第2章 拉伸、压缩与剪切

材料力学授课教师：池维超联系方式：chiweichao@PAG2材料力学第二章拉伸、压缩与剪切PAG3第二章拉伸、压缩与剪切§2-1轴向拉伸和压缩的概念和实例§2-2轴向拉伸和压缩时的内力§2-3轴向拉伸和压缩时的应力§2-4拉伸和压缩时材料的力学性能§2-5应力集中的概念§2-6失效、安全因数和强度计算§2-7轴向拉伸和压缩时的变形§2-8轴向拉伸和压缩时的应变能§2-9拉伸和压缩的超静定问题§2-10剪切变形PAG4§2-1轴向拉伸和压缩的概念和实例

拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种.它所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义.

本章主要介绍杆件拉伸和压缩的基本问题，包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时的力学性能以及强度条件，目的是对材料力学有一个初步的、比较全面的了解.关于拉伸和压缩的进一步问题，将在以后有关章节中陆续加以介绍.PAG5§2-1轴向拉伸和压缩的概念和实例斜拉桥承受拉力的钢缆PAG6桥梁(桁架中的二力杆)§2-1轴向拉伸和压缩的概念和实例PAG7起重机的起吊钢索、组成桁架的二力杆§2-1轴向拉伸和压缩的概念和实例PAG8房屋的柱子§2-1轴向拉伸和压缩的概念和实例PAG9一、轴向拉伸和压缩的概念1、轴向拉伸力学模型杆的载荷:拉力(背离杆的两端面,作用线与杆轴线重合)杆的变形:轴向伸长,横向变细§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG102、轴向压缩力学模型杆的载荷:压力(指向杆的两端面,作用线与杆轴线重合)杆的变形:轴向缩短,横向变粗§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG11二、内力内力特点:◆

有限性◆

分布性◆

成对性

由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。（可合成为力或力偶）§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG12CA三、求内力的截面法设图示等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡，求杆AB上截面C处的内力CAB§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力1、截开

在要求内力处,用一假想截面沿杆横截面截开,以其中受力较为简单的一部分作为研究对象,弃去另一部分；PAG132、代替CA三、求内力的截面法CAB§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力取左部分部分作为研究对象。用作用于截面上的相应内力(力、力偶)代替弃去部分对留下部分的作用；设图示等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡，求杆AB上截面C处的内力PAG143、平衡CA三、求内力的截面法CAB§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力

对所留下的部分建立平衡方程，根据已知外力计算截开截面上的未知内力(对留下部分为外力)。x设图示等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡，求杆AB上截面C处的内力PAG15以拉为正，以压为负正负规定：四、轴力FN轴力：轴向拉压时的内力轴力为正轴力为负垂直于横截面、过截面形心§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力（1）若轴力的指向背离截面，则规定为正的，称为拉力（2）若轴力的指向指向截面，则规定为负的，称为压力PAG16同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。当截面上的轴力未知时，一般将其视为拉力。§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG17B22A比较图(a)、(b)中1-1截面和2-2截面上的内力OAB1122OAB1122(a)(b)(拉力)B11(拉力)B22A(拉力)§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG18轴力图的作用:五、轴力图◆

反映轴力与截面位置的变化关系；◆

直观表现了各段变形是拉伸还是压缩；◆

可确定最大轴力的数值及其所在横截面的位置，为强度计算提供依据。(表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线)

横坐标表示杆截面的位置,纵坐标表示相应截面的轴力;拉力画在横轴上方,压力画在横轴下方。FN

x+F1

F2

-§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG19ABCDO例2-1

图示等直杆的A、B、C、D四点分别作用着大小为5P、8P、4P、P的力(方向如图)，试画出该等直杆的轴力图。解:⑴求OA段轴力(拉力)ABCDBCD⑵

求AB段轴力(压力)§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG20ABCDO例2-1

图示等直杆的A、B、C、D四点分别作用着大小为5P、8P、4P、P的力(方向如图)，试画出该等直杆的轴力图。⑶

求BC段轴力(拉力)CDD⑷

求CD段轴力(拉力)FNx⑸画轴力图§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力2P3P5PP++-PAG21轴力图的特点：突变值=集中载荷轴力(图)的简便求法：自左向右,遇到向左的力,轴力增量为正；自左向右,遇到向右的力,轴力增量为负。ABCDABCDO§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力FNx2P3P5PP++-PAG22解:以距A端为x的一段为研究对象Lq(x)qLx0例2-2

