条件概

率的定义可判断.

【详解】对于A,当B与C不是两个互斥事件，P((B+C)∣A)=P(BlA)+P(C∣A)不成立，A错误；

对于B,条件概率的性质与其他概率的性质一样，概率范围应该为O≤P(B∣A)≤l,B错误；

对于C,因为P(BIA)=箫ɪl(AIg)=箫ξ

k∖λ)r∖β)

,、,、P(AB)P(AB),、/、/、

若P(BIA)=P(Al3),则言^=7覆，所以P(M)=O或尸(A)=P(B),C错误;

对于D,若BqA,则P(AB)=P(8),所以尸(BIA)=今符=瑞,

D正确.

故选：D.

8.中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱将在2022年全部对接,

形成字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，

需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每

个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有()

A.360种B.180种C.720种D.450种

【答案】D

【分析】根据分组分配问题的处理步骤，先将6人分成三组，再将三组分到三个舱内即可.

C2C2C2

【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有」*2∙A；=90(种)不同的方案;

方案二：分别安排3人，2人，1人，共有C：C；C；A；=360（种）不同的方案.

所以共有90+360=450（种）不同的安排方案.

故选：D.

9.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取5局3胜制，假设每局比赛相互独立且没有平局，若

3

每局比赛甲胜的概率为W,则比赛在第4局结束的概率为（)

72c162-234324

A.-----B.-----C.-----D.-----

625625625625

【答案】C

【分析】分两种情况第4局甲赢、第4局乙赢，结合独立性乘法公式即可求解.

【详解】打完第4局比赛结束，包含以下两种情况，

（1）第4局甲赢，前三局甲赢两局，

323162

概率为C：XX-X-=--------

55625

（2）第4局乙赢，前三局乙赢两局,

概率为C；

••・打完第4局比赛结束的概率为

16272234

-------P-----=-------

625625625

故选：C

10.在一次与“概率”相关的研究性活动中，老师准备了30个不透明的纸箱，每个箱子中装了6个形

状大小相同的小球（2个红球，4个黑球），分甲、乙两组让同学们来摸球.甲组：在20个纸箱中各

任意摸出一个小球；乙组：在剩下的10个纸箱中各任意摸出两个小球.将甲组至少能摸出一个红球

的概率记为Pi,乙组至少能摸出一个红球的概率记为P2,则（）

A.p1<p2B.pt>P2

C.Pi=P2D.以上三种情况都有可能

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出甲组、乙组从一个纸箱中摸出有红球的概率，再利用独立重复试验的

概率公式及对立事件的概率公式，列式比较大小作答.

21

【详解】甲组从一个纸箱中任意摸出一个球，摸出是红球的概率为1=彳,

o3

甲组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，因此Pl=I-。严,

C；3

乙组从一个纸箱中任意摸出两个球，摸出有红球的概率为1-Cf=5

乙组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，

因此「2=1-(守。,因为(J=('>(/,所以P∣<P2∙

故选：A.

11.将字母α,α,b,b,c,C放入如图所示的3x2的表格中，每个格子各放一个字母，若字母相同

的行的个数为乙则&的数学期望为()

【答案】B

【分析】求出4的所有可能值，再结合排列、组合及古典概率求出各个值对应的概率作答.

【详解】字母",a,b,b,c,C放入3x2的表格中的不同结果有C：C；C；=90种,

随机变量4的可能值为0/，3,

Pe=I)=堂匕∆l=2,P(g=3)=Al=-L

9059015

21Q

P(⅞=0)=l-P(⅞=l)-P(⅞=3)=l----=-

Q9Iq

所以4的数学期望为E(9=0x忘+lx1+3x,《.

故选：B

12.已知函数/(x)=:χ2-ar+alnX的两个极值点分别是4电，则下列结论正确的是()

A.。<0或α>4B.Xj2+^2>16

2

C.存在实数“，使得f(xl)+/(Λ2)>0D./(xl)+∕(x2)<-∣(xl+X2)-6

【答案】D

【分析】求出函数/(X)的导数/'(X),由/'(X)有两个零点求出。范围判断A；根据选项BCD的特征

结合韦达定理表示成。的函数，再利用导数推理作答.

