计量经济学讲义-4-第二章 单变量回归

第二章单变量回归所谓回归分析(regressionanalysis)，就是弄清楚两个或两个以上变量之间的因果关系的统计手法，是计量经济学中经常应用的方法。我们也可以认为计量经济学的目的就是为了改进回归分析。本章的对象：单变量的回归模型主要内容：古典正规线性回归模型的假定；最小二乘回归模型(Ordinaryleast-squaresregressionmodel,OLS)的重要结果；古典正规线性回归模型1-1回归分析(1)现在把两个变量和之间的关系，用一次函数的形式表示。具体，，这样的模型称为单变量回归模型。其中，是代表原因(cause)的变量，我们称之为说明变量(explanatoryvariable),或者称之为独立变量(independentvariable);是代表结果(result)的变量，我们称之为被说明变量(explainedvariable)，或从属变量(dependentvariable);是误差项(errorterm),或叫作搅乱项(disturbanceterm)，代表不能用的变化来反应出的的变化的那个部分。也就是现实的与理论的之间的差异。为什么需要加入误差项呢？因为精确的数学模型能解释的现象很少；现在能解释经济现象的手法大家更喜欢用随机变量来表示经济变量的不确性；回归分析的目的主要目的是估计参数和以及以及对估计值进行显著性检验。最常用的方法是最小2乘法(OrdinaryLeastSquaremethod,OLS)1-25个基本假定A.古典正规线性回归模型有以下五个假设：(1)误差项的平均为0,即；误差项之间不相关，即，或；误差项具有相同的方差，其中是未知；说明变量是可以指定的，也就是说不是确率变量；误差项服从正规分布。B.下面我们详细说明上述的五个假定。B-1假定(1)误差项代表说明变量以外其他的对被说明变量产生影响因素的总和。其中的任何一个构成因素都不可能对被说明变量产生连续的影响，而它们总体有时候对被说明变量产生正的影响，有时候产生负的影响，但是就平均程度而言是0。这种假定意味着被说明变量的平均是由的大小决定，而误差项不会对被解释变量产生一种系统的影响，也就是与误差项无关。把说明变量分成两个部分：和。其中，是可以人为指定的，称为系统部分；误差项是个确率变量，称为非系统部分；就是不可预知部分，它决定被说明变量也是个随机变量。被说明变量和误差项具同样的分布。如果这种假设不成立，也就是说，有一个系统因素，本应该出现在系统部分里，却人为地把它放在非系统部分中，那样会带来什么样的后果呢？先看看原来的误差项。如前面所述的那样，依旧假设是一个平均为0的随机变量。现在，犯了定义上的错误，把应该放在系统说明部分中的说明变量，归类到误差项中，即，其中是一个均值为0的随机变量。这时，就不再是一个均值为0的随机变量。被说明变量的平均也不再只由的大小决定，还要受到中的大小的影响。这种错误是在建模阶段发生的错误。不能简单地从检验假说(1)的成立与否来判断这类错误的有无。原因是无论模型的建立是否正确，最小二乘残差的总和永远为0，即，所以从作为误差项的估计值的的平均，是不能判断假说(1)的正确与否。B-2.假设(2)----各期的误差项之间不相关，即先介绍一下什么是自己相关。假如代表任何时点，相应的误差项。如果是正的时候，更倾向于得到正的值，这种情况，称之间存在正的相关；反之，当为正的时候，倾向于小于0的情况，称为负相关。假设(4)阐述那样，说明变量不是随机变量，所以误差项是一个随机变量，被说明变量因此也成为一个随机变量。如果是一个自己相关的随机变量的话，相应的也成为一个自己相关的随机变量。虽然自己不相关这一假说是一个非常强的假设，在现实中很难得到满足，但是在理论研究上具有很好的性质，比如使用方便等，同时也可以把结果发展到自己相关的状况下，所以这个假设还是很重要的。对于自己相关的处理方法，将在自己相关那一章中作具体介绍。B-3.假设(3)----误差项具有相同的方差，其中是未知。首先介绍一下均一方差。