图示等直杆长为L,受分布载荷q=kx的作用(以A端为原点),试画出杆的轴力图。

取A端为坐标原点,向右为x轴正向,计算轴力FN(x)ABxq(x)A-q(x)FNx§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG23解:⑴计算1-1截面轴力例2-3

图示等直杆截面为边长a=200mm的正方形,杆长L=4m,F=10kN,材料容重ρ=20kN/m3。若考虑杆的自重,试计算1-1和2-2截面的轴力,并画出轴力图。11L/4⑵计算2-2截面轴力1122L/4L/4L/41122L/4L/4L/4L/4AB§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG24例2-3

图示等直杆截面为边长a=200mm的正方形,杆长L=4m,F=10kN,材料容重ρ=20kN/m3。若考虑杆的自重,试计算1-1和2-2截面的轴力,并画出轴力图。11L/4L/41122L/4L/4L/4L/4AB⑶计算集中力作用截面上的轴力⑷计算根截面轴力⑸画轴力图0.8kN1.6kN11.6kN12.4kN13.2kN-§2-2

轴向拉伸和压缩时的内力PAG25§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力问题提出：哪根杆先破坏?10kN10kN100kN100kNA1=10mm2A2=100mm2100kN100kNPAG26pM

F

AM1、截面上面积

A的平均应力2、截面上一点的总应力一、应力

(杆件截面上的分布内力集度，单位：Pa)正应力切应力§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG27s>0s<0t>0t<0正应力：拉应力为正，压应力为负切应力：顺时针为正，逆时针为负3、应力的正负号规定§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG28变形前1、变形规律试验受载后abcd二、拉(压)杆横截面上的应力2、平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面，且变形后仍垂直于轴线。实验结果：变形后，两横截面沿轴线相对平移，外表面上的横向线仍为直线d´a´c´b´§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG293、拉伸应力由静力学可得合力§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG30⑴只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合力作用线与杆件的轴线重合；⑵杆件作用集中力时，只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；⑶必须是等截面直杆。的适用条件:拉伸应力变截面直杆(若横截面面积变化较缓慢也可使用)§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG31应力分布示意图变形示意图4、圣维南原理:离开载荷作用处一定距离,应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG32一等直杆受图示拉力F作用,求斜截面k-k上的应力。FFkka解:采用截面法—

斜截面上内力kFkaFa由平衡方程条件得由几何关系得—

斜截面上各点总应力pa三、拉(压)杆斜截面上的应力—

斜截面面积§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG33§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力将应力pα分解为两个分量：沿截面法线方向的正应力

沿截面切线方向的剪应力

FFkkakFkapatasaaPAG34拉(压)杆斜截面上的应力正负号规定：α：横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负；σα：拉应力为正，压应力为负；τα：对所研究部分的内部一点产生顺时针力矩的剪应力为正，反之为负ktasaaFFkkaFkapa§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG35ktasaaFFkkaFkapa⑴当

=0°时⑵当

=90°时一等直杆受图示拉力F作用,求斜截面k-k上的应力。§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG36⑶当

=45°时⑷当

=135°或-45°时ktasaaFFkkaFkapa一等直杆受图示拉力F作用,求斜截面k-k上的应力。§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG37对节点A进行受力分析⑵计算AB杆截面应力σAB解:⑴计算AB杆轴力例2-4

图示起吊三角架,AB杆由横截面积为10.86cm2的两根角钢组成,F=130kN,求AB杆截面应力。CABA(拉力)§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG38O3F4F2FBCD例2-5

阶梯杆OD左端固定,OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的2倍。求杆内最大轴力、最大正应力、最大切应力与所在位置。O3F4F2FBCD221133解:⑴分段计算轴力3F2FCDOB段BC段2FDCD段§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG39例2-5

