2022-2023学年安徽省芜湖市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知向量方，方满足a=（3,-2）,b=（X1I）'且为Ia则实数X的值为（）

A.IB.-∣C.-∣D.I

2.已知角ɑ的终边与单位圆交于点P（-|,§,则CoSa的值为（）

A.IB.—IC./D.—

3.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查,

小明调查的样本量为200,平均数为166.2cm,小华调查的样本量为IO0,平均数为164.7Crn则

下列说法正确的是（）

A.小明抽样的样本容量更大，所以166.2Sn更接近总体平均数

B.小华使用的抽样方法更好，所以164.7Cm更接近总体平均数

C.将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数

D.样本平均数具有随机性，以上说法均不对

4.已知△4BC的三个角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足asinA-加讥B=0,K∣J∆TlfiC

的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

5.PM/是衡量空气质量的重要指标，如图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值（单位：

4g∕τ∏3）的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是（）

-PM2.5日均值

140

120

100

80

60

40

20

0

12345678910

A.众数为30B.中位数为31.5C.平均数小于中位数D.极差为109

6.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的

体积为督，这两个圆锥的体积之和为4兀，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的

高的比值为()

A.?B.?C.ɪD.I

7.点4B分别是函数y=COSeX-6图象上y轴右侧第一个最高点和第一个最低点，。为坐

标原点，则瓦入砺=()

A.-ɪB.ɪC.ID.-|

8.已知正方体ABCD-4BIGDl的棱长为4,M为棱DC的中点，N为侧面BCl的中心，过点M

的平面α垂直于DN,则平面α截正方体ACl所得的截面周长为()

A.4(√^^5+√^)B.2√^5+8√7C.6y∏D.8+2√^5

二、多选题(本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知复数Z满足z(l+i)=2,以下说法正确的有()

A.z=1-2i

B.5在复平面内对应的点在第一象限

C.∖z∖=y∕~2

D.若Z是方程/-pχ+2=。的一个根(P∈R),则P=2

10.下列说法正确的为()

A.数据2,2,3,5,6,7,7,8,10,11的下四分位数为8

B.数据X1,%2，…，Xn的标准差为与，则数据a%+b，α%2+b，…，αxτι+b的标准差为IaISX

C.如果三个事件A,B,C两两互斥，那么PQ4UBUC)=PQ4)+P(B)+P(C)成立

D.对任意两个事件4与B,若P(4B)=P(A)P(B)成立，则事件4与事件B相互独立

11.如图，已知△4BC是边长为4的等边三角形，D,E分别是48,AC的中点，将△40E沿

着DE翻折，使点4运动到点P处，得到四棱锥P—BCED,则()

A.对任意的点P,始终有BC〃平面PDE

B.对任意的点P,始终有BOIP

C.翻折过程中，四棱锥P-BCED的体积有最大值9

D.存在某个点P的位置，满足平面PDE1平面PBC

12.已知g(x)=2s讥(3x+*)cos(3x+*)(3>0),下面结论正确的是()

A-g(0)=?

B.若g(x)在［―3币上单调递增，则3的取值范围是(0,

C.若g(χj=1,g(,x2)=-1，且IXl-X2∣的最小值为兀，则3=2

D.存在36(1,3),使得贝久)的图象向右平移3个单位长度后得到的图象关于y轴对称

三、填空题(本大题共4小题，共16.0分)

13.向量为=(0,1),b-(-2,-8)＞则方在方上的投影向量为

14.如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器4BC0-

A1B1C1D1,AB=2,容器内装有高度为/1的水，现将容器绕着棱AlBl

所在直线顺时针旋转45。，容器中水恰好未溢出，贝防=.

15.在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差

分别为174和12,抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30,根据这些数据计算出

总样本的方差为.

16.设样本空间0={1,2,3,4,5,6,7,8}含有等可能的样本点，且事件A={1,2,3,4},事件8=

{1,2,3,5},事件3={l,m,n,8},使得P(ABC)=P(A)P(B)P(C),且满足4B,C两两不独立,

则m+n=.

四、解答题(本大题共5小题，共44.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（本小题8.0分）

如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,/-DAB=点E是ZB的中点，连接DE,AC,AB=4

记它们的交点为点G,设荏=α,AD=b.

（1）用α,b表示前；

（2）救血,荏＞的余弦值.

18.（本小题8.0分）

如图，在直三棱柱ABC-AlBIG中，=90o,D,E分别为4∕ι和CCl的中点.（1）求证:

CID〃平面ZBiE;

（2）若ZC=AA1=BC=6,求点。到平面4B/的距离.