对于所有的误差项来说，它们都具有相同的方差的时候，服从均一方差分布；当各时点误差项的方差不相同的时候，服从异方差分布。被说明变量与误差项具有相同的随机性质，所以当服从于均一方差分布的时候，被说明变量也服从于均一方差分布；反之，当不服从于均一方差分布的时候，被说明变量也服从于异方差分布。关于这一假设部成立的情况，会在异方差中详细说明。B-4假设(4)----说明变量是可以指定的，也就是说不是随机变量。所谓指定变量，就是意味着可以人为地给定一个的水平，可以观察相应的的水平。虽然说明变量是可以控制的，但是其他不可以控制的影响被说明变量的因素是随机变动的，所以被说明变量是确率变量。这里反复强调说明变量是指定变量，宗旨无非是想表明说明变量不是确率变量，也就是说不是随机变动的，的决定机制和误差项的决定机制是完全不同的，它们是独立的，这就是这条假设的目的。在自然科学领域，说明变量的水平是可以控制的，例如，肥料的投入量与收成关系的研究中，肥料的投入量是可以人为控制的。但是在经济学领域里，这种人为的控制是不可能的。例如给出不同的收入水平，也不可能策划出家庭消费，因为从被调查家庭这个母集团中，随机抽取家庭样本时，导致家庭的收入水平这一说明变量就变得不可以控制。还可以把假设（4）放松到说明变量是确率变量，但是要与误差项独立。这种情况下，在本章中所展开的讨论仍然是有效的，只是可以把确率说明变量理解为一种条件观察值。B-5假设(5)误差项服从正规分布。这里定义误差项是影响被说明变量的系统因素以外非系统因素的总和。即，当k是一个比较大的数字，相互独立，而且每一个对误差项的影响是非常微小的。这种情况下，根据中心极限定理可以假定误差项服从正规分布。误差项服从正规分布与否，和假说（1）同样，是在建立理论模型的时候需要慎重考虑的。2。最小二乘法的几个重要结果2.1最小二乘回归有以下四个重要结果：(1).(2).(3).(4).2.2结果的意义结果(1).这个结果说明最小二乘残差的总和一定是0。这个结果同理论模型的好与坏，前面提及的假说（1）正确与否都无关，永远成立。对每一个残差项而言，一般来说它不一定是0，我们由（因为残差项使不可观察的，这里我们为了强调特意写成代表残差项的推导过程），当过大地估计的时候，残差项就是负的；当过小地估计的时候，残差项就大于0。但是总和永远为0。表明被说明变量的观察值的总和与估计值的总和永远是相等的，即，也就是说它们的样本平均值也是一致的，。有时候会出现，那更多的是因为计算中的误差所至，而不是否认这一结果。结果(2).由结果，很容易地得到，从而得到，很显然，当的时候，就有。而残差项与说明变量的样本相关系数当，意味着与之间是线性无关，即。同样的道理，可以有得出与之间是线性无关，即。结果(3).，称为全变动，反映被说明变量在样本平均周围的变化程度，，称为回归模型可以说明的变动，反映被说明变量的估计值在样本平均周围的变化程度，，称为回归模型不能说明的变化部分。结果(4).我们利用这个结果，可以简单地求出。2.3结果的证明证明(1).证明(2).证明(3).证明(4).最小二乘估计量的性质一．的均值是无偏估计，；两边取均值，有，这表明是的无偏估计量。对于，。二．的方差做的五个假设中假设服从于正态分布，所以只要知道，的均值，方差和协方差，就完全知道的所有统计特性。根据方差的定义，把代入，得到；对于，有；再计算协方差，。三．Gauss-Markov高斯-马尔可夫定理对于古典线性回归模型，普通最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量(BLUE)。,是样本的线性函数，所以是线性估计量。下面证明的方差最小。设的任一线性估计量为，则只有当的时候，才是的无偏估计量。；作个变换，第三节拟合优度的测度概念拟合优度是指两个变量之间关系强度的测度。Y的变差的组成三．拟合优度的测度3.1决定系数在全变动中，只有是回归模型可以说明，所以判断一个理论模型具有多少说明力，用决定系数的，（ESS:explainedsumofsquares；TSS:totalsumofsquares;RSS：residuralsumofsquares）来度量，或者用相关系数；来度量。