2022-2023学年湖北省武汉市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市高二下学期期中数学试题

一、单选题

/(∙⅞)-√(χo+∆∙y)

1.若/(X。)=—2,则!必等于()

ΔΛ

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】利用导数的定义求解,

【详解】解：因为/(xo)=-2,

/(Xo)-=_/(⅞÷Δr)-∕(⅞)

所以lim=-∕X⅞)=2，

Λv-Δ^→°∆x

故选：D

2.(1-2x)4的展开式中二项式系数和为()

A.-24B.24C.-16D.16

【答案】D

【分析】由二项式系数的性质求解.

【详解】(l-2x)"的展开式中二项式系数和为C：+C：+C：+C：+C：=2'=16.

故选：D

3.在等比数列｛叫中，色，%是函数/(刈=；/+4/+9》一1的极值点，则％=

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】B

【详解】∙∙∙∕(x)=gχ3+4r+9x-l,

X2

.∙.由/'(X)=+8x+9=0可知a?.%=9,ai+a-7=-8

,/等比数列中为。=%-%且为＜0

.∙.%=-3,故选B.

4.(x+N)(2x-y)5的展开式中χ3y3的系数为

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】C

【详解】(x+y)(2x-y)'=M2x-yY+y(2x-y)',

由(2x-j)5展开式的通项公式酊=q(2x)5--(->γ可得:

当r=3时，X(2x-，展开式中H/的系数为C；x22x(-1)3=TO;

当r=2时，y(2x-y)'展开式中V>3的系数为cjχ23χ(T)2=8O,

则Xv的系数为80-40=40.

故选C.

【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一

步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系

数中〃和，的隐含条件，即〃，「均为非负整数，且〃≥r,如常数项指数为零、有理项指

数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

5.已知随机变量X的分布列如下表，若E(X)=1,O(2X+1)=2,则P=()

π3

0

【答案】B

【分析】根据期望和方差运算公式得到方程组，求出。的值.

【详解】由题意得，E(X)=OXG-P)+αxg+2xp=l,

1+2p=l,①

由方差的性质知，O(2X+1)=4O(X),又。(2X+1)=2,

222

ΛD(X)=1ΛD(X)=(0-l)×fi-pL(β-l)×i+(2-l)×p=i

即2α+l=0,所以α=l.将a=l代入①式，得P=]

4

故选：B.

6.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来

近似计算，例如：求InLO1,我们先求得y=lnx在χ=l处的切线方程为y=x-l,再把X=LOI代入

切线方程，即得InLol≈≈0.01,类比上述方式，则"。%≈().

A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005

【答案】A

【分析】根据题意，设/*)=/，求出切线，以直代曲计算即可.

【详解】设fa)=，，可得r0)=e∖/(0)=ι,r(0)=ι,

曲线y=e'在点((U)处的切线对应的函数为y=g(x)=x+l,

因为康与。之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算,

=1+------=1.00025,

400040004000

故选：A

7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现

某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了'‘古今数学思想”，“世界数学通史”，"几何原本”，“什

么是数学''四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选

修课程选完，则每位同学的不同选修方式有()

A.60种B.78种C.84种D.144种

【答案】B

【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.

【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1』，2或0」,3或0,2,2若是

1,1,2,则先将4门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有A；种不同分配方式,

C∖C∖C;

由乘法原理可得共有•国=36种,若是QI,3,则先将4门学科分成三组共C：C；种不同方式,

"ɪ

再分配到三个学年共有A；种不同分配方式，由乘法原理可得共有24种，若是0,2,2,则

先将门学科分成三组共三种不同方式，再分配到三个学年共有8种不同分配方式，由乘法原理

可得共有差

•&=18种

所以每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种，

故选：B.

8.兀和e是数学上两个神奇的无理数.兀产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助

于超级计算机依然进行兀的计算.而当涉及到增长时，e就会出现，无论是人口、经济还是其它的自

然数量,它们的增长总是不可避免地涉及到e∙已知—^=ln（eπ-2e））,=公,d*2,

则〃，b,c,d的大小关系是()

A.c<b<d<aB.c<d<b<aC.d<c<a<bD.b<c<a<d

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造函数/(x)=ei_x,g(x)=lnx—x+l,/2(x)=lnx+4—l,x>l,利用导数

X

探讨单调性，赋值比较大小作答.