【详解】函数"x)=1χ2-Οr+αlnx的定义域为(0,+∞),求导得尸(X)=Xi+且=三丝土£,

2XX

依题意，f'(X)=0,即f-0x+a=O在(0,+8)上有两个不等的实根，因此卜=：一4">°,解得”>4,

∕7>0

A错误；

222

由韦达定理得石+%=凡¥2=a，则x；+后=(x∣+x2)-2xlx2=a-2a=(a-l)-1>8,B错误；

A2

/(x1)+F(X2)=；(f+*)-α(X]+x2)+tz(lnx1+lnx2)=-∙ɪ6z-a+a∖na,

令g(α)=-1G-l+lnq,α>4,g'3)=-《+,<0,即函数g(α)在(4,+∞)上单调递减，

22a

g(α)vg(4)=-3+ln4v0,因此AXl)+/(电)=。送3)<。恒成立,C错误;

2

/(x1)+/(ɪo)-ɪ(ɪ2+Λ^)+6=t71na-^tz-^6Z+6,令∕ι(α)=olncL?/-；a+6,o>4,

313113

h,(a)=Ina——α+-,令φ(d)=InQ——。+―,α>4,φ∖d)--------<0,即函数火〃)在(4,+∞)上单调

2222a2

递减，

“(a)=φ(a)<^(4)=ln4-y<0,则函数〃(〃)在(4,+∞)上单调递减，

于是∕ι(a)<∕ι(4)=41n4-12-2+6=8In2—8vO,所以f(%)+/区)<；(才+4)-6,D正确.

故选：D

【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出

最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把

问题转化为函数的最值问题.

二、填空题

6

13.已知(3x-2)6=旬+%X+%/++a6x,则4+%++%=.

【答案】-63

【分析】通过赋值法可得结果.

626

【详解】令X=O,W∣J(3×0-2)=¾+α1×0+β2×0++att×0,即%=64

26

令X=1,贝I](3-2)6=α0+qxl+a?XI++¾×I=1,al+a2++4=-63.

故答案为：-63

14.某工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的优质品率为70%,乙生产线的优质品率为65%,两条

生产线的产品统一进入包装车间进行包装.已知甲、乙两条生产线的产品数分别占总数的60%,40%.

质检部门从包装好的产品中任取一个，则取到优质品的概率是.

17

【答案】068/石

【分析】根据全概率公式即可求解.

【详解】记任取一个产品为优质品为事件8,

记产品由甲生产线生产为事件A,产品由乙生产线生产为事件A2,

根据题意得P(A)=O6P(A2)=O,4,尸(例A)=O.7,尸(用A)=O.65,

因为Ω=A∣4,且A，4互斥.

所以根据全概率公式可得,

P(B)=P(A)P(BlA)+P(4)P(屈A2)=0.6×0.7+0.4×0.65=0.68.

故答案为：0.68

15.若曲线y="e'与曲线y=«在公共点处有相同的切线，则实数4=

【答案】叵

2e

【分析】令/(x)=ae"g(x)=√L公共点为(毛，％)，结合导数几何意义可构造方程组

r(χ())=g(∙⅞)

/7\由此可解得％,进而求得。的值.

/(⅞)=g(⅞)

【详解】令/(x)=ae*,g(x)=4x,则/'(X)="e*,=

设/(x)与g(x)的公共点为(为，%)，

"x)与g(x)在公动点处有相同的切线,

[

,f'M=g'M0π2后,∙∙ɔI—=V⅞,解得：龙o=:，

"l∕(⅞)=^(⅞),1

=y⅞

√2y∣2e

；.a”,解得:Cl----J==-----.

22√e2e

故答案为：叵

2e

16.对于函数y=∕(χ),若存在/(七)=一/(一/)，则称点(XOJ(∙⅞))与点(一为,/(一七))是函数的一

a∖nxʌ

-----,%>0,

对“隐对称点”.若α>0时，函数/(X)=，X的图象上只有1对“隐对称点”，则

—∣x÷e∣-l,x<0

a=.

【答案】e

【分析】根据题意分析可得原题意等价于g(x)=∣x-e∣+l(x>0)与函数/(x)=W(X>0)的图象只

有1个交点，分别判定g(x)与/(x)的单调性，结合图象分析运算.

