平面汇交力系-平面汇交力系合成与平衡的解析法（建筑力学）

第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、平面汇交力系合成的解析法FxyOABbb’aa’FyFx平面汇交力系1.力在坐标轴上的投影投影正、负号的规定：

当从力的始端的投影a到终端的投影b的方向与坐标轴的正向一致时，该投影取正值；反之，取负值。图中力F的投影Fx、Fy均取正值。

两种特殊情形：

⑴当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。

特别强调：力沿直角坐标轴方向的分力与该力的投影不同，力的投影只有大小和正负，是标量；而力的分力为矢量，有大小、方向，其作用效果与作用点或作用线有关。二者不可混淆。

⑵当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于该力的大小。

平面汇交力系

例2-4

试分别求出图中各力在x轴和y轴上的投影。已知F1=F2=F3=F4=F5=F6=100kN。F1的投影F1x=F1cos45°=(100×0.707)kN=70.7kNF1y=F1sin45°=(100×0.707)kN=70.7kN平面汇交力系F2的投影F2x=－F2cos60°=－(100×0.5)kN=－50kNF2y=F2sin60°=(100×0.866)kN=86.6kNF3的投影F3x=－F3cos30°=－(100×0.866)kN=－86.6kNF3y=－F3sin30°=－(100x×0.5)kN=－50kNF4的投影F4x=F4cos60°=(100×0.5)kN=50kNF4y=－F4sin60°=－(100×0.866)kN=－86.6kNF5的投影F5x=0F5y=－100kNF6的投影F6x=－100kNF6y=0平面汇交力系

合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。这就是合力投影定理

平面汇交力系FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx

2.合力投影定理合力FR在x轴上投影：各力在x轴上投影：

推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面共点力系，可得：FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx

F1F2FRF3xABCD(b)abcd3.用解析法求平面汇交力系的合力合力FR的大小和方向可由下式确定：合力的作用线通过力系的汇交点O，合力FR的指向，由FRx、FRy(即ΣFx

、ΣFy)的正负号来确定。如图示。α为合力FR与x轴所夹的锐角。

平面汇交力系

例2-5已知某平面汇交力系如图示。F1=200kN，F2=300kN，F3=100kN，F4=250kN，试求该力系的合力。

解（1）计算合力在x、y轴上的投影。FRx=ΣFx=F1cos300-F2cos600-F3cos450+F4cos450=(200×0.866-300×0.5-100×0.707+250×0.707)kN=129.2kNFRy=ΣFy=F1sin300+F2sin600-F3sin450-F4sin450=(200×0.5+300×0.866-100×0.707-250×0.707)kN=112.35kN

OF1F3F4xyF245°30°45°60°平面汇交力系（3）求合力的方向α=410

（2）求合力的大小

由于FRx

为正、FRy为负，故α应在第一象限，合力FR的作用线通过力系的汇交点O。平面汇交力系二、平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。

上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例2-6一圆球重15kN，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与墙之间的夹角α=300,如图示，求墙对球的约束反力及绳索对圆球的拉力F

T。

解取圆球为研究对象，设直角坐标系如图，列平衡方程。ΣFx=0FN-FTcos600=0FN=FTcos600=(17.32×0.5)kN=8.66kNΣFy=0F

Tsin600-W=0平面汇交力系解析法求解平面汇交力系平衡问题时的步骤归纳如下：1）选取研究对象。

2）画出研究对象的受力图。当约束反力的指向未定时，可先假设其指向

3)选