【详解】依题意，α=e-3=e<"2z,⅛=ln(π-2)+l,c=2--

π-2

令函数/(x)=ei-x,x>l,求导得r*)=ei-l>O,函数/*)在(1,÷∞)上单调递增，

则当尢>1时，∕U)>∕(D=O,即e*τ>x,而兀一2>1,因此e->π-2,即心心

令函数g(x)=Mx-x+l,x>l,求导得g'(x)=1-1<0,函数g(x)在(L+∞)上单调递减，

X

贝IJ当x>l时，g(x)<g(D=O,BPlnx+l<x,S½ln(eπ-2e)=ln(π-2)+l<π-2,即d>人;

令函数依X)=InX+'—l,x>l,求导得以X)=L-J7=Wl>0,函数力(%)在(l,+∞)上单调递增，

XXXX

则当A>>1时，MX)>〃(I)=0,即InX>1—U>Inx÷1>2—,

XX

因此ln(eπ:—2e)=ln(兀-2)+1>2----!—=~~~-,即b>c,

兀一2兀一2

所以CVbVdV

故选：A

二、多选题

9.已知首项为T的等差数列｛q｝的前几项和为S“，公差为d,且S7>S8,S8<S9,则（）

A.d<d<3B.S10>S5C.（S）nhl=SgD.S15>0

【答案】AC

【分析】由4=以-$7<0,的=号-0>0得出6/的范围，判断A；作差结合等差数列的性质判断B；

根据数列｛““｝的单调性，判断C；由求和公式结合性质判断D.

【详解】对于A：因为S7>S8,Ss<S,,所以4=Ss-SiVOMg=Sg-Sii>0,

[Cia=—l+7d<01ɪ

则I八，解得Z<d<j,故A正确；

[ag=-l+8J>087

对于B：S,o-S5=a6+α7+678+α9+al0=5¾<0,贝IJSlO<怎,故B错误;

对于C：因为4>0,所以数列｛q,｝为递增数列，

因为q<0,%<0,%>0,,即数列｛4｝的前8项为负数，从第9项开始，都为正数,

则(S,l)min=S8,故C正确；

51

对于D：'J["；M)=I5/<。，故D错误;

故选：AC

l0

10.若(2x-l)'°=%+α∕+02χ2++α10x,x∈R,则()

A.%=180B.⑷+∣4∣+∣%∣+%∣=3∣°

13+包=-

Ca+a++a--'°D5+1

J÷α2+∙∙+4o—2口2十2?十2,十十2∣°一】

【答案】ABD

【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答

案.

,

【详解】由题意(2R—1)")=%+。/+生厂++Λ10X°,

所以n=CO(2x)2(-1)8=180/,

所以%=180,故A正确.

令X=-1,则(2x-l)∣°二4+々/+&/++40”，

即为(2x+l)H)=I4∣+∣q|x+&1/++1/

令x=l,得I/I+1qI+1gI++∣α∣o∣=3∣°,故B正确;

2,

对于(2x-l)∣°=aQ+axx+a2x÷+^∣0x°,

令1=1,得〃°+q+&++4o=1,

令X=-1,得：/一4+。2一+α∣o=3",

两式相加再除以2可得为+生++须=上手，故C错误.

f2f0

对于(2x-l)∣°=¾+d1x+¾x++dl0√,

令X=0,得4=1,

令x=2，得%+?+墨+墨++翁=°，

故£+堂+导++翁=T故D正确,

故选：ABD

11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有一4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱

中随机取出一球放入乙箱中，分别以A，&,Aj表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；

再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是()

r)S

3

A.∕(β)=-B-尸NA)=TT

C.事件B与事件A相互独立D.A、A2、4两两互斥

【答案】BD

【分析】A选项，利用独立事件和互斥事件概率公式计算出P(8);B选项，根据条件概率计算公式

计算出P(8|4)V；C选项，根据P(A8)W尸(A)∙P⑻得至IJC错误；D选项，由互斥事件的概念

进行判断.