阶梯杆OD左端固定,OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的2倍。求杆内最大轴力、最大正应力、最大切应力与所在位置。⑶画轴力图找最大轴力3F2FF+-+出现在OB段⑷分段求正应力的大小O3F4F2FBCD221133§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG40例2-5

阶梯杆OD左端固定,OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的2倍。求杆内最大轴力、最大正应力、最大切应力与所在位置。出现在CD段⑸求最大切应力在CD段与杆轴成45°的斜面上O3F4F2FBCD2211333F2FF+-+§2-3

轴向拉伸和压缩时的应力PAG41力学性能：材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。也成为机械性质（常温静载试验）1、试验条件一、材料的拉伸和压缩试验§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能(2)静载:以缓慢平稳的方式加载(1)常温:室内温度(10~35℃)(3)标准试件：采用国家标准统一规定的试件PAG421、试验条件圆截面矩形截面压缩试样:常温、静载、标准试样拉伸试样§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG43装卡试件部分：2、试验仪器(电子万能实验机)§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG44控制界面§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG451、低碳钢试样拉伸时的拉伸图(F--Δl图)二、低碳钢拉伸时的力学性能

横坐标表示试样工作段的伸长量Δl；

纵坐标表示低碳钢试样所承受的拉力。§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG460σε2、低碳钢试样拉伸时的应力－应变曲线ⅠⅡⅢⅣⅠ－弹性阶段Ⅱ－屈服阶段Ⅲ－强化阶段Ⅳ－局部变形阶段§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG47a点应力:比例极限应力(材料的变形是弹性的)

在oa段内，应力与应变的关系是线性的，即成正比关系。胡克定律⑴弹性阶段(oa'段)2、低碳钢试样拉伸时的应力－应变曲线a'点应力:弹性极限应力当应力小于a'点应力值时,卸去外力,变形完全消失。§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能(proportionallimit)(elasticlimit)PAG48

应力超过弹性极限后继续加载，当应力值达到b点后，应力仅在一个较小的范围内波动，而应变显著增加，从而产生明显塑性变形的现象称为屈服。⑵屈服阶段(bc段)屈服极限:屈服阶段的最低应力,又称屈服强度§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能(yieldingstrength)PAG49

在屈服阶段,应力不变而应变不断增加,材料似乎失去了抵抗变形的能力,产生显著的塑性变形,此时若卸载,应变不会完全消失,而存在残余变形(塑性变形),所以屈服极限是衡量材料强度的重要指标。⑵屈服阶段(bc段)

在屈服阶段内，抛光过的试样表面会出现45°方向的条纹，称为滑移线。材料暂时失去抵抗变形的能力§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG50强度极限:强化阶段最高点d对应的应力,它表示材料所能承受的最大应力。材料又恢复并增强了抵抗变形的能力

越过屈服阶段后，要使试样继续变形，必须增加应力的现象称为强化。⑶强化阶段(cd段)§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能(ultimateStrength)PAG51⑷局部变形阶段(de段)

缩颈出现后继续加载会使试样内部出现裂纹,名义应力下降,直至e点试件断裂。

当应力达到强度极限(过d点)后,继续加载会使试样某一段内的横截面面积发生剧烈收缩的现象称为缩颈。§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG523、低碳钢塑性变形性能指标⑴伸长率(延伸率)塑性材料

5%，脆性材料

5%，l

—

试样原长l1—

试样拉断后的长度强度指标塑性指标§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能⑵断面收缩率A

—

试样原面积A1—

断口横截面面积低炭钢的伸长率δ20%~30%,断面收缩率

60%如钢材、铜、铝等；如铸铁、混凝土、石料等。PAG53K冷作硬化：若对材料预先施加轴向载荷，在达到强化阶段后卸载，再次施加载荷时，材料的比例极限和屈服极限将提高，而断裂后的塑性变形减小，这种现象叫做冷作硬化或加工硬化。§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能卸载定律:

若加载到强化阶段的某一点K停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律PAG54锰钢硬铝退火球墨铸铁青铜国家标准规定:

试样产生0.2%塑性应变时对应的应力值σ0.2作为屈服极限。三、其他材料拉伸时的力学性能1、无明显屈服现象的塑性材料0§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG550灰口铸铁2、铸铁

灰口铸铁在很低时，

–

曲线就不是直线，直到试样拉断时变形都很小，且无屈服、强化和局部变形阶段。§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能破坏特点：无缩颈现象，试样断口处横截面面积变化很小，试样发生脆性断裂破坏，塑性变形很小。强度指标:强度极限PAG56

由于铸铁总是在较小的应力下工作且变形很小，可近似认为符合胡克定律，通常在

–

曲线上用割线近似地代替曲线，并以割线斜率作为弹性模量E。灰口铸铁—

采用总应变为0.1%时的割线斜率来确定弹性模量E割线弹性模量0灰口铸铁§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG57四、低碳钢压缩时的力学性能◆

屈服阶段以前,试样的拉压曲线基本重合；◆

屈服阶段以后,试样被越压越扁（先是压成鼓形,最后变成饼状无颈缩现象）,因此得不到压缩时的抗压强度

bc◆

在屈服阶段,试样拉压时的屈服极限基本相同;§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG58五、铸铁压缩时的力学性能

铸铁的抗压强度约为抗拉强度的4~5倍，抗压性能远好于抗拉性能，工程中常用铸铁等脆性材料作受压构件，而不用作受拉构件。◆

曲线无明显直线部分，在应力较小时，可近似地认为符合胡克定律；◆

曲线最高点的应力值为抗压强度

bc◆

曲线无屈服阶段，变形很小时就沿与轴线约为45°的斜面发生破裂；§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG59材料在拉伸与压缩时力学性质特点：⑴当应力不超过一定限度（不同材料其限度不同）时，应力σ与应变ε成正比；⑵塑性材料的抗拉强度极限比脆性材料高，适和作受拉构件，塑性材料的强度指标的是强度极限σb和屈服极限σs，其中σs是杆件强度设计的依据；⑶脆性材料的抗压强度极限远大于其抗拉强度极限，适合作受压构件，脆性材料的强度指标是σb，它也是杆件强度设计的依据。§2-4

拉伸和压缩时材料的力学性能PAG60§2-5

应力集中的概念应力集中：由于尺寸改变而产生的局部应力增大的现象PAG61应力集中因数—

描述应力集中程度其中,σmax:局部最大应力;

σ:削弱处的平均应力§2-5

应力集中的概念PAG62⑵在构件上开孔或槽时应采用圆形、椭圆或带圆角的,

避免或禁开方形以及带尖角的孔槽,在截面改变处尽量采用光滑连接等。◆

注意:⑶可利用应力集中达到构件较易断裂的目的。⑷材料、受力情况的不同对应力集中的敏感程度不同。⑴r/d越小,K越大;

r/d越大,K越小。§2-5

应力集中的概念PAG63静载荷作用下◆

塑性材料制成的构件对应力集中的敏感程度较小;当σmax达到σb时,该处首先产生破坏◆

脆性材料构件必须考虑应力集中的影响;FFFF§2-5

应力集中的概念◆

无论是塑性材料制成的构件,还是脆性材料所制成的构件,都必须要考虑应力集中的影响。动载荷作用下PAG64上节回顾§2-1轴向拉伸和压缩的概念和实例§2-3轴向拉伸和压缩时的应力§2-2轴向拉伸和压缩时的内力第二章拉伸、压缩与剪切符号规定、截面法求轴力、轴力图横截面斜截面PAG65拉(压)杆截面上的应力正负号规定：α：横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负；σα：拉应力为正，压应力为负；τα：对所研究部分的内部一点产生顺时针力矩的剪应力为正，反之为负ktasaaFFkkaFkapa上节回顾PAG66§2-4拉伸和压缩时材料的力学性能上节回顾脆性材料的强度指标是σb，它也是杆件强度设计的依据。塑性材料的强度指标的是强度极限σb和屈服极限σs，其中σs是杆件强度设计的依据；PAG67

