2022-2023学年河北省衡水市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省衡水市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1.复数z∣=2+i,Z2=l-2i,其中i为虚数单位，则z=z∣.Z2的在复平面内的对应点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数得乘法运算，得出Z即可求解.

【详解】复数z∣=2+i,Z2=l-2i,则z=z∣∙Z2=(2+i)(l-2i)=2+2+(l-4)i=4-3i,Z在复平面内的

对应点(4,-3)位于第四象限.

故选：D.

2.在一ABC中，若kH=∣AC∣=∣AB-AC∣,则C的形状为()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根据向量的减法法则可得∣A8-AC∣=∣CB∣,由三边相等关系即可得出结果.

【详解】因为卜@=|ACl=k8-AC∣,

所以,@=卜4=「4,

所以.ABC为等边三角形.

故选：A

3.已知向量e∣,/不共线，实数X，y满(3x-4y)q+(2x-3y)/=&I+3弓，贝!|工一)的值是()

A.3B.-3C.0D.2

【答案】A

,ɪ[3x-4y=6,

【解析】根据向量Cl,与不共线可得'/Q

IZΛ,-3y=3,

3x-4y=6,

【详解】由题意得解得χ-y=3.

2x-3y=3,

故选：A

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，属于基础题。

4.将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式(不可折断)，不可能拼成().

A.正三棱柱B.正四棱锥C.正四棱柱D.正六棱锥

【答案】D

【分析】根据几何体的结构特征逐一判断即可.

【详解】正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A成立；

正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B成立；

正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C成立；

因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，

所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D不成立；

故选：D.

5.已知向量α=(x-l,2),6=(2,4),则“a与》夹角为锐角”是“χ>-3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求0与b夹角为锐角时，X的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.

【详解】当。力=2(X-I)+2x4>0,解得：x>-3,

且当a∕∕b时，4(x-l)-4=0,解得：x=2,

所以与匕夹角为锐角时，X的取值范围是x>-3且xx2,

所以与b夹角为锐角”是“x>-3”的充分不必要条件.

故选：A

6.如图，圆台上底面半径为3,下底面半径为5,若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点

将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为R,下方的圆台侧面积为52,则$：52=

()

A.9:25B.9:16C.7:9D.16:25

【答案】C

【分析】作出截面图形，求出截面圆半径，设出上下方圆台的母线长，根据圆台侧面积公式即可解

得.

如图为圆台的截面图形，截面圆圆心为0,半径为r,则r=三=4,/为上下方圆台的母线长，则

5,=τ(3+4)∕=7R,S?=万(4+5)/=96,/.5,:5,=7:9

故选：C.

21

7.已知A、B、C三点共线（该直线不过原点0）,KOA=mOB+2n0C（m>0,n>0）,则一+一的

tnn

最小值为（）

A.10B.9C.8D.4

【答案】C

【分析】先根据三点共线，求出〃z+2n=l,利用基本不等式求最值.

【详解】因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O）,SLOA=mOB+2nOC（m>0,n>0）,

所以"?+2〃=1

2+++2鼠）=4+例+二≥4+24=8

mn∖mnJmn

当月.仅当4竺/7二m',即I加I；时等号成立.

mn24

故选：C

【点睛】（1）A、B、C三点共线（该直线不过原点O）,且04=20B+"OC,则有2+〃=1；

（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等“：

①“一正”就是各项必须为正数；

②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把

构成积的因式的和转化成定值；

③“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不

是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

ab

8.规定=ad-bc,若在复平面上的三个点A,B,C分别对应复数O,ɪ,zi,其中Z满足

ca

z1—i

lψi1)，贝LABC的面积为()

255

A.25B.—C.5D.-

22

【答案】D

【分析】根据行列式的计算可得z=2+i,由此可得三角形三个顶点的坐标以及三条边的长度，推断

出一A3C是等腰直角三角形，最后由面积公式求解即可.

【详解】解：由题意得z-(l+i)(l-i)=i,

.∙.z=2+i,∙,∙zi=(2÷i)i=-l÷2i,

ΛA(0,0),6(2,1),C(T2),

.∙.∣AB∣=√5,∣ΛC∣=√5,IBCI=M,

222

ΛIABI+∣AC∣=∣BC∣,即AABC是等腰直角三角形，

.∙.JlBC的面积S=gχ>Λχ召=|.

故选：D

二、多选题

9.已知复数Z=二，贝U()

1-1

A.z2M是纯虚数B.若IzI-Zl=1,则㈤的最大值是2

C.Z的共聊复数为_iD.复数5+z.i在复平面内对应的点在第二象限

【答案】ABC

【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简z,结合复数的有关概念和几何意义依次分析选项即可.