19.（本小题8.0分）

无为板鸭是安徽省芜湖市无为市的一道传统特色美食，属于徽菜系，始创于清朝年间,不但本

地人喜欢，也深受外来游客的赞赏.老马从事板鸭加工销售多年，为了进一步提高自家板鸭的

销售量，老马随机的抽取了200位年龄处于［10,60］岁的顾客进行板鸭口感度调查，记录给予

口感好评的人数，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.

组数分组给好评的人数占本组的频率

第一组[10,20)450.75

第二组[20,30)25y

第三组[30,40)200.5

第四组[40,50)X0.2

第五组[50,60]30.1

(I)求x,y的值;

(2)根据频率分布直方图，估计小马调查的这200位顾客年龄的平均值；

(3)从年龄段在［40,60］的给好评人群中采取分层抽样的方法抽取6位顾客进行详细口感度调查,

并从中选出两人各赠送一只板鸭，求选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在［50,60］中的

概率.

20.(本小题10.0分)

如图所示，某小区内有4,B,C,D四栋楼，在C栋楼处测得4C=α米,NBAC=30°,∆BAD=90°,

乙BCD=45°,乙DCA=30°.

(1)求8。两栋楼间的距离；

(2)若小区决定沿BD方向取E,F两点与A建设一个三角形花园，且始终满足乙EAF=45。，求

△4EF面积的最小值.

A

21.(本小题10.0分)

如图，在三棱台ABC—DEF中，NaCB=90。，BFLAD,BC=2,BE=EF=FC=1.

(1)求证：平面BeFE，平面4BC；

(2)若直线AE与平面BCFE所成角为半求平面DEC和平面4BC所成角的正切值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：向量优E满足Z=(3,—2),b=(x,1)»且五_L石，

则3x+(—2)xl=0,解得X=芯

故选:A.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：•：角α的终边与单位圆交于点P(—I2)，

34

•.・X=-『y=s,r=1lf

3

：•cosa=—ʒ.

故选：B.

根据已知角ɑ的终边与单位圆交于点P(-∣(),结合三角函数的定义即可得到CoSa的值.

本题考查任意角的三角函数的定义，本题是基础题，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义，

单位圆的知识.

3.【答案】D

【解析】解：对于选项4因为样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数，

但是小明与小华的抽样方法不同，无法确定，故选项A错误；

对于选项B：当总体的构成分为几层时，可采用分层抽样，

但是方法好与坏，都与总体平均数无关，故选项B错误；

对于选项C：两人采用的抽样方法不同，无法确定，故选项C错误；

对于选项。：因为样本平均数具有随机性，故选项。正确.

故选：D.

由题意，根据简单随机抽样法和分层抽样法的定义以及平均数的定义对选项进行逐一分析，进而

即可求解.

本题考查抽样方法以及平均数，考查了逻辑推理能力.

4.【答案】A

【解析】解：asinA-bsinB=0,根据正弦定理,

.∙.a2=b2,.∙.α=h,则AABC为等腰三角形.

故选：A.

根据正弦定理，可判断三角形形状.

本题考查正弦定理，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：4项，由题图可知30出现的次数最多，所以众数为30.故4项正确.

31+32

B项，将日均值从小到大排列，所以中位数为=31.5.故B项正确.

2

,38+25+17+30+34+126+42+31+32+30

C项，平均数为40.5.因为40.5>31.5,

10

所以平均数大于中位数.故C项错误.

。项，极差为126-17=109,正确.

故选：C.

根据折线图，读出10个数据，按照众数，中位数，平均数，极差的定义计算即可.

本题考查数据的特征，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：如图所示，

设圆锥Slol与圆锥52。1公共底面圆心为。1，两圆锥公共底面圆

周上一点4底面半径r=Ov4,

设球心为。，球的半径R=O4

由题意知I,让=出，解得R=2,

33

又因为^兀产∙2R=4π,解得r=V~3,

所以在RtA。。IA中，or】=J(M2_0送2=

22—(V-3)2=1»

因为底面积相同的圆锥，高较大者体积较大，

所以体积较小圆锥的高为SlOl=S1O-OO1=2-1=1,

体积较大圆锥的高为52。1=S2。+。。1=2+1=3,

所以体积较小者的高与体积较大者的高的比值为今

故选：D.

画出图形，根据面积比例关系确定底面半径和球的半径之间的关系，再求出底面与球心之间的距

离，以此求出两个圆锥的高.

本题考查了球与圆锥的体积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

7.【答案】D

【解析】解：•••点4B分别是函数y=cos(5x—看)图象上y轴右侧第一个最高点和第一个最低点,

二令5x一看=∕cτr,kG.Z,■.X=^+2k,k&Z,

17

.••呜1),β⅛,-i).

OOB∣ι×(-i)=-∣.

.∙.7∙=ɔ×ɔ^+y

故选：D.

由题和三角函数的图象与性质得4,B的坐标，再由平面向量的数量积运算即可求得.