杆件中的应力达到某一极限值时，材料将会发生破坏，此极限值称为极限应力或危险应力。脆性材料的极限应力—

σb塑性材料的极限应力—

σs1、失效：2、极限应力一、概念—

构件工作时允许达到的最大应力值3、许用应力[σ]§2-6失效、安全因数和强度计算断裂或出现显著的塑性变形，使材料不能正常工作。（屈服应力）（强度极限）PAG68⑵脆性材料⑴塑性材料许用应力—

许用应力—

安全因数—

ns

（1.25~2.5）安全因数—

nb

（2.5~3.0）>14、安全因数

材料的均匀程度，载荷估计的准确性，计算方面的简化和近似程度，构件的加工工艺、工作条件、使用年限和重要性等都会对安全因数有影响。§2-6失效、安全因数和强度计算PAG69保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件。二、强度条件其中，

max

—

构件的最大工作应力;[

]

—

许用应力。FN

—

横截面上的轴力;A

—

横截面面积;§2-6失效、安全因数和强度计算PAG70⑵设计截面尺寸根据强度条件可进行三种强度计算：⑴校核强度⑶计算许可载荷等直杆拉压强度条件§2-6失效、安全因数和强度计算PAG71例2-6

起吊结构如图,钢杆1为圆形截面,直径d=16mm,许用应力[σ1]=150MPa;杆2为方形截面,边长a=100mm,许用应力[σ2]=4.5MPa,若作用在B点的载荷F=2吨,试对其结构进行强度校核。步骤:外力内力应力利用强度条件校核强度

BAC①②1.5m2m解:⑴计算各杆轴力B

§2-6失效、安全因数和强度计算压力拉力PAG72例2-6

起吊结构如图,钢杆1为圆形截面,直径d=16mm,许用应力[σ1]=150MPa;杆2为方形截面,边长a=100mm,许用应力[σ2]=4.5MPa,若作用在B点的载荷F=2吨,试对其结构进行强度校核。

BAC①②1.5m2m⑵F=2吨时,校核强度1杆两杆均满足强度条件,结构安全2杆§2-6失效、安全因数和强度计算PAG73例2-7

图示起重用吊环,侧臂AC和AB各由两个矩形截面的锻钢杆构成,材料许用应力[σ]=80MPa,最大载荷F=800kN,试确定截面尺寸（h/b=3）。960420420BAC解:⑴以节点A为研究对象A

§2-6失效、安全因数和强度计算PAG74例2-7

图示起重用吊环,侧臂AC和AB各由两个矩形截面的锻钢杆构成,材料许用应力[σ]=80MPa,最大载荷F=800kN,试确定截面尺寸（h/b=3）。960420420BAC

⑵由强度条件设计截面尺寸§2-6失效、安全因数和强度计算PAG75BAD例2-8

已知大梁AB为刚性体,拉杆CD直径d=2cm,[

]=160MPa。求许可载荷[F]。解:⑴取AB为研究对象

⑵

由强度条件确定CD杆的许可轴力

CBA0.75m1m1.5mD⑶

求许可载荷[F]§2-6失效、安全因数和强度计算PAG76纵向变形

受力物体变形时,一点处沿某一方向微小线段的相对变形,即单位长度的伸长或缩短。杆沿长度均匀变形线应变ε杆伸长时线应变为正，杆缩短时线应变为负。l

a

b

c

d

a´

b´

c´

d´

l1

在长度l内的平均线应变§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形一、拉压杆的纵向变形PAG77EA：杆的拉(压)刚度实验表明：在材料的线弹性范围内，杆的伸长量Δl

与杆所受外力F、杆的原长l

成正比，而与其横截面面积A成反比。胡克定律

E：弹性模量§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形PAG78横向线应变—

泊松比（或横向变形因数）宽度方向的横向变形杆沿长度均匀变形（与纵向线应变正负相反）§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形厚度方向的横向变形二、拉压杆的横向变形PAG79例2-9

阶梯杆OD左端固定,OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的2倍,OB=BC=l,CD=2l,求杆的总伸长量。O3F4F2FBCD解：⑴分段计算轴力⑵分段计算变形OB段3F2FF+-+BC段CD段§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形PAG80例2-10图所示杆系由两根钢杆1和2组成.已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成