的取值范围在-1到+1之间，其绝对值越接近于1，表明被说明变量与说明变量的线性相关程度越强，当的时候，称被说明变量与说明变量之间是完全负的相关，当的时候，称被说明变量与说明变量之间是完全正的相关，当的时候，称被说明变量与说明变量之间是完全不相关。第四节区间估计和假设检验一．的置信区间最小二乘法的五个假设都成立的情况下，.ifisgiven,thenwecanestimateas;1．的估计Wewillproveisaunbiasedestimatorfor.;as,andthenwehavewhere,andWewillestimatebythefollowing,alike.,andthereis,andthenwehave,then,,andthenweinsteadwith.;As,and,andthenwehave.conditionalontheun-known,weestimatetheintervalvalueforbyusingt-value.,astheretwoparameters.Theintervalvaluesforparameteris.Themethodoflookingfort-tableinthebehindofthetext,P186.Thequestion:whythet-valueofestimatormustequalto1.96atleast?Forexample:inthetextP53.Testingforhypothesis参考书：1《金融数量方法》陈工孟，陈守东译，上海人民出版社。？为什么要进行检验呢？概率模型仅仅能够提供回归系数的估计，因此有必要对这些古迹在多大的程度上能够代表着真实的系数进行检验。可以通过加演回归系数的统计显著性和所顾忌的回归直线的数据的拟合优度来进行这项检验。1.Themethodfortesting建立原假设和备择假设；计算检验统计量；看是否出现小概率事件；得出结论。Example3.3WemustrememberthatWeseethetableonP186,wecanfindthevalueis-1.86.Ifwewanttofindoutthevaluefor,thenthevalueis-.1.397;Ifwewanttoknowthevaluefor,thenthetwo-handvalueis3.355.系数的显著性检验所谓显著性检验就是检验参数是否为0。也就是检验每一个估计系数是由于偶然性而落在分布的尾部，还是落在分布的主体范围内。即判断与否。系数的统计显著性可以用估计值的离散程度来衡量。由于误差或残差被假定服从正态分布，误差的标准偏差就可以用来衡量这种分散程度，这种标准偏差被称为系数的标准误差。我们用t统计量来度量系数的显著性程度。为了得到这些度量，我们首先需要知道：系数的抽样分布；系数的方差以及标准误差的估计；这样，我们就可以检验关于系数的假设，或对期建立置信区间。原假设：是指在统计检验中没有证据能够拒绝它时将会被接受的假说。备择假设：拒绝原假设，就会接受备择假设。真实的情况原假设为真的and接受原假设原来假设有误andaccepted判接受原假设对第二类错误断结拒绝原假设第一类错误对果我们最想避免的是第一类错误。因此我们设置相应的显著性水平，使得发生这种错误的概率小一些。检验的步骤：step-1确定显著性水平.显著性水平意味着偶然性的概率。例如95%，就意味着95%的概率不是出于偶然。step-2设置原假设中的大小step-3查表找出临界值step-4判断出现小概率时间的话，则表明在显著性水平下，原假设不成立。单边检验：右边：大于右侧的临界值，表明样本太大了，他成为总体的代表的概率小于我们所设定的显著性水平。p-valuep-value是原假设成立的情况下，标准化的检验统计量取值得概率。