八年级数学上册 完全平方公式

金岭中学:鲁娟八年级数学教学设计课题：14．2．2完全平方公式（一）教学目标知识与技能完全平方公式的推导及其应用过程与方法经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力情感态度与价值观在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用教学难点：理解方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算教学方法与手段：探究与讲练相结合，以导学案为主。教学过程：一．复习回顾，引导新课我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，一名学生板书，语言叙述。【师】很好，现在将左边差改为和即（a+b）2那结果是什么呢?这正是我们这节课要研究的问题．多媒体出示目标。二．提出问题，探究公式[师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？[生]可以．我们知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．[师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．学生探究完成导学案自主探究（出示投影片学生展示答案）计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（2）（m+2）2=_______；（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（4）（m-2）2=________；（5）（a+b）2=________；（6）（a-b）2=________．[小组长1]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b多媒体展示答案[小组长2]我还发现（1）结果中的2p=2·p·1，（2）结果中4m=2·m·2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：(多媒体展示)三，1.得到公式，分析公式文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．多媒体展示你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？[小组1]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．[小组2]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．[小组4]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．[小组6]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．[师]于是我们可以进一步理解完全平方公式。归纳总结公式特点(课件展示)2.运用公式完成导学案巩固提升1．应用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2（2）（y-）2（3）（2x+3y）2（4）（-5n+4m）22．运用完全平方公式计算：（1）1022（2）992分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．1.解：（1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n（2）方法一：（y-）2=y2-2·y·+（）2=y2-y+方法二：（y-）2=[y+（-）]2=y2+2·y·（-）+（-）2=y2-y+（3）（2x+3y）2=（2x）2-2·（2x）·(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2（4）（-5n+4m）2=(-5n)2+2(-5n)(4m)+(4m)2=25n2+40mn+16m22．解：（1）1022=（100+2）2=1002+2×100×2+22（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2=10404．=10000+400+4（2）992=（100-1）2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801．四．课堂小结：(学生谈谈本节课的收获)总结完全平方公式的结构特征．公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式五．完成导学案达标测试部分题目。布置作业：探究92至93页板书设计：14．2．2完全平方公式（一）一．1．提出问题：（a+b）2-a2+b2=？