54÷15944346

［详解］A选项，P(ΛB)=—×-------=—,P(AB)=—X-------=—,P(AB)=—X-------=—,

「1J1010+122vI71010÷l55v3371010÷l55

62

S4

一

故P(B)=P(AB)+P(A∕)+P(A3)=ζ^+ττ+

55212

B选项，P(A)=QM故P(MA)=策ɪ,212

2

1QQ

C选项，因为P(A)∙P(B)=］XA=怖，故P(AB)HP(A)T(B),所以事件B与事件A不相互独

立，C错误；

D选项，因为P(AAz)=P(AA)=P(AAJ=O,故4、4、A两两互斥，D正确.

故选：BD

12.乒乓球，被称为中国的“国球某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比

赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影

响.假设甲在任一局赢球的概率为p(θ≤p≤l),实际比赛局数的期望值记为/(p),则下列说法中正

确的是()

A.三局就结束比赛的概率为p3+(ι一p)'B./(P)的常数项为3

C.函数/(p)在尼)上单调递减D.吗)=充

【答案】ABD

【分析】设实际比赛局数为X,先计算出X可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值

F(P),即可判断BCD选项.

【详解】设实际比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,

所以P(X=3)=p3+(l-p)3,

P(X=4)=C；p3(l-p)+C；P(I-P)3,

P(X=5)=C"2(1-p)2,

因此三局就结束比赛的概率为p'+(1-P)3,则A正确；

故/(p)=3[p3+(l-P)1+4[c；p3(l-p)+C；P(I-P)[+5χC=p20-p)2

=6p4-12p3+3p2+3p+3,

由/(O)=3知常数项为3,故B正确；

/1,CICI333ɪɛ丁“

由/不=6XN_]2XH+3X：+7=M,故D正确；

∖Zy10o4λo

由/'(°)=24p'-36P∖6p+3=3(2p-l)(4p2-4p-l),

O≤p≤l,所以4p2-4p7=(2"l)2-2<0,

.∙.令尸(p)>0,则0<p<];令令(p)<0,则;<p≤l,

则函数/(P)在(og)上单调递增，则C不正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.55”除以8,所得余数为.

【答案】7

【分析】由55=56-1,运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.

【详解】依题意，

55555554532)540

55=(56-1)=Cθ556(-1)°÷⅛56(-1)'+⅛56(-l)++C^56(-1)+C^56(-lf

因为56能被8整除，所以55"除以8,所得的余数为：-1+8=7.

故答案为：7.

14.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，等比数列也｝前〃项和为若59=78,S,3=-52,且

4=%，bI=«7>则弘的值为.

12

【答案】3

【分析】利用等差数列｛%｝的前"项和公式及性质计算，再结合等比数列的前〃项和公式计算作答.

【详解】等差数列也｝的前"项和为则Sg=我处=9%=-18,即有々=%=-2,

S=I3(q：%)=]3%=-52,即有4=%=-4,令等比数列也｝的公比为4,则八今=2,

2%

,（一q4）

1-4

故答案为：3

15.如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A,B,C,D,E染色，每个区域只染一

种颜色，且相邻的区域不同色，则共有种不同的染色方法.

【答案】420

【分析】根据分类分步计数原理，分用3,4,5种颜色染色的方法分步计算，再求和即可.

【详解】选择3种颜色，则B,。同色，且C,E同色，共A；=60种情况；

选择4种颜色，则8,。同色，或C,E同色，共2xA；=240种情况；

选择5种颜色，共A；=12()种情况；故共有60+240+120=420种情况.

故答案为：420

16.已知函数F(X)=罐lnα,g(x)="ln(x-l),其中α>0且”1.若函数4。)=/(x)-g(x)为单调函

数，则实数。的取值范围为.

【答案】[ef)

【分析】若MX)单调递增，则g)≥0,即≡Γ≥6(m=x-1>0),y=mam→O,不满足；若MX)

单调递减，则"(x)≤0,进而可得(〃山"),小49一，对y=m∕'求导分析单调性，求出最大值，即可

得出答案.