=300的角度，长度均为

l=2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为E=210GPa.设在点处悬挂一重物F=100kN，试求A点的位移

A.ABC12

解：(1)列平衡方程，求杆的轴力(2)两杆的变形为（伸长）变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起.§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形PAG81

以两杆伸长后的长度BA1和CA2为半径作圆弧相交于A

，即为A点的新位置.AA

就是A点的位移.A''ABC12

A2A1A

12

因变形很小，故可过A1，A2分别做两杆的垂线，相交于A

A

可认为A'§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形PAG82§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形小变形问题的实用解法小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形。实用解法：1，按结构原几何形状与尺寸计算约束反力与内力；2，采用切线代圆弧的方法确定节点位移。PAG83FAFN1FN2x300yA12mABCF30012解(1)由平衡方程得两杆的轴力1杆受拉，2杆受压A2(2)两杆的变形§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形

例2-11图示三角形架AB和AC杆的弹性模量E=200GPa，

A1=2172mm2，A2=2548mm2.求当F=130kN时节点的位移.PAG84300AA1A2A'300AA3为所求A点的位移A12mABCF30012A2A3§2-7

轴向拉伸和压缩时的变形PAG85二、拉压杆的应变能计算弹性体在外力作用下，因变形而存储的能量。一、应变能Vε

(J)应变能=外力所作的功§2-8

轴向拉伸和压缩时的应变能1、线弹性材料

PAG862、非线性弹性材料

内力在n段中分别为常量时+-dx§2-8

轴向拉伸和压缩时的应变能PAG87已知：试求在力P作用下节点A的位移。解：1）A节点的平衡2）求应变能结构的应变能：§2-8

轴向拉伸和压缩时的应变能PAG88已知：试求在力P作用下节点A的位移。3）外力功§2-8

轴向拉伸和压缩时的应变能PAG89三、拉压杆的应变能密度(J/m3)应变能密度vε:单位体积内的应变能以上公式只适用于线弹性范围内

§2-8

轴向拉伸和压缩时的应变能PAG90D3静定问题：杆件的轴力可以用静力平衡条件求出未知力个数

=

独立平衡方程数一、超静定（静不定）问题CAB12A超静定问题：只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力未知力个数

>

独立平衡方程数静不定次数

=

未知力个数

-独立平衡方程数§2-9

拉伸和压缩的超静定问题所有未知力独立静力平衡方程变形几何相容方程物理方程PAG911、列出独立的静力平衡方程；求解步骤：2、变形几何相容方程—

变形协调方程；5、解由静力平衡方程和补充方程组成的方程组。3、物理方程—

胡克定律；4、补充方程：由变形几何相容方程和物理方程得；二、拉压静不定问题的解法§2-9

拉伸和压缩的超静定问题D3CAB12PAG92例2-12

已知各杆长度l1=l2、l3

,各杆横截面面积A1=A2、A3

,若各杆弹性模量E1=E2、E3

,求各杆内力。解:⑴以节点A为对象画受力图ACABD123⑶列变形几何相容方程A'⑷列物理方程（胡克定律）⑵列平衡方程§2-9

拉伸和压缩的超静定问题这是一次超静定问题.PAG93例2-12

已知各杆长度l1=l2、l3

,各杆横截面面积A1=A2、A3

,若各杆弹性模量E1=E2、E3

,求各杆内力。ACABD123A'⑸补充方程（由几何方程和物理方程得）⑹解平衡方程和补充方程得§2-9

拉伸和压缩的超静定问题ABCF3aal21PAG94例2-13图示平行杆系1、2、3悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载F。如杆1、2、3的面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E.试求1、2、3三杆的轴力FN

1，FN

2，FN

3.ABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：(1)平衡方程这是一次超静定问题.§2-9拉伸和压缩的超静定问题PAG95ABCF3aal21ABC321(2)变形几何方程物理方程(3)补充方程§2-9