本题考查三角函数的图象和性质，平面向量的数量积运算，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：如图，设CG的中点为P,

连接NP,DP,D1M,AM,AD1,

则根据正方体的性质易知NP，平面DCelo1，

.∙∙DN在平面DCClDl内的射影为DP,

又M为棱DC的中点，CCl的中点为P,

••・易得DlM1DP,

••・根据三垂线定理可得DlM1DN,

同理可得AM∙LDN,又DlMn4M=

.∙.DN1平面AMD1，

.∙∙平面α截正方体ACl所得的截面即为小AMD1,

又易知4M=D1M=2√-5)AD1=4<2,

所求截面周长为4门+4，)

故选：A.

设CCl的中点为P，连接NP,DP,D1M,AM,力劣，则根据三垂线定理可得。IMIDN,同理可

得力MlDN,从而可得。Nj■平面AMD1，即得平面α截正方体4G所得的截面为△AMD1，再计算

周长即可得解.

本题考查正方体的截面问题，三垂线定理的应用，线面垂直的判定定理，属中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：z(l+i)=2,

则z=I⅛=瑞告TIT，故A错误；

z=1+3

则W在复平面内对应的点(1,1)在第一象限，故B正确；

∖z∖=ʌ/I2+(―I)2=V-2>故C正确；

Z是方程/-pχ+2=。的一个根(P∈R),

则W也是方程/-px+2=O的一个根，

故l-i+l+i=p,解得p=2,故£)正确.

故选：BCD.

根据已知条件，先求出z,结合共钝复数的定义，复数的儿何意义，以及复数模公式，即可求解.

本题主要考查共轨复数的定义，复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于4下四分位数位置为(10+1)x025。3,即下四分位数为3,4错误；

对于B,设数据，x2,Xrl的平均数为工

则数据α%ι+b,ax2+b,...,axn+b的平均数为(QXl+b,ax2+b,...,axn+h)×-=αx+h,

222

标准差为Jɪ[(ax1—αx)+(αx2—ax)d------F(αxn—ax)]=

IaIJ；[(3-x)2+。2—5)2+…+(Xn-X)2]=IalSX，8正确；

对于C,由于三个事件4,B,C两两互斥，所以P(ABC)=O,

所以PQ4UBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C),C正确;

对于D,独立事件的定义，。正确.

故选：BCD.

按照统计学原理进行分析计算即可.

本题主要考查概率与统计的相关性质与定义，属中档题.

11.【答案】AB

【解析】解：对于力，因为△力BC是边长为4的等

边三角形，D,E分别是AB,AC的中点，所以

BCUDE,BCe平面PDE,所以对任意的点P,

始终有BC〃平面POE,所以A正确；

对于B,取BC的中点尸，连接AF交DE于。，连接

PF,易知4。IDE,OF1DE,可得DEI平面POF,所以CBJ•平面POF,所以BCI平面4PF,

所以BCIaP,所以B正确；

对于C,翻折过程中，PO1底面BeED时，四棱锥P-BCED的体积有最大值:WX^×^×42×^×

2=3≠9,所以C不正确；

对于D,如果存在某个点P的位置，满足平面PDEJ_平面PBC,必有POLPF,因为OP=OF,所

以不存在等腰三角形的底角为90。，所以。不正确；

故选：AB.

利用直线与平面判断的判断定理判断4的正误；通过直线与平面垂直判断B；求解几何体的体积的

最大值判断C;利用直线与平面垂直判断。即可.

本题考查几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的判断，是中档题.

12.【答案】BD

【解析】解：9。)=2sin(ωx+ɪ)∙cos(ωx+ɪ)=sin(2ωx+^),

对于A,g(0)=Siw=g,故A错误；

对于B,令一号+2∕C7Γ≤2tox+[≤J+2kτr,k€Z,得：：.-4十亚WXWF+陕,k∈Z,

NoZ3ωω6ωω

I6-3ω

・”(x)在[一π务勺π上单调递增，.・.《Cv工,Λθ<ω≤∣7,故8正确；

044-633

kω>0

对于C•：g(%ι)=1,g(%2)=-I,且∣%ι-Λ⅛I的最小值为兀，∙∙∙T=2兀，・•・23=冬・•・3=；,

故C错误；

对于D,∙∙∙g(x)的图象向右平移沙单位长度后得到的图象为y=sin[23(x-今+自=sin(2wc+

Tr71、

6-3ω^

其关于y轴对称，Y*3=]+kπ∙,kez,.∙.ω=-l+3∕c,⅛∈Z,当k=1时，3=26(1,3),

故。正确.

故选：BD.

由条件，根据二倍角公式化简g(x),再由y=Asin(3x+3)的图象和性质，逐一判断各选项即可.