【详解】由题意〃(无)=avln^-«ln(x-l),∕√(x)=axIn2a一一ʒ

X-L

若函数〃(力单调递增，则〃(x)≥0,所以优h√α≥目，即(尤―1)优-h6,

所以("加")in≥9^(,%=xT>°)，又加→0时，y=tnam→O,不满足;

若函数MX)单调递减，则"(%)≤0,所以优h√0≤目，即(X-1)/一二台，

所以(〃加〃)Wd-[fn=x-∖>0),考查y二加〃zn,(m=x-l>0).

n,

当α>1时，maT+8,不满足(小〃")陋—ɪɑia=%-1>。)；

1时，Ina<0,令y'=(l+mIna)α"'=0有M=-一—,当m∈[θ,一1

当a<时y'>0,y=ma,n单

InaIIna

1

调递增；当机£,+8时)/<0,y=∕mΓ单调递减.

Intz

1—L1__L1-J-ɪ--

lnw}na,na

故(小1)I=-——QmJ则----a≤——,BPa≤-------,BPIn≤ln,则

\/1maxInaInaln^aIna

，即一解得

∙lnα≤In，故T≤lnJ—≥',α≥eY.

InaInae

综上有4e[e∖l).

故答案为：［e^e,l)

四、解答题

17.某新闻部门共有A、B、C,D、E、F六人.

⑴由于两会召开，部门准备在接下来的六天每天安排1人加班，每人只被安排1次，若A不能安排

在第一天，B不能安排在最后一天，则不同的安排方法共有多少种？

(2)该部门被评为优秀宣传组，六人合影留念，分前后两排每排3人对齐站立，要求后排的3个人每

人都比自己前面的人身高要高，则不同的站法共有多少种？(六人身高均不相同)

【答案】(1)504

(2)90

【分析】(1)按照A安排在最后一天和不在最后一天进行分类，利用排列组合、计数原理求解；

(2)将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置，利用组合知识求解.

【详解】(1)分两类完成，第一类A安排在最后一天，则有A；种.

第二类，除AB外选一人安排在最后一天，再从除A外剩余的4人选一人排在第一天,

剩余的4人排在剩余的4个位置上，故有C]C；∙A：种.

根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法共有A；+C：-CJ1-At=504种.

(2)将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置,

两人顺序确定(高在后，矮在前)，所以不同的站法共有C=CJC=9()利L

前三项系数成等差数列，求:

(1)展开式中所有项的系数之和;

(2)展开式中的所有有理项.

6561

【答案】(1)^256^

351

(2)√,------X

TΛ'256

【分析】(1)先根据展开式中，前三项系数成等差数列计算〃，再代入％=1可得展开式中所有项的

系数之和.

Y生也

(2)因通项为九1=忖)C"4,故人取0、4、8时为有理项.

2〃-3*

【详解】(1)由题意，通项为7；M4

由题意2χQ[c,=6)°c!!+(jc:,得”=8或”=1(舍去)

令x=l,得(/+当)=理，故展开式中所有项的系数之和为整

256256

/]、％16-3女

(2)由(1)知，1+∣=OCX丁，所以当k取0、4、8时为有理项,

当女=0时，τj=(g)<4√=χ4

当出=4时，7；=W⅛=yx,

当&=8时，^=f∣Tφ-2=-l-χ-2

\ZyZJO

251

故展开式中的所有有理项为/,匕X和力X-.

8256

19.设函数函数=InX+l,g(x)=αx+2,awR,记F(X)=数x)-g(x).

⑴求函数F(X)的单调区间；

⑵若函数f(x)=lnx+l的图象恒在函数g(x)=ax+2的图象的下方，求实数”的取值范围.

【答案】(1)当a≤0时，则F(X)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；当。>0时，则尸O)的

单调递增区间为(0一)，单调递减区间为(Ly).

aa

⑵(4,+S)

e^

【分析】(1)求出F(X)的导数，讨论参数。的范围，根据U(X)的符号，写出单调区间;

(2)将函数图象的位置关系转化为函数的最值问题，根据(1)中的单调区间，求函数的最值即可.