【详解】解：z=*=喏==7子不)，

1-17(lr-ι)(l+ι)1+(-1)

505

,z≡>=i≡'=(i*).i=i,是纯虚数，故A正确；

若∣z∣τ∣=l,即区-i∣=l,则Zl所对应点的轨迹为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，

则IZIl的最大值是2,故B正确；

Z的共规复数为-i,故C正确；

z+z∙i=-i+i∙i=-l-i,在复平面内对应点的坐标为(TT),在第三象限，故O错误.

故选：ABC.

10.已知向量”=(2,l),/?=(1,-1),c=(m-2,τz),e向量是与〃方向相同的单位向量，其中加，n

均为正数，且(α-6)∕∕c,下列说法正确的是()

A.α与人的夹角为钝角B.向量α在8方向上的投影向量为We

C.2%+/=4D.的最大值为2

【答案】CD

【分析】由数量积的符号可判断A；根据投影定义直接计算可判断B；根据向量平行的坐标表示可

判断C；由基本不等式结合(αC可判断D.

【详解】对于A,向量。=(2,1),⅛=(1,-1),则α^=2-l=l>0,则。力的夹角为锐角，错误;

ab√2

对于B,向量α=(2,1),6=(1,-1),则向量〃在b方向上的投影为W=T，错误；

对于C向量a=(2,I),b={∖,T),则〃一匕=(I,2),若("％)〃，，则(-〃)=2(〃?-2),变形

可得2根+〃=4,正确；

对于D,由C的结论，2"?+〃=4,而，"均为正数，则有〃?〃=，"(4-2〃?)=-2[(加-Iy-1],当根=1,

〃=2时，有最大值2,正确；

故选：CD.

11.在58C中，角A,β,C的对边分别是。，b,c,则能确定B为钝角的是()

A.sin2A+sin2C>sin2BB.AB-BC<0

C

C.—<COSAD.0<tanAtanC<1

b

【答案】CD

【分析】结合正弦定理、余弦定理、向量运算、三角恒等变换确定正确选项.

【详解】A选项，由正弦定理得42+c2>∕ΛcosB=空/H>0nB为锐角.

2ac

B选项，Aβ∙βC=∣Aβ∣∙∣BC∣∙cos(æ-B)=-∣AB∣∙∣BC∣∙cosβ<0,cosB>0=>3为锐角.

222

C选项，由余弦定理得£<生土士互，c+a<b,COSB=一+c、"<0n8为钝角.

b2bc2ac

D选项，OvtanAtanCcl,0<吗吗;<1,由于三角形中，最多只有一个钝角，所以

COSACOSC

cosA>O,cosC>0,则sinAsinC<cosAcosC,∞s(A+C)>O,即一COSB>O,cosB<0,B为钝角.

故选：CD

12.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图.其平面图形记为图2中的正八边形

ABCDEFGH,其中OA=ι,

C.AECGD.∣OA-OC∣=√2

【答案】CD

【分析】根据正八边形的性质可知每个中心角为45°、ACHHD,结合向量的线性运算即可判断AB；

根据垂直向量数量积为0即可判断C；根据直角三角形和向量的线性运算即可判断D.

【详解】A：正八边形ABCO瓦G”被分成8个全等的等腰三角形，

所以每个中心角为幽=45°,由正八边形的性质可知ACHHD,

8

设。4=1,则HQ=2,4C=0,所以AB+BC=AC=也HZ),故A错误；

2

在正方形OAPC中，OA+OC=OP,OP=历OB=-五OF,

所以OA+OC=-应OF，故B错误;

C：由OE_LOC,得OE∙OC=0,

所以AE∙CG=(20E)∙(20C)=4(0EOC)=0,故C正确；

D：如图，在/OC中，由O4J∙OC,OA=OC=],得AC=虚,

所以一Ocl=Ial=√Σ,故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13.如图所示，平行四边形O'P'Q'R'是四边形。PQR的直观图，若OTy=3,OR=I,则原四边形

OPQR的周长为.

【答案】10

【分析】利用直观图反推原图形，易知其为矩形，进而易求其周长.

【详解】由四边形。PQR的直观图可知该四边形是矩形，

如图，月.OP=OTy=3,OR=IOR=2,

所以原四边形OPQR的周长为2χ（3+2）=10.

故答案为：10.

14.把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4,其

中最小球的半径为.

1R

【答案】r=-R∕r=-

【分析】求出小球与原来球的体积的比值，即可求解

【详解】原球的体积为最R3,

把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4,

1Arr

则最小球的体积为:、9出,

o3

设最小球的半径为小可得,

3oɔ

所以r=]R,

故答案为：r=^R

15.已知“∕=16,e是与〃方向相同的单位向量，若“在人上的投影向量为4e,则W=.

【答案】4

【分析】根据投影向量公式求得结果即可.

ab16.

【详解】。在6上的投影向量为Me=We=4e,

所以W=4.