本题主要考查函数y=Asin(α)x+0)的图象和性质，属于中档题.

13.【答案】(0,—8)

【解析】解：α=(0,1),K=(-2,-8)，

故W∙I=—8,∣α∣=1,

则跪五上的投影向量为：言XjfJ=-8α=(0,-8).

故答案为：(0,—8).

根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：因为容器是正方体，所以绕着棱久&所在直线顺时针旋转45。,

可以得到ADi,此线是水平线，即此时水占了该正方体体积的一半，

则有22χ∕ι=gx23,∕ι=l.

故答案为：1-

容器中水恰好未溢出，则此时水占了该正方体体积的一半，由此可得.

本题考查几何体的体积问题，属于中档题.

15.【答案】46.8

【解析】解：根据题意，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12,抽取了女生30人,

其平均数和方差分别为164和30,

则总体的平均数工=174X20*64X30=16g>

则总体的方差S2=U[12+(174-168)2]+≡[30+(164-168)2]=46.8.

故答案为：46.8.

根据题意，先求出总体的平均数，进而由总体的方差公式计算可得答案.

本题考查总体的方差的计算，注意总体方差的计算公式，属于基础题.

16.【答案】13

【解析】解：由题意可知P(A)=P(B)=P(C)=1所以PQ4BC)=%

可见1是4,B,C共同的唯一的交集，

又4,B,C两两不独立，即PolB)"，POIC)≠%P(Be)=≠3，

可见zn,Ti不可以为4或5,

所以m,n为6或7,

即m+n=13.

故答案为：13.

由题意可知P(A)=P(B)=P(C)=ɔ所以P(ABC)=ɪ,由此即可推测出m,n的值.

LO

本题主要考查概率与统计，属中档题.

17.【答案】解(1)根据题意，在平行四边形aBCC中，点E是AB的中点，

易得答=*=：,则有4G=%C,

UCUCLL

故有南=^AC,

又由前=日+方，则数=力於=X五+3);

(2)VII2=(S+K)2=α2+h2+2ɑ∙K=4+16+8=28'■■∖^AC\=2<7

又前■AB=a2+a∙b=20

z

∙∙∙8S（福画=8S（和函=⅛¾⅛=⅛

【解析】⑴根据题意，由平行线的性质可得答=怎=/，则有ZG=JGC,又由正=为+3,由

L/CGCZZ

此分析可得答案;

(2)根据题意，求出I前t∣和前.近，由数量积的计算公式计算可得答案.

本题考查向量数量积的运算和性质的应用，涉及向量的线性运算，属于基础题.

18.【答案】(1)证明：取4名的中点M,连结DM,ME,如图所示:

由DM〃&4〃CiE,且DM=C1E,可得四边形DMECi为平行四边形，

.∙.C1D//ME,

又GD仁面ABlE,MEU面ABlE,

.∙.GD〃平面力/E；

(2)解：在AAB11E中，AC=AA1=BC=6,E为CCl的中点，/.ACB=90°,

AB1=6√^>AE=B1E=3√^5,EM=3√^2)

-

S^AB1E=TX6√^3X3√2=9√-6,

由KD-4B1E=UE-ADB1，即X9√~6×∕l=^×^×3×6×6>

得点。到平面力BlE的距离九=√-6.

【解析】(1)取ABl的中点M,连结DM,ME,再结合线面平行的判定定理，以及中位线定理，即

可求证；

(2)根据已知条件，结合棱锥的等体积法，即可求解.

本题主要考查线面平行的判定，以及棱锥的等体积法，属于基础题.

.【答案】解：(由题意得：,nn,n；

191)y=ZUUXU.UZXXU=0.625,x=200×0.015×10×0.2=6

(2)平均值为：15X0.3+25×0.2+35×0.2+45×0.15+55X0.15=31.5；

(3)从年龄段在［40,60］的给好评人中采取分层抽样的方法抽取6人进行调查，

从［40,50)中选：6、遥行=4人，分别记为A,B,C,D,

从［50,60］中选：6XW⅛I=2人，分别记为α,b,

在这6人中选取2人,基本事件有：(4B),(AC),(AD),(4α),(Ab),(B,C),(B,D),(B,a),

(8,b),(C,D),(C,α),(C,b),(D,a),(D,b),(ɑ,ð),共15种，

设事件A表示“选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在［50,60］中”，

则事件4包含的基本事件有：(Aa),(Ah),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(C,a),(D,b),(a,b),

共9种

所以P(A)=2=∣∙

【解析】(1)根据频率分布表求解即可；

(2)根据频率分布直方图，结合平均数的定义求解；

(3)先根据分层抽样求出［40,50)和［50,60］抽取的人数，再结合古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

20.【答案】解：(1)•••乙BCA=4BCD+乙DCA=75。，NBAC=J,-

300'