拉伸和压缩的超静定问题PAG96(4)联立平衡方程与补充方程求解§2-9

拉伸和压缩的超静定问题PAG972、超静定结构1、静定结构CAB12A'静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力超静定结构中变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引起内力，与之相对应的应力称为热应力或温度应力三、温度应力CABD123A'§2-9

拉伸和压缩的超静定问题

温度变化将引起构件的膨胀或收缩PAG98例2-14图示等直杆AB的两端分别与刚性支承连结.设两支承的距离（即杆长）为l，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为

E，线膨胀系数为

t

.试求温度升高

T时杆内的温度应力.ABlAB'

lTAB

lFFRAFRB解这是一次超静定问题变形相容条件是：杆的总长度不变.即

杆的变形为两部分，即由温度升高引起的变形

lT

以及与轴向压力FR相应的弹性变形

lF§2-9

拉伸和压缩的超静定问题PAG99ABlAB'

lTAB

lFFRAFRB(1)变形几何方程(3)补充方程(4)温度内力(2)物理方程由此得温度应力§2-9

拉伸和压缩的超静定问题PAG100A'2、静不定结构四、装配应力1、静定结构CAB12A'ACBD123轻微的几何形状的变化，不会引起内力有装配应力§2-9

拉伸和压缩的超静定问题加工精度引起构件尺寸上的微小误差PAG101

ABCD

213l代表杆3的伸长代表杆1或杆2的缩短

代表装配后A点的位移(1)变形几何方程(2)物理方程

§2-9

拉伸和压缩的超静定问题PAG102(3)补充方程

ABCD

213l

(4)平衡方程FN3FN2FN1FN1，FN2，FN3(5)联立平衡方程与补充方程求解§2-9

拉伸和压缩的超静定问题PAG103

例2-15两铸件用两根钢杆1,2连接，其间距为l=200mm.现要将制造得过长了

e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a.试计算各杆内的装配应力.已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面积为20

30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa.铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体.ABC12aaB1A1C1l3C1C'

e§2-9

拉伸和压缩的超静定问题PAG104(1)变形几何方程为l3C1

eC''

l3AB12B1A1

l1

l2=§2-9

拉伸和压缩的超静定问题CC1PAG105aax(3)补充方程(4)平衡方程(2)物理方程C'A'B'FN3FN1FN2联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.§2-9

拉伸和压缩的超静定问题一、工程实际中的连接部件(1)螺栓连接(2)铆钉连接FF螺栓FF铆钉FF§2-10

剪切和挤压的实用计算m轴键齿轮(3)键块联接(4)销轴联接FFABtdt1t1§2-10

剪切和挤压的实用计算PAG108⑵

,

,

杆段部分的半

圆被挤扁,近似半椭圆。⑴在mn,pq截面处被剪断;螺栓受力特点:螺栓可能的失效形式:⑴横截面mn,pq上有剪力;⑵

,

,

杆段受被连接件的挤压。§2-10

剪切和挤压的实用计算二、连接件的破坏形式PAG109⑵在钉孔处被拉断或被螺

栓豁开端部。⑴与螺栓

,

,

杆段对应的半圆孔受螺栓挤压变形

过大而失效;被连接件受力特点:被连接件可能的失效形式:⑴不受剪力作用;⑵与螺栓

,

,

杆段对应的半圆孔受螺栓的挤压。§2-10

剪切和挤压的实用计算PAG110连接处三种破坏形式⑴剪切破坏

连接件沿剪切面被剪断。⑵挤压破坏

连接件与被连接件的接触面因挤压而被压溃,连接松动,发生破坏。⑶拉伸破坏

被连接件在被钉孔削弱的截面处应力增大,易在此处被拉断。§2-10

剪切和挤压的实用计算nn（合力）（合力）FF1、受力特点以铆钉为例构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用.2、变形特点