【详解】由题意可得：/(x)=-∣x+e卜l(x<0)关于原点对称的函数为

g(x)=-"τ)=-[T-x+e∣7]=∣x-e∣+l(x>0),

故原题意等价于g(x)=∣x-e∣+l(x>0)与函数"x)=等(x>0)的图象只有1个交点，

对于函数g(x)可知：g(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，

故g(x)≥g(e)=l；

对于/(X)=生竺(x>0),则T(X)=吗⅛

XX

由于α>0,x>0,则有：

令P(x)>0,解得O<x<e;令/'(x)<0,解得x>e；

则”x)在(0,e)上单调递增，〃力在(e,+8)上单调递减，

所以/(x)的最大值为〃e)=色；

e

分别作出f(χ)与g(χ)的图象(如图所示).

若g(x)=∣x-e∣+l(x>0)与〃X)=W⅛c>0)的图象只有1个交点，则/(e)=g(e),

即@=1，解得"e.

e

故答案为：e.

【点睛】方法定睛：对于方程的根的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这

类问题求解的通法是：

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

（2）求导数，得单调区间和极值点；

（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与X轴的交点情况进而求解.

三、解答题

17.已知二项式（«一与〕,且C：=15.

（F

⑴求的展开式中的第5项;

（2）求（6-[J的二项式系数最大的项.

【答案】⑴1215广

⑵-540J3

【分析】（1）首先根据组合数公式求〃，再利用二项展开式的通项公式求第5项；

（2）根据（1）的结果可知，或是最大的二项式系数，代入通项公式求解.

【详解】（1）由C”15,得以FI=I5,即"―“—30=0,解得"=6或"=-5（舍去）.

当厂=4时，（=（-3）4C>χ-7=1215χ-7,所以（五-1）的展开式中第5项为⑵5—.

（2）因为C：是C：,C）,…,C：中最大的，所以第4项的二项式系数最大,

9

4=（-3）y.户的二项式系数最大的项是一540X-W.

18.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道

自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，

《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的

方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品

或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男

孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.

(1)求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；

(2)在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】⑴磊；

⑵K

【分析】(1)根据给定条件，利用古典概率求出没有男孩卡通人物的概率，再利用对立事件概率公

式求解作答.

(2)求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】(1)从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒的试验有C；个基本事件，

其中至少有1个男孩卡通人物的事件A,其对立事件印有C；个基本事件，

—C27

所以至少有1个男孩卡通人物的概率P(A)=I-P(A)=I

C；10

(2)依题意，X的可能值为0,1,2,

P(X=O)=IiXT)=警=1'P(X="爷亮，

19.中医是中华民族的瑰宝，是中国古代人民智慧的结晶，中医离不开中药，中药主要包括植物药、

动物药、矿物药.某植物药材的存放年份X的取值为3,4,…，8,其中5≤X≤8为一等品，3≤X<5

为二等品.已知中药厂按照两种方式出售此植物药材，精品药材(只含一等品)的售价为10元/株；

混装药材(含一等品与二等品)的售价为6元/株.某药店需要购买一批此植物药材.

(1)已知中药厂库存中精品药材的年份X的分布列如下表所示，且X的数学期望E(X)=6.5,求a,b

的值；

X5678

Pa0.4b0.1

(2)为分析中药厂库存中混装药材的年份匕从混装药材中随机抽取20株，相应的年份组成一个样本,

数据如下：3,5,3,3,8,5,5,6,3,4,6,3,4,7,5,3,4,8,4,7.用这个样本的频率分

布估计总体分布，将频率视为概率，求混装药材的年份Y的数学期望；

⑶在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪种药材更具可购买性？并说明理由.

注：①药材的“性价比”=药材嚼鬻震学期望:②“性价比”大的药材更具可购买性.

药材的售价

【答案】(I))=O∙l,L=0.4;

⑵E(Y)=4.8；

(3)混装药材更具可购买性，理由见解析.

【分析】(1)根据均值公式和分布列的性质即可求解；

(2)根据数据先得到样本的频率分布列，从而可得到混装药材的年份Y的分布列，从而根据数学期

望公式即可求解；

(3)分别计算出精品药材和混装药材的性价比，从而可判断.

【详解】(1)E(X)=6.5,.∙.5α+6×0.4+7∕>+8×0.1=6.5

即5α+7⅛=3.3,

又由X的概率分布歹1」得“+0.4+b+0.1=1即。+%=0.5

5a+Ib=3.3

由"8-05,解得-0∙^=0∙4.

(2)由已知得，样本的频率分布列如下:

Y345678

f0.30.20.20.10.10.1

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得混装药材的年份y的概率分布列如下:

Y345678

P0.30.20.20.10.10.1

.∙.F(K)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8

混装药材的年份Y的数学期望为4.8.