【详解】(1)F(x)=∕(x)-g(x)=lnx-ox-l,F∖x)=--a,

X

当α≤0时，F'(X)=L-4>O,则F(X)在(0,+8)上为增函数；

X

当4>0时，F'(x)=L-α=O,即X=

Xa

F'(x)>O,则O<X<L；F'(x)<O,则X>L.

aa

则尸(x)在(0」)上为增函数，(L+∞)上为减函数.

aa

综上所述，当α≤0时，则F(X)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

当α>0时，则F(X)的单调递增区间为(0,3,单调递减区间为(L田).

aa

(2)函数f(x)=lnx+l的图象恒在g(x)=αr+2的图象的下方，

即F(X)=/(x)-g(x)=Inx-Ot-I<O恒成立；

由(1)知，当α≤OB寸，则F(X)在3”)上为增函数，

此时"x)无最大值，并且尸(e)=-αe≥O,不合题意；

当4>0时，F(X)在(0」)上为增函数，(Ly)上为减函数.

aa

所以F(X)max=w3=-∣n"-2<0,故.>±;

ae

即实数α的取值范围是⅛,+8)

e^

【点睛】关键点睛：解决问题(2)时，关键在于将不等式的恒成立问题，转化为最值问题，利用导

数得出实数”的取值范围.

20.学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一

袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然

后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.

(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；

(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积-2分.现

3_2_

抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为g,乙赢的概率为二，比赛共进行两轮，在两轮比赛

中，求这两名学生得分的分布列和均值.

【答案】⑴一

198

(2)分布列见解析，均值为0

【分析】(1)设A="抽到第一袋”，4="抽到第二袋”，B="随机抽取2张，恰好抽到一名男生和

一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；

(2)(i)X的可能取值为-2,0,2,计算出相应概率，即得分布列；(ii)F的可能取值为-4,-

2,0,2,4,计算出相应概率，即得分布列和均值；

【详解】(1)设A="抽到第一袋”，4="抽到第二袋”，

B="随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”

P(A)=P(4)=g

P(vB1iA,7)小C；型3二69

P1pɪ6

TT

½1

由全概率公式得

P(B)=P(A)P(B∣A)+P(½2)P(B∣Λ2)=lχ∣+i×A=^

(2)设在一轮比赛中得分为X,则X的可能取值为-2,0,2,则

326

p(χ=2)=—X—

5525

设在二轮比赛中得分为y,则y的可能取值为-4,-2,0,2,4,则

636

p(y=-4)=-×——

25625

13136156

p(y=-2)=y_____I_____v∙_____—_______

252525625

6131366_241

P(K=O)=-X+一X一+——×——

v7252525252525^625

g)=M13136156

H---X—=

252525625

P(IZ=4)=*636

25^625

得分为Y的分布列用表格表示为

Y-4-2024

3615624115636

P

625625625625625

「人7\/八36/.156C241C156)36C

E(}z)=(-4)×----F(-2)×----+Ox----÷2×-----f-4×---=0

'J'7625v7625625625625

21.已知正项数列｛叫的前〃项和为S,,,对任意“€^，点(凡同)都在函数/(冷2x-2的图象上.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)已知数列｛c,,｝满足若对任意"∈N*,存在Xoe,使得

c+c+L+C,,4

l2≤∕(Λ0)-4成立，求实数的取值范围.

【答案】⑴％=2",(〃eN*)

(91

⑵-吟痴

【分析】(1)由S”与巴的关系结合累乘法得出数列｛《,｝的通项公式；

(2)令K为数列｛q,｝的前"项和，由裂项相消法以及公式法得出设,=一二-4

l由W,,4ΛΛ以及

fW-a=2x-2-a的最大值得出实数a的取值范围.

【详解】(1)点(4,5,)都在函数/5)=2彳-2的图象上，可得S“=2凡-2.

当〃=1时，4=S∣=2α∣-2,4=2.

当〃≥2时，al=Sn-Sn.,=2an-2-2an.l+2,整理得区=2,

an-∖

7,lπ

即且•—•—=—=2^,an=2,对〃=1也成立.

an-∖an-2an-3%%4

即α,,=2",("∈N*).

由cl=0,c2>0,c3>0,c4>0,

当〃≥5时，2w>/7(/7+1),下面用数学归纳法证明：

当〃=5时，2'>5(5+1)成立.①

假设〃二&时，2卜>k(k+l)成立.

那么"=R+1时，2k+l>2k(k÷1),2k(k+1)—(⅛+1)(⅛+2)=(A:+1)(2⅛-2)>O

则2Λ+,>(⅛÷D(α+l)+l),即〃=Z+1时也成立.②

由①②可得，当〃≥5时，2z,>∏(H÷1),即有ς,<0.

可得