构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动.§2-10

剪切和挤压的实用计算三、剪切与剪切强度条件mmF剪切面FS(1)内力计算

FS-

剪力FFmm(2)切应力式中，FS-

剪力A-剪切面的面积§2-10

剪切和挤压的实用计算3、剪切的实用计算注意：剪切面上的应力不是均匀分布的，这里求得的只是名义切应力，用于工程中的实用计算。(3)强度条件[

]为材料的许用切应力n-安全系数-剪切极限应力§2-10

剪切和挤压的实用计算mmF剪切面FSFFmm四、挤压与挤压强度条件§2-10

剪切和挤压的实用计算挤压力Fbs

:接触面上的压力挤压：构件局部面积的承压现象柱面接触（如铆钉）挤压面面积

=实际承压面积在其直径平面上的投影平面接触（如平键）挤压面面积

=实际承压面积FbsbhlFbsFF(2)挤压应力FbS

-挤压力AbS-挤压面的面积(3)强度条件[

bS]-许用挤压应力§2-10

剪切和挤压的实用计算(1)挤压力F

=FbS挤压的实用计算PAG116五、剪切、挤压计算的应用1、校核强度2、设计尺寸3、设计载荷连接结构中通常同时考虑挤压应力、切应力。有时也需考虑拉压强度。§2-10

剪切和挤压的实用计算解：(1)键的受力分析如图例2-16齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm，键的尺寸为b×h×L=20×12×100mm，传递的扭转力偶矩Me=2kN.m，键的许用切应力为[

]=60MPa，许用挤压应力为[

bs]=100MPa.试校核键的强度.bhlMedFMeh§2-10

剪切和挤压的实用计算综上，键满足强度要求.(2)校核剪切强度(3)校核挤压强度MedFbhlA§2-10

剪切和挤压的实用计算例2-17一销钉连接如图所示，已知外力

F=18kN,被连接的构件A

和B

的厚度分别为t=8mm和t1=5mm,销钉直径d=15mm,销钉材料的许用切应力为[

]=60MPa,许用挤压应力为[

bS]=200MPa。试校核销钉的强度.t1FFAtt1Bd§2-10

剪切和挤压的实用计算解:(1)销钉受力如图b所示dF剪切面挤压面FFSFS(2)校核剪切强度由截面法得两个面上的剪力剪切面积为(3)挤压强度校核这两部分的挤压力相等，故应取长度为t的中间段进行挤压强度校核.故销钉是安全的.§2-10

剪切和挤压的实用计算dF剪切面挤压面DdhF(1)销钉的剪切面面积A(2)销钉的挤压面面积AbS思考§2-10

剪切和挤压的实用计算挤压面DdhF挤压面剪切面hd§2-10

剪切和挤压的实用计算例2-18冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力[

]=440MPa，钢板的剪切强度极限

u=360MPa，试求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度

.冲头

d钢板冲模F§2-10

剪切和挤压的实用计算F剪切面FF解(1)冲头为轴向压缩变形d=34mm剪切面F§2-10

剪切和挤压的实用计算(2)由钢板的剪切破坏条件δ=10.4mmPAG125bF例2-19已知铆接头所受载荷F=110kN.钢板厚t=1cm,宽b=8.5cm,许用应力[

]=170MPa;铆钉d=1.6cm,许用切应力[

]=150MPa,许用挤压应力[

bs]=320MPa,若各铆钉受力相等,试校核铆接头的强度及钢板拉伸强度。FtdFFt112233§2-10

剪切和挤压的实用计算PAG126解:⑴

铆钉受力分析如图⑵

铆钉的强度校核切应力挤压应力例2-19已知铆接头所受载荷F=110kN.钢板厚t=1cm,宽b=8.5cm,许用应力[

]=170MPa;铆钉d=1.6cm,许用切应力[

]=150MPa,许用挤压应力[

bs]=320MPa,若各铆钉受力相等,试校核铆接头的强度及钢板拉伸强度。F/4F/4剪切面挤压面§2-10

剪切和挤压的实用计算PAG1272-2截面∴

接头安全例2-19已知铆接头所受载荷F=110kN.钢板厚t=1cm,宽b=8.5cm,许用应力[

]=170MPa;铆钉d=1.6cm,许用切应力[

]=140MPa,许用挤压应力[

bs]=320MPa,若各铆钉受力相等,试校核铆接头的强度及钢板拉伸强度。⑶

钢板的强度校核1-1截面§2-10

剪切和挤压的实用计算F112233PAG128一