Example3.4P55进一步阅读文献：Bowers,D.,1991,StatisticsforEconomicsandBusiness,Macmillam，London.Silver,M.,1992,BusinessStatistics,McGraw-Hill,London回归结果的提供和分析回归结果提供的格式twotypes2.回归结果的分析2-1系数的说明。符号，大小，意义等。2-2拟合情况。2-3系数的显著性。2-4误差项是否存在自相关。利用回归进行预测(forcasting)P56预测的概念P56通过说明变量来推测被说明变量的大小。二．预测的隐含条件：对于新的观测值来说，回归模型也成立。三．预测的误差P57预测有点预测值和区间预测值。提供点预测值的同时，必须提供预测值的预测误差。预测误差的来源：一是预测期间的扰动项假设为0；二是样本估计值不一定就是总体值。他是一个无偏估计；表明的时候，预测误差达到最小；其他的时候，预测误差向两侧非线性递增。四．预测的置信区间or系数的显著性检验所谓显著性检验就是检验参数是否为0。也就是检验每一个估计系数是由于偶然性而落在分布的尾部，还是落在分布的主体范围内。即判断与否。系数的统计显著性可以用估计值的离散程度来衡量。由于误差或残差被假定服从正态分布，误差的标准偏差就可以用来衡量这种分散程度，这种标准偏差被称为系数的标准误差。我们用t统计量来度量系数的显著性程度。为了得到这些度量，我们首先需要知道：系数的抽样分布；系数的方差以及标准误差的估计；这样，我们就可以检验关于系数的假设，或对期建立置信区间。原假设：是指在统计检验中没有证据能够拒绝它时将会被接受的假说。备择假设：拒绝原假设，就会接受备择假设。真实的情况原假设为真的and接受原假设原来假设有误andaccepted判接受原假设对第二类错误断结拒绝原假设第一类错误对果我们最想避免的是第一类错误。因此我们设置相应的显著性水平，使得发生这种错误的概率小一些。检验的步骤：step-1确定显著性水平.显著性水平意味着偶然性的概率。例如95%，就意味着95%的概率不是出于偶然。step-2设置原假设中的大小step-3查表找出临界值step-4判断出现小概率时间的话，则表明在显著性水平下，原假设不成立。单边检验：右边：大于右侧的临界值，表明样本太大了，他成为总体的代表的概率小于我们所设定的显著性水平。p-valuep-value是原假设成立的情况下，标准化的检验统计量取值得概率。Example3.4P55进一步阅读文献：Bowers,D.,1991,StatisticsforEconomicsandBusiness,Macmillam，London.Silver,M.,1992,BusinessStatistics,McGraw-Hill,London回归结果的提供和分析回归结果提供的格式twotypes2.回归结果的分析2-1系数的说明。符号，大小，意义等。2-2拟合情况。2-3系数的显著性。2-4误差项是否存在自相关。利用回归进行预测(forcasting)P56预测的概念P56通过说明变量来推测被说明变量的大小。二．预测的隐含条件：对于新的观测值来说，回归模型也成立。三．预测的误差P57预测有点预测值和区间预测值。提供点预测值的同时，必须提供预测值的预测误差。预测误差的来源：一是预测期间的扰动项假设为0；二是样本估计值不一定就是总体值。他是一个无偏估计；表明的时候，预测误差达到最小；其他的时候，预测误差向两侧非线性递增。四．预测的置信区间or五．例题Example3.5,3.6,3.7例题3.5P59区间估计：显著性水平查表例题3.6P60思路：是否来自于同一总体，有两种方法一是检验均值和方差是否显著地不同于总体的均值和方差；二是检验预测误差是否显著地不同于0。计算预测误差；建立原假设和备择假设：检验统计量：；查表：比较：小结P65五．例题Example3.5,3.6,3.74．参数估计的样本分布以及的估计5．最小二乘估计量的特性6．的区间估计与检验7．去除时间趋势8．预测9．没有常数项的最小二乘法10．练习题确定性模型和概率模型：确定性模型，是指一旦说明变量的值是已知的，那么被说明变量的值就可以准确地知道。同方差性（homoscedastic）,与说明变量的大小无关，误差性的波动幅度是一个常数。