(3)混装药材更具可购买性，理由如下：

因为精品药材的年份X的数学期望E(X)=6.5,售价为10元/株，

所以精品药材的性价比为筹=0∙65.

又因为混装药材的年份丫的数学期望为E(Y)=4.8,售价为6元/株，

所以混装药材的性价比为衅=0∙8.

6

故混装药材更具可购买性.

20.已知函数/(x)=x(InX-α),α∈R.

(1)若函数/(x)在［1,4］上单调递增，求α的取值范围；

(2)若a>0,求证：/(x)≤x(x-2-lna).

【答案】⑴(-∞,1］;

(2)证明见解析.

【分析】(1)对/(x)求导后，问题转化为尸(x)≥0在［1,4］上恒成立，进而求得/'(X)的最小值即可

求解；

(2)由x>O可得只需证明InX-α≤x-2-lnα,令g(x)=x+a-2-ln“-lnx,求导后求得

g(x)≥g⑴="-l-ln”;令〃(α)=α-l-lnα(α>0),求导后求得/z(ɑ)≥以1)=O,从而可得g(x)≥O,

问题得证.

【详解】(1)/'(洋=InX-α+l,因为函数/3在［1,4］上单调递增,

所以((X)≥0在［1,4］上恒成立，

又尸(X)=InX-〃+1在［1,4］上单调递增，所以/U)min=-«+1,

所以-α+lN0,解得α≤l,所以。的取值范围是(F,I

(2)因为α>0,x>0,所以要证/(x)。X(X-2-lnα),只需证InX-a≤x-2-Inα,

令g(x)=x+α-2-Ina-InX,则⅛,(x)=l-i=--.

XX

当O<x<l时，g'(O<0,函数g(x)单调递减；

当x>l时，/(X)>0,函数g(x)单调递增.

所以g(x)Ng(l)=α-l-Ina,

令〃(α)=α-l-Ina(α>0),则/(α)=I-L=^~,

当0<“<1时，"(α)<O,∕z(4)单调递减，当时,"(a)>O,∕z(α)单调递增.

所以α=l时，〃⑷取最小值，则∕7(α)≥∕z(l)=0,

所以4>0时，Ma)2O,因此g(x)≥O.

所以/(x)MMX-2-lnα).

21.现有4名学生甲、乙、丙、丁参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不合格和合格

两个等次，若考核为不合格，授予0分加分资格；若考核合格，授予10分加分资格.若甲、乙、丙、

丁考核为合格的概率分别为I，I，I，他们考核是否合格互不影响.

4333

(1)求在这次考核中，甲、乙、丙、丁这4名学生考核都合格的概率；

(2)记X为在这次考核中甲、乙、丙、丁这4名学生所得加分之和，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1承

⑵分布列见解析；E(X)=个

【分析】(1)利用独立事件概率公式即得；

(2)由题可知X的所有可能取值为0,10,20,30,40.计算相应的概率可得分布列，再利用期望

公式即得.

【详解】(1)记“甲考核合格”为事件A,“乙考核合格”为事件B,“丙考核合格”为事件C,“丁考核

合格，，为事件。，“甲、乙、丙、丁考核都合格”为事件E.

则事件A,BC。是相互独立事件，≠⅛P(E)=P(ΛβCD)=≥×∣×j×∣=∣.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,10,20,30,40

P(X=O)=M而而)=Lx2.x，x_L=-L,

`,\74333108

P(X=IO)=ABCD^+P^ABCD^+P[λBCD^+P^ABCD^

3I11121I1121II12I

=-X—×-×-----1-----×—X-X------1-----X-X—×------1-----X-X-X-=------

433343334333433312

P(X=20)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)÷P[ABC75)+P(⅛CD)+P[ABCD^

3211312131121221121211225

=—×-×-×-+-×-×-X—+-X-X-×-+-×-×-X—+-×-×-X—+-X-X-X—=一,

43334333433343334333433318

P(X=30)=P(ABCD)+P(‹ABCD)+P(ABCD^+P^ABCD]

1222312232123221H

=—X—X—×-----1-----X-X—X------1-----×—X-X------1-----×一×一×—=---

433343334333433327

32222

∕>(X=40)=P(AβCD)=-×-×-×-=-

所以随机变量X的分布列为

X0IO203040

115112

P

1081218279

.*.E(X)=OX-!-+10χ-!-+20χ2+30χU+