故答案为：4.

16.已知向量a=（l,sin，）,6=（l,cos。），则卜-匕|的最大值为.

【答案】√2

【分析】求出“-6=（0,sin。-COS0）,可得m-N=Jl-Sin26,结合三角函数的性质得出答案.

【详解】〃一b=（O,sin，一COSe）,

Λ∖cι-⅛∣=J（Sin夕-CoS6）?=JI-Sin26,

则当sin26=-1时，卜叫取最大值忘.

故答案为：-Jl-

四、解答题

17.已知AB=（-1,3）,BC=（3,优）,C。=（1,〃）,A0〃BC.

（1）求实数W的值；

（2）若AC_LB£＞，求实数机的值.

【答案】（1）W=—3；（2）m=±∖.

【详解】试题分析：ɑ）利用向量的//品，建立关于"的方程，即可求解〃的值；（2）写出向

量AC,B。的坐标，利用ACJ.B。得出关于机的方程，即可求解实数，〃的值.

试题解析：(1)AB=(-1,3),BC=(3,m),CD=(1,n),

.*.AD=AB+BC+CD=(3,3+∕π+π),

AD//BC

:.3(3+m+ri)—3m—O

.∙.n=—3

(2)由(1)得

CD=(1,-3),AC=AB+BC=(2,3^-加)，BD=BC+CD=(4,∕n-3)

AClBD所以8+(3+w)(3-∕n)=0,.∙.ZM=±1

【解析】向量的坐标运算.

18.设复数Zl=X+2i,z2=∖+2yi,其中x,yeR,且复数4,4所对应的点都在复平面第一象限内

⑴若团=同=3,求实数χ,y的值；

⑵设4,Z2所对应的向量为OZl,OZ?,若与0%共线，求2x+y的最小值.

【答案】⑴X=底y=8

(2)2√2

【分析】(1)根据复数的几何意义以及复数的模长公式即可求解.

(2)由复数的几何意义以及基本不等式即可求解.

【详解】(1)Zl=X+2i,Zz=l+2M对应的点分别为(x,2),(l,2y),且x>O,y>O,由㈤=%∣=3

可得：X2+4=9,l+4y2=9,故x=7?,y=0.

(2)OZ∣=(x,2),OZ?=(l,2y),0Z∣与OZ?共线，所以D=1,由基本不等式可得：2x+”2匹=2√Σ,

当且仅当X=曰,y=应取等号.所以2x+y的最小值为2√Σ

19.在一4?C中，α,6,c是角AB,C所对的边，+b2-c2=ab

(1)求角C的大小；

⑵设向量α=(2sinA,l),向量匕=卜。sC,j,且向量α,b共线，判断JWC的形状.

【答案】(呜

(2)直角三角形

【分析】(1)利用余弦定理可求CoSC=g,结合三角形性质可得角C的大小；

TT

(2)根据向量共线得出角A=z,进而可以判断三角形的形状.

O

2,12_21

【详解】(1)因为必，所以CoSC=巴zy士之二J=L;

Iah2

因为C∈(0,π),所以C=g；

(2)因为d=(2si∏A,l),6=卜0$。,；)共线，所以SinA=CoSC=；,

冗

所以A=^Jr或A=5?(舍)；

66

TTTT

当A=Z时，B=-,所以一ABC为直角三角形.

62

20.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm,圆柱筒高

(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克?

【答案】(1)—^兀CnT'

(2)26400兀克

【分析】(1)由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；

(2)由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照

规定再乘以01即可解决问题.

【详解】(1)由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，

所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，

44756

由球体的体积为：½=-πΛ3=-π×43=^-πcm∖

圆柱体积为：⅛=π7?2∙Λ=π×42×3=48πcm3,

所以浮球的体积为：V=K+%=竽π+48τt=竿πc∏√.

222

(2)上下半球的表面积：Sl=4πΛ=4π×4=64πcm,

圆柱侧面积：S?=2πR∕z=2兀χ4x3=24ncr∏2,

所以，1个浮球的表面积为S=64τt+247t=88ιrcm2,

3000个浮球的表面积为：3000×88π=26400()πcm2,

因此每平方厘米需要涂胶0」克，

共需胶264000π×0.1=264OOπ克.

21.如图，在菱形ABC。中，BE=^BC,CF=2FD.

⑴若EF="B+y">,求3x+2y的值：

(2)若IABI=6,ZBAD=60。,求ACEE

【答案】(I)-I

(2)-9

1,2

【分析】(1)由题意可知M=/A§A8,即可求解；

12

(2)AC=AB+ADr从而AC∙政=(48+4。)-(54。-543)即可求解.

【详解】(1)因为在菱形ABCD中，BE=⅛C,CF=2FD.

12

^EF=^EC+CF=-AD--AB,

23

21

故