货币资金审定表被审计单位：项目：货币资金审定表编制：日期：索引号：ZA财务报表截止日/期间：复核：日期：项目名称期末未审数账项调整重分类调整期末审定数上期末审定数索引号借方贷方借方贷方库存现金银行存款其他货币资金小计合计审计结论

库存现金监盘表被审计单位：项目：编制：日期：索引号：ZA1-1财务报表截止日/期间：复核：日期：检查盘点记录实有库存现金盘点记录项目项次人民币美元某外币面额人民币美元某外币上一日账面库存余额①1000元张金额张金额张金额盘点日未记账传票收入金额②500元盘点日未记账传票支出金额③盘点日账面应有金额④=①+②-③=2-3100元盘点实有库存现金数额⑤50元盘点日应有与实有差异⑥=④-⑤10元差异原因分析白条抵库（张）5元2元1元0.5元0.2元0.1元合计追溯调整报表日至审计日库存现金付出总额报表日至审计日库存现金收入总额报表日库存现金应有余额报表日账面汇率报表日余额折合本位币金额本位币合计出纳员：会计主管人员：监盘人：检查日期：审计说明：银行存款（其他货币资金）明细表被审计单位：项目：银行存款明细表编制：日期：索引号：ZA2-1财务报表截止日/期间：复核：日期：开户行账号是否系质押、冻结等对变现有限制或存在境外的款项银行日记账原币余额银行已收,企业未入账金额银行已付,企业未入账金额调整后银行日记账余额银行对账单余额（原币）企业已收，银行未入账金额企业已付，银行未入账金额调整后银行对账单余额调整后是否相符①②③④=①+②-③⑤⑥⑦⑧=⑤+⑥－⑦----------合计编制说明:1.若账面余额(原币数)与银行对账单金额不一致，应另行检查银行存款余额调节表(见ZA2-3)；2.银行存款、其他货币资金审计时均可使用该表，当其他货币资金使用时应修改索引号。审计说明：银行存单检查表被审计单位：项目：银行存单检查表编制：日期：索引号：ZA2-2财务报表截止日/期间：复核：日期：开户银行账号币种户名存入日期到期日期末存单余额期末账面余额备注注：备注栏可填写是是否被质押、用于担保或存在其他使用限制等情况说明。审计说明:对银行存款余额调节表的检查被审计单位：项目：对***账户银行存款余额调节表的检查编制：日期：索引号：ZA2-3财务报表截止日/期间：复核：日期：开户银行：银行账号：币种：项目金额调节项目说明是否需要审计调整银行对账单余额加:企业已收，银行尚未入账合计金额。其中:1.2.减:企业已付，银行尚未入账合计金额。其中:1.2.调整后银行对账单余额企业银行存款日记账余额加:银行已收，企业尚未入账合计金额。其中:1.2.减:银行已付，企业尚未入账合计金额。其中:1.2.调整后企业银行存款日记账余额经办会计人员(签字):会计主管(签字):审计说明:银行存款函证结果汇总表被审计单位：项目：银行存款函证结果汇总表编制：日期：索引号：ZA2-4财务报表截止日/期间：复核：日期：开户银行账号币种函证情况冻结、质押等事项说明备注对账单余额函证日期回函日期回函金额金额差异审计说明：索引号ZA2-5银行询证函编号：××（银行）：本公司聘请的××会计师事务所正在对本公司20×7年度财务报表进行审计，按照中国注册会计师审计准则的要求，应当询证本公司与贵行相关的信息。下列信息出自本公司记录，如与贵行记录相符，请在本函下端“信息证明无误”处签章证明；如有不符，请在“信息不符”处列明不符项目及具体内容；如存在与本公司有关的未列入本函的其他重要信息，也请在“信息不符”处列出其详细资料。回函请直接寄至××会计师事务所。回函地址：邮编：电话：传真：联系人：截至20×7年12月31日止，本公司与贵行相关的信息列示如下：1．银行存款账户名称银行账号币种利率余额起止日期是否被质押、用于担保或存在其他使用限制备注除上述列示的银行存款外，本公司并无在贵行的其他存款。注：“起止日期”一栏仅适用于定期存款，如为活期或保证金存款，可只填写“活期”或“保证金”字样。2．银行借款借款人名